立体几何10道大题.doc

-! 立体几何练习题 1. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面面，已知，，，. （1）设平面与平面的交线为，求证：； （2）求证：； （3）求直线与面所成角的正弦值. 2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，AD=AC=1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO=2，M为PD的中点。 （1）证明：PB//平面ACM； （2）证明：AD平面PAC （3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。 3. 如图，四棱锥中，，，△与△都是等边三角形． （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 4. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB． （Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB； （Ⅱ）求证：PD∥平面EAC； （Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值． 5. 如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，，，且． （1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角的余弦值. 6. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2． （1）求证：AB⊥BC； （2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小． 7. 在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD． （1）求证AB⊥面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小． 8. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2． （Ⅰ） 求证：EF∥BC； （Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值． 9. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点． （Ⅰ）求证：PB⊥DM； （Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角． 10. 如图，在等腰梯形中，，，，四边形 为矩形，平面平面，. （1）求证：平面； （2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.  立体几何试卷答案 （2）证明：连接AC， ， 由余弦定理得， 6分 取中点，连接，则. 面 …………………8分 （Ⅲ）如图，以射线OA为轴，以射线OB为轴，以射线OS为轴，以为原点，建立空间直角坐标系, B y S C A D 2、试题解析：（1）证明：为AC的中点，即O为BD的中点，且 M为PD的中点， 又平面ACM，平面ACM, 所以PB//平面ACM。 （2）证明：因为，AD=AC，所以， 所以, 又PO平面ABCD，所以 所以AD平面PAC。 （3）取OD的中点为N，因为所以MN平面ABCD， 所以为直线AM与平面ABCD所成角。 因为AD=AC=1，，所以 所以又所以 3.（1）证明见解析；（2）．． 试题解析：（1）证明：过作平面于，连． 依题意，则．又△为，故为的中点． ∵面，∴面面．在梯形中，， 4.【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC． 又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．… （Ⅱ）证明：∵PC⊥AD， ∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，∴∠DCA=∠BAC=， 又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形， ∴DC=AC=（AB）=2AB． 连接BD，交AC于点M，则==2． 连接EM，在△BPD中， ==2，∴PD∥EM， 又PD⊂/平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC．… （Ⅲ）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1） 设=（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则⊥，⊥， ∵=（3，3，0），=（0，2，1）， ∴解得x=，y=﹣，∴=（，﹣，1）． 设=（x′，y′，1）为平面PBC的一个法向量，则⊥，⊥， 又=（3，0，0），=（0，﹣3，3）， ∴，解得x′=0，y′=1，∴=（0，1，1）． （取PB中点为F，连接AF可证为平面PBC的一个法向量．） ∵cos＜，＞=|=， ∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为..… 注：以其他方式建系的参照给分． 5.（1）详见解析；（2）. 试题分析：（1）连接，交于点，连接，证明平面，从而即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解. 试题解析：（1）连接，交于点，连接，则平面， ∵为中点，为中点，∴为的中位线，∴， 又∵平面平面，平面平面，平面，， 6【解答】（本小题满分14分） （1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，… 因AA1=AB，则AD⊥A1B 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1， 且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B。 得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．… 因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1， 又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC． （2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC， 则CD是AC在平面A1BC内的射影 ∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则… 在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点 ∴，且，∴… 过点A作AE⊥A1C于点E，连DE 由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A ∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，… 且直角△A1AC中： 又，∴， 且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角 ∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．… 7.【解答】证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E， 则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB． 又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD． （2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角． 设正方形ABCD的边长为a， 则在Rt△ABF中，AB=a，AF=a，tan∠AFB= 故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为． 8. 【解答】（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形 ∴AD∥BC，且BC⊄面ADEF，AD⊂面ADEF， ∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，∴EF∥BC． 解：（Ⅱ）∵FO⊥面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥OB 又∵OB⊥AO，以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴， y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD． 又∵BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标： B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0）， F（0，0，），E（﹣，﹣，）， 向量=（﹣，，），向量=（﹣，﹣1，0），向量， 设面BCFE的法向量为：， ，得到， 令时， =（﹣1，，1）， 面AOF的一个法向量， 设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为θ， 则cosθ===，∴sinθ=． 故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为．… 9 9 如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1， 则A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0） （Ⅰ）因为=0所以PB⊥DM． （Ⅱ）因为=0所以PB⊥AD． 又PB⊥DM． 因此的余角即是BD与平面ADMN． 所成的角． 因为所以= 因此BD与平面ADMN所成的角为． 10. 试题解析：（1）证明：在梯形中， ∵，，，∴， ∴， ∴，∴， ∴平面平面，平面平面，平面， ∴平面. （2）由（1）分别以直线为轴，轴，轴发建立如图所示空间直角坐标系， 令，则， ∴.设为平面的一个法向量， 由，得，取，则， ∵是平面的一个法向量， ∴. ∵，∴当时，有最小值， 当时，有最大值，∴.