2019版高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义：第11章　算法初步、复数、推理与证明 第3讲合情推理与演绎推理 .docx

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1、第3讲合情推理与演绎推理板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1合情推理考点2演绎推理1定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理2特点：演绎推理是由一般到特殊的推理3模式：“三段论”是演绎推理的一般模式：必会结论1合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确2合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(3

2、)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()答案(1)(2)(3)(4)答案A3课本改编下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是_答案解析由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为12，第3个图形的小正方形个数为123，第4个图形的小正方形个数为1234，则第n个图形的小正方形个数为123n.4课本改编在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的

3、棱长的比为12，则它们的体积比为_答案18解析因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方所以它们的体积比为18.52015陕西高考观察下列等式111据此规律，第n个等式可为_答案1解析观察所给等式的左右可以归纳出1.62018东北三省模拟在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是_答案丙解析分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故

4、说假话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙板块二典例探究考向突破考向归纳推理命题角度1数字的归纳例12018浙江模拟“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年如图是杨辉三角数阵，记an为图中第n行各个数之和，则a5a11的值为()A528 B1020 C1038 D1040答案D解析第一行数字之和为a11211，第二行数字之和为a22221，第三行数字之和为a34231，第四行数字之和为a48241，第n行数字之和为an2n1，a5an242101040.故选D.命题角度2式子的归纳例2设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2

5、(x)ff1(x)，f3(x)ff2(x)，f4(x)ff3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)ffn1(x)_.答案解析根据题意知，各式中分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n1，故fn(x)ffn1(x).命题角度3图形的归纳例3如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标b1，点(1，1)处标b2，点(0，1)处标b3，点(1，1)处标b4，点(1,0)处标b5，点(1,1)处标b6，点(0,1)处标b7，以此类推，则b963处的格点的坐标为_答案(16,13)

6、解析观察已知点(1,0)处标b1，即b11，点(2,1)处标b9，即b33，点(3,2)处标b25，即b55，由此推断点(n，n1)处标b(2n1)(2n1)，因为9613131时，n16，故b961处的格点的坐标为(16,15)，从而b963处的格点的坐标为(16,13)触类旁通归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与式子有关的归纳推理与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可(3)与图形变化有关的推

7、理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性【变式训练1】2018泉州模拟已知如下等式：246；810121416；18202224262830；以此类推，则2020会出现在第_个等式中()A30 B31 C32 D33答案B解析246；810121416；18202224262830，其规律为：各等式首项分别为21,2(13)，2(135)，所以第n个等式的首项为213(2n1)22n2，当n31时，等式的首项为23121922，当n32时，等式的首项为23222048，所以2020在第31个等式中故选B.考向类比推理例42018抚顺模拟若数列an是等差数列，则数列bn也为

8、等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为()Adn BdnCdn Ddn答案D解析若an是等差数列，则a1a2anna1d，所以bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，所以dnc1q，即dn为等比数列故选D.触类旁通类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化

9、过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移【变式训练2】如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2a2b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有_答案S2SSS解析三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2SSS.考向演绎推理例52018山东调研数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)

10、数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)触类旁通演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含

11、三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提【变式训练3】某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此

12、可知下列推测一定正确的是()A今天是周六 B今天是周四CA车周三限行 DC车周五限行答案B解析因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.核心规律1.合情推理的过程概括为2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行满分策略1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明2.演绎推理是由一般

13、到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性3.合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.板块三启智培优破译高考创新交汇系列9演绎推理中的创新问题2015福建高考一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1,2，n)称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：000,011,101,110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定

14、k等于_解题视点求解此类问题的关键是读懂新定义，在领会新定义的基础上，明晰新定义的内涵和外延，将其转化并运用到新情境中，进而判断参数k的值解析因为x4x5x6x711010010110，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x2x3x6x71001101110，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x1x3x5x710111110110，所以二元码1101101的第5位码元是错误的，所以k5.答案5答题启示与演绎推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点，解决此类问题时，一定要读懂新定义的本质含义及符号语言，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当的转化，注

15、意推理过程的严密性.跟踪训练在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中的ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaN bLc，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)答案(1)3,1,6(2)79解析(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，四

16、边形DEFG的面积为3，所以S3，N1，L6.(2)由待定系数法可得当N71，L18时，S17118179.板块四模拟演练提能增分A级基础达标1(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；(2)由112,1322,13532，可得到135(2n1)n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于()A类比推理、归纳推理 B类比推理、演绎推理C归纳推理、类比推理 D归纳推理、演绎推理答案A解析(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理故选A.

17、2把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A27 B28 C29 D30答案B解析观察归纳可知第n个三角形数为1234n，第七个三角形数为28.32018太原模拟观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A121 B123 C231 D211答案B解析令ananbn，则a11，a23，a34，a47，得an2anan1，从而a618，a729，a847，a976，a10123.42018临沂期末已知n2且nN*，对n2进行“分拆”：22(1,3)，32(1,3

18、,5)，42(1,3,5,7)，那么289的“分拆”所得的中位数是()A29 B21 C19 D17答案D解析自然数n2的分裂数中最大的数是2n1.289分裂的数中最大的数是217133，289的“分拆”所得的数的中位数是17.故选D.52018南昌模拟已知13232,1323332,132333432，若13233343n33025，则n()A8 B9 C10 D11答案C解析132322，13233322，1323334322，132333n32，13233343n33025，3025，n2(n1)2(255)2，n(n1)110，解得n10.6若等差数列an的公差为d，前n项的和为Sn，

19、则数列为等差数列，公差为.类似，若各项均为正数的等比数列bn的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列的公比为()A. Bq2 C. D.答案C解析由题设有，Tnb1b2b3bnb1b1qb1q2b1qn1bq12(n1)bq. b1q，等比数列的公比为，故选C.72018南通模拟将自然数0,1,2，按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是()答案A解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，01，箭头垂直指下，45，箭头也是垂直指下，89也是如此，而20164504，所以20162017也是箭头垂直指下，之后20172018的箭头是

20、水平向右故选A.8中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则5288用算筹可表示为_答案解析根据题意知，5288用算筹表示，从左到右依次是横式的5，纵式的2，横式的8，纵式的8，即.92018常州模拟36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为362232，所以3

21、6的所有正约数之和为(1332)(223232)(222232232)(1222)(1332)91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为_答案465解析类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为2002352，所以200的所有正约数之和为(122223)(1552)465.10如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f.若ysinx在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sinAsinBsinC的最大值是_答案解析由题意知，凸函数满足f，又ysinx在区间(0，)上是凸函数，则sinAsinBsinC3sin

22、3sin.B级知能提升12018徐州模拟观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为()A76 B80 C86 D92答案B解析由|x|y|1的不同整数解的个数为4，|x|y|2的不同整数解的个数为8，|x|y|3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|y|n的不同整数解的个数为4n，故|x|y|20的不同整数解的个数为80.故选B.22018中山模拟古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，

23、由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289 B1024 C1225 D1378答案C解析观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，则a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)，an123n，观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，则bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.32018洛阳期末设x0，由不等式x2，x3，x4，推广到xn1，则a()A2n B2n Cn2 Dnn答案D解

24、析设x0，由不等式x2，x3，x4，推广到xn1，所以ann，故选D.4在锐角三角形ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC.证明ABC为锐角三角形，AB，AB，ysinx在上是增函数，sinAsincosB，同理可得sinBcosC，sinCcosA，sinAsinBsinCcosAcosBcosC.5在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解如图，由射影定理得AD2BDDC，AB2BDBC，AC2DCBC，故.在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AH底面BCD，垂足为H.则.证明：连接BH并延长交CD于E，连接AE.AB，AC，AD两两垂直，AB平面ACD，又AE平面ACD，ABAE，在RtABE中，又易证CDAE，故在RtACD中，把式代入式，得.