2022年清华版线性代数课件线性代数§.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 运算 n 阶行列式副对角线以上的元素全为0 其中 表示元素为任意数 解由定义有 递推关系递推公式 由以上结论简洁得到 四 n 阶行列式的性质 行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式 记 性质 1 行列式的行与列互换其值不变 即 DT D 性质 1 说明行列式对行成立的性质都适用于列 下面仅对行争论 由性质 1 和前面关于下三角行列式的结果马上可以得到 上三角行列式 主对角线以下的元素全为 0 的值等于主 对角元的积即 性质 2 行列式按任一行绽开其值相等即 其中 是 D 中去掉第 i 行第 j列的全部元素后剩下的元素 按原先的次序排

2、成的 n 1 阶行列式称为 的余子式 称为 的代数余子式 即 性质 3 线性性质 1 行列式的某一行 列 中全部的元素都乘以同一数k 等于用数 k 乘此行列式 2 如行列式的某一行列 的元素都是两数之和 那么该行列式可以写成两个行列式的和例如 1 如行列式的某一行 列 的元素都是 n 个数之和那么该行列式可以写成 n 个行列式的和 例如 说明 2 如行列式的某 m 行 列 的元素都是 两 例如 说明 个数之和那么该行列式可以写成 个行列式的和 由性质 3 立刻得到 推论 1 某行元素全为零的行列式其值为零性质 4 行列式中两行对应元素全相等其值为名师归纳总结 零 对行列式的阶数用数学归纳法证明

3、证明当 D为二阶行列式时结论明显成第 1 页,共 4 页立 假设当 D 为 n 1 阶行列式时结论成立设行列式 D 的第 i 行和第 j 行元素对应相等就当 D为 n 阶行列式时将 D 按第 k 行绽开得其中为 k 1 阶行列式 且有两行元素对应相等 故 由归纳假设知推论 2 行列式中两行对应元素成比例其值为零由性质 3 和性质 4 立刻得到性质 5 在行列式中把某行各元素分别乘以数 k 再加- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 到另一行的对应元素上行列式的值不变对行列式做倍加行变换其值不变即在行列式的运算中性质 35 以及下面的性质 6常常 用到为书写便

4、利我们先引入几个记号 用 表示第 i 行 表示第 i 列 交换行列式的第 i j 两行 列 记作 把行列式的第 j 行 列 的各元素乘以同一数 k 然后加到第 i 行 列 对应的元素上去 记作 行列式的第 i 行 列 乘以数 k 记作留意 和 含义不同 性质 6 反对称性质 行列式的两行对换行列式的值反号证明 课程简介 线性代数是代数学的一个分支主要处理线性关系 问题 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式 来表达的 最简洁的线性问题就是解线性方程组 行列式和矩阵为处理线性问题供应了有力的工具 也推动了线性代数的进展 向量概念的引入形成了向 量空间的概念而线性问题都可以用向量空间的观点加

5、以争论 因此向量空间及其线性变换以及与此相联系 的矩阵理论构成了线性代数的中心内容它的特点是争论的变量数量较多关系复杂方法上 既有严谨的规律推证又有奇妙的归纳综合也有繁 琐和技巧性很强的数字运算在学习中需要特殊加 强这些方面的训练 第一章 行列式 其次章矩阵 第三章 线性方程组 第四章 向量空间与线性变换 基础 基本内容 用向量的观点争论基本问题并介绍向量空间的有关内容 第五章 特点值与特点向量 第六章 二次型 矩阵理论 中心内容 参考及辅导书目 1 线性代数学习指南居余马 林翠琴 编著 清华高校出版社 2线性代数第四版 同济高校应用数学系编 高等训练出版社 一二阶行列式的引入 用消元法解二元

6、 一次 线性方程组 11 n 阶行列式的定义与性质 1 2 1 a22 a11a22x1 a12a22x2 b1a22 2 a12 a12a21x1 a12a22x2 b2a12 两式相减消去 x2 得名师归纳总结 a11a22 a12a21 x1 b1a22 b2a12 当 a11a22 a12a21 0时 方程第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 组的解为由方程组的四个系数确定 3 类似地 消去 x1 得 a11a22 a12a21 x2 b2a11 b1a21 如记 4 就方程组的解 3 可以表示为 称 主对角线 副对角线 二阶

7、行列式的运算对角线法就 ad bc 为二阶行列式 对于二元线性方程组 D 称为线性方程组 1 的系数行列式 如记 1 留意 分母都为原方程组的系数行列式 就该二元线性方程组的解 3 式 3 可表示为 例 1 解二元线性方程组 解 3 4 7 0 并称它为三阶行列式横为行竖为列二三阶行列式 定义 列标 行标 对于由 9 33 个元素排成 3 行 3 列的式子 i 为行标 j 为列标 1 沙路法 三阶行列式的运算 即 2 对角线法就 留意 红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元 素的乘积冠以负号 例 2 运算三阶行列式 解 按对角线法就 有 D 12 2 21 3 4 2 4 4 2 3 2 2

8、2 114 4 6 32 24 8 4 14 对于三元线性方程组 假如其系数行列式 那么可求得方程组的解为 其中 是用常数项 替换 D 中的第 j 列所得到的三阶行列式 即 说明 2 二阶行列式包括 2 项 每一项都是位于不同行 不同列的两个元素的乘积 其中一项为正 一项为负 三阶行列式包括 3 项 每一项都是位于不同行 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正三项为负 说明 1 对角线法就沙路法只适用于二阶与三阶行列式说明 3 对于 nn 3 阶行列式不能用沙路法定义 例 3 求解方程 解 方程左端为一个三阶行列式 其值为 D 3x2 4x 18 12 2x2 9x x2 5x 6 由D x2

9、5x 6 0 解得 x 2 或 x 3 对于一阶行列式我们规定这里 是行列式符号不是肯定值符号问题如何定义一般的 n 阶行列式 n 阶行名师归纳总结 列式一般有三种定义方式第一种是抽象定义方法可以查阅同济高校线性代数教第 3 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 材其次种是公理化定义方法第三种就是本教材所采纳归纳定义法方法 第一对于三阶行列式我们可以用二阶行列式来表示它这里 分别称为元素的余子式并分别称 为元素 的代数余子式于是余子式 的余子式就是在 D 中去掉 所在的行 与列后由剩下的元素按原先的次序排列成的低一阶的 行列式 代数余子式的代

10、数余子式就是在 的余子式前 加上符号 例如 对于二阶行列式 同样也有从上面的分析可以看到假如分别把看作二阶行列式和三阶行列式的定义那么这种定义 方式是统一的即用低阶行列式定义高一阶的行列式 下面我们就用这种方法给出行列式的归纳定义 和 三 n 阶行列式的定义 定义 由 个数组成的 n 阶行列式 是一个算式 当 n1 时定义 当 时定义其中 称 为元素 的余子式 为元素 的代数余子式 说明 所在的对角线称为行列式的主对角线 称为主对角元 项且带正号的项和带负号的项各占一半每一项都是 不同行不同列的 n 个元素的积 2n 阶行列式由 个元素构成其绽开式中共有 例 1 证明 n 阶下三角行列式的值为 n 个主对角元的 乘积即主对角线以上的元素全为 0 即当 i j 时 证明对 n 用数学归纳法 下三角行列式 1 当 n 2 时 结论成立 2 假设结论对 n 1 阶下三角行列式成立那么 对于 n 阶下三角行列式由定义有故所证结论成立 n 阶对角线行列式名师归纳总结 主对角线以外的元素全为0 即当 对角线行列式是下三角行列式的特例故也有第 4 页,共 4 页i j 时- - - - - - -