2019版高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义：第3章　三角函数、解三角形 第5讲简单的三角恒等变换 .docx

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1、第5讲简单的三角恒等变换板块一知识梳理自主学习必备知识考点1两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦sin22sincos二倍角的余弦cos2cos2sin212sin22cos21二倍角的正切tan2必会结论1降幂公式：cos2，sin2.2升幂公式：1cos22cos2，1cos22sin2.3公式变形：tantantan()(1tantan)4辅助角公式：asinxbcosxsin(x)，其中sin，cos .考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式

2、sin()sinsin成立()(3)在锐角ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定()(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(5)存在角，使得sin22sin成立()答案(1)(2)(3)(4)(5)22018江西九江模拟计算sincos的值为()A0 B C2 D.答案B解析sincos22sin2sin.故选B.32017山东高考已知cosx，则cos2x()A B. C D.答案D解析cos2x2cos2x1221.故选D.42018山西四校联考已知sin，0，则cos的值是()A. B. C D1答案C解析由已知得cos，sin，coscossin.52

3、017江苏高考若tan，则tan_.答案解析tan，6tan61tan(tan1)，tan.tantan.62017全国卷函数f(x)2cosxsinx的最大值为_答案解析f(x)2cosxsinx，设sin，cos，则f(x)sin(x)，函数f(x)2cosxsinx的最大值为.板块二典例探究考向突破考向三角函数的化简求值例1(1)2018衡水中学二调()A4 B2 C2 D4答案D解析4.(2)4cos50tan40()A. B. C. D21答案C解析4cos50tan40.触类旁通三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能

4、求值的求出值，减少角的个数(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次【变式训练1】(1)2018九江模拟化简等于()A2 B C1 D1答案C解析1.(2)计算：tan204sin20_.答案解析原式4sin20.考向三角函数的条件求值命题角度1给值求值问题例2(1)2016全国卷若cos，则sin2()A. B. C D答案D解析解法一：sin2coscos2cos21221.故选D.解法二：cos(cossin)cossin1sin2，sin2.故选D.(2)2017全国卷已知，ta

5、n2，则cos_.答案解析coscoscossinsin(cossin)又由，tan2，知sin，cos，cos.命题角度2给值求角问题例3(1)2018江苏徐州质检已知cos，cos()，且0，求.解0，0.又cos()，sin().cos，0，sin，coscos()coscos()sinsin().00，00，02，tan(2)1.tan0，20)求周期；根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数yAsin(x)t或yAcos(x)t的单调区间【变式训练2】已知函数f(x)cos2xcos2，xR.(1)求f(x)的最

6、小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解(1)f(x)cos2xcos2sin2xcos2x1sin1，则函数f(x)的最小正周期T.(2)函数f(x)在上单调递增，在上单调递减f，f1，f1，f(x)min，f(x)max1.核心规律重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形满分策略1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，

7、要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为最简形式yAsin(x)再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.板块三启智培优破译高考规范答题系列2逆向思维构造辅助角公式解题2017北京高考已知函数f(x)cos2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x时，f(x).解题视点(1)根据三角恒等变换公式将函数解析式化简为“一角一函数”的形式，(2)证明f(x)时注意x的取值范围解(1)f(x)cos2xsin2xsin2xsin2x

8、cos2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)证明：因为x，所以2x.所以sinsin，所以当x时，f(x).答题模板第一步：将f(x)化为asinxbcosx的形式；第二步：构造f(x)；第三步：和差公式逆用f(x)sin(x)(其中为辅助角)；第四步：利用f(x)sin(x)研究三角函数的性质；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范化简时公式的准确应用是灵魂；研究三角函数性质时注意整体思想的应用跟踪训练已知函数f(x)2sinxsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的值域解(1)f(x)2sinxsin2xsin.所以函数f(x)

9、的最小正周期为T.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)当x时，2x，sin，f(x).故f(x)的值域为.板块四模拟演练提能增分A级基础达标12017全国卷已知sincos，则sin2()A B C. D.答案A解析sincos，(sincos)212sincos1sin2，sin2.故选A.22017山东高考函数ysin2xcos2x的最小正周期为()A. B. C D2答案C解析ysin2xcos2x2sin，T.故选C.32018武汉模拟计算tan15的值为()A. B2 C4 D2答案C解析tan154.故选C.42018重庆质检计算s

10、in20cos110cos160sin70的值为()A0 B1 C1 D.答案C解析原式sin20cos(18070)cos(18020)sin70sin20cos70cos20sin70(sin20cos70cos20sin70)sin901.故选C.5在ABC中，tanAtanBtanAtanB，则C等于()A. B. C. D.答案A解析由已知得tanAtanB(1tanAtanB)，即tan(AB).又tanCtan(AB)tan(AB)，0C，C.62018大连模拟若，则tan2等于_答案解析，等式左边分子、分母同除以cos，得，解得tan3，则tan2.7已知sincos2，则ta

11、n_.答案解析sin12sin2，2sin2sin10.(2sin1)(sin1)0，2sin10.sin，cos.tan.82017全国卷函数f(x)sin2xcosx的最大值是_答案1解析f(x)1cos2xcosx21.x，cosx0,1，当cosx时，f(x)取得最大值，最大值为1.9已知f(x)2sinxcosx2cos2x1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及在上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos的值解(1)f(x)2sinxcosx2cos2x1sin2xcos2x2sin，函数f(x)的最小正周期为T，x，2x，f(x)maxf2，f(x)minf1.(

12、2)由(1)可知f(x0)2sin，即sin，又x0，2x0，cos0，即cos.102018宝鸡模拟已知为锐角，cos.(1)求tan的值；(2)求sin的值解(1)因为，所以，所以sin，所以tan2.(2)因为sinsin2sincos，coscos2cos21，所以sinsinsincoscossin.B级知能提升12018天水模拟若，sin2，则sin等于()A. B. C. D.答案D解析因为，所以2，cos20，所以cos2.又因为cos212sin2，所以sin2，sin.故选D.22017全国卷函数f(x)sincos的最大值为()A. B1 C. D.答案A解析f(x)si

13、ncoscosxsinxsinxcosxcosxsinxsinxcosxsin，当x2k(kZ)时，f(x)取得最大值.故选A.，f(x)sincossincossinsinsin.f(x)max.故选A.32016全国卷已知是第四象限角，且sin，则tan_.答案解析因为是第四象限角，且sin，所以为第一象限角，所以cos，所以tan.4已知函数f(x)22sin2.(1)若f(x)，求sin2x的值；(2)求函数F(x)f(x)f(x)f2(x)的最大值与单调递增区间解(1)由题意知f(x)1sinx(1cosx)sinxcosx，又f(x)，sinxcosx，sin2x1，sin2x.(

14、2)F(x)(sinxcosx)sin(x)cos(x)(sinxcosx)2cos2xsin2x1sin2xcos2xsin2x1sin1，当sin1时，F(x)取得最大值，即F(x)max1.令2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)，从而函数F(x)的最大值为1，单调递增区间为(kZ)52018四川检测已知函数f(x)cosxsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)cosxcos2xsinxcosxcos2xsin2x(1cos2x)sin2xcos2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)由x得2x，则sin，即函数f(x)sin.所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.