立体几何经典编辑大题(各个类型的典型题目).doc

-! 立体几何大题训练(1) 1．如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点． （1）FD∥平面ABC；（2）AF⊥平面EDB． 2．已知线段PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点。 （1）求证：MN//平面PAD； （2）当∠PDA＝45时，求证：MN⊥平面PCD； 立体几何大题训练(2) 3．如图，在四面体ABCD中，CB=CD,，点E，F分别是AB,BD的中点．求证： （1）直线EF// 面ACD； （2）平面面BCD． A B C D E F 4．在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC （1）若D是BC的中点，求证 AD⊥CC1； （2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1， 求证 截面MBC1⊥侧面BB1C1C； （3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由 ] 立体几何大题训练(3) 5. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点． _ G _ M _ D _ 1 _ C _ 1 _ B _ 1 _ A _ 1 _ N _ D _ C _ B _ A 求证：（1）MN//平面ABCD； （2）MN⊥平面B1BG． 6. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面CB1D1； A B C D A1 B1 C1 D1 E F （2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1． 立体几何大题训练(4) E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 7、如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点 (1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥面FCC1； (2)证明：平面D1AC⊥面BB1C1C。 8．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60，PA=AC=a，PB=PD=，点E，F分别在PD，BC上，且PE：ED=BF：FC。 （1）求证：PA⊥平面ABCD； （2）求证：EF//平面PAB。 立体几何大题训练(5) 9．如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1． A P B C D E F （1）求证：PA⊥BC； （2）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF； （3）求三棱锥P-ABC的体积． 10、直三棱柱中，，． A B C C1 A1 B1 （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 立体几何大题训练(6) 11、如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点． （1）求证C1E∥平面A1BD； （2）求证AB1⊥平面A1BD； E D C B 1 C 1 A 1 A B 12.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1= （I）求证：PA1⊥BC；（II）求证：PB1//平面AC1D； 立体几何大题训练(7) 13.如图，平行四边形中，，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： （Ⅱ）求三棱锥的侧面积。 第14题 14. 如图,在四棱锥中,侧面底面,侧棱,底面是直角梯形,其中,,,是上一点. (Ⅰ)若,试指出点的位置； (Ⅱ)求证:. 立体几何大题训练(8) 15 、如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD， A B C D E Q P E为PC的中点. （1）证明：EB∥平面PAD； （2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC； 16．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。 （I）求证：CD⊥平面A1ABB1； （II）求证：AC1//平面CDB1。 立体几何大题训练(9) 17．如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE． B A D C F E （第17题） （1）求证：AE⊥BE； （2）求证：AE∥平面BFD． 18．如图所示，在直三棱柱中，，平面为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）设是上一点，试确定的位置使平面平面，并说明理由． A1 B1 C1 A B C D 立体几何大题训练(10) 19．如图，在直三棱柱中，，、分别为、的中点， （1）求证：； （2）求证： 20．如图，、分别为直角三角形的直角边和斜边的中点，沿将折起到的位置，连结、，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 立体几何大题训练(11) 21．如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且E、O分别为PC、BD的中点． 求证：（1）EO∥平面PAD；P E C B A D O （2）平面PDC⊥平面PAD． 22．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90，∠BAC＝∠CAD＝60，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2． （Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V； （Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF； （Ⅲ）求证CE∥平面PAB． 立体几何大题训练(12) 23.在四棱锥中，底面为菱形，,E为OA的中点，F为BC的中点，连接EF，求证： （1） (2) A B E D C 24、已知：等边的边长为，分别是的中点，沿将折起，使，连,得如图所示的四棱锥 (Ⅰ)求证：平面 (Ⅱ)求四棱锥的体积 A B C E D 立体几何大题训练(13) 25、如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E是PD的中点 （1）求证：PB∥平面AEC （2）求证：平面PDC⊥平面AEC 26．如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF∥平面ABC；w.（2）平面平面. 立体几何大题训练(14) 27、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点． （1）求证：//平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积． 28.正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点. C 1 B 1 A 1 E D C B A （Ⅰ）求三棱柱的全面积； （Ⅱ）求证：∥平面; （Ⅲ）求证：平面⊥平面. 立体几何大题训练(15) 29. 已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为的中点， （1）求证：//平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥E-ABF的体积。 30．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为 CD的中点，沿AE将AED折起，使DB＝2，O、H分别为AE、AB的中点． A B C D E A B C D E O H （1）求证：直线OH//面BDE； （2）求证：面ADE面ABCE. 立体几何大题训练(16) 31．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，ABAD，CD=DD1 =4，AD=AB=2，E、F分别为BC、CD1中点． (I)求证：EF∥平面BB1D1D； A B C D E A1 B1 C1 F D1 第31题图 (Ⅱ)求证：BC平面BB1D1D； (Ⅲ)求四棱锥F-BB1D1D的体积. 32、如图，已知平面是正三角形，，且是的中点。 （I）求证：平面； （II）求证：平面平面；[来源:学.科.网] 立体几何大题训练(17) 33.如图已知平面，且是垂足． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论． 34．如图，四棱柱的底面边长和侧棱长均为1，为中点． A1 D1 C1 B1 B A C D O1 （I）求证：； （II）求证：； （III）求四棱柱的体积．ks5u 立体几何大题训练(18) 35. 如图，正三棱柱中，已知，为的中点． A B C A1 1 C 1 B 1 M （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）试在棱上确定一点，使得平面． 36． 正三棱柱中，点是的中点，．设． （Ⅰ）求证:∥平面;（Ⅱ）求证:⊥平面． 答案与评分标准 1.证明（1）取AB的中点M，连FM，MC， ∵ F、M分别是BE、BA的中点， ∴ FM∥EA，FM=EA． ∵ EA、CD都垂直于平面ABC， ∴ CD∥EA，∴ CD∥FM． ………………3分 又 DC=a，∴FM=DC． ∴四边形FMCD是平行四边形， ∴ FD∥MC．即FD∥平面ABC．……………7分 （2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形， ∴CM⊥AB，又CM⊥AE， ∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF， ………………………………11分 又F是BE的中点，EA=AB，∴AF⊥EB． 即由AF⊥FD，AF⊥EB，FD∩EB＝F， 可得AF⊥平面EDB． ……………………………………………………14分 2. （1）取PD的中点E，连接AE、EN ∵EN平行且等于DC，而DC平行且等于AM ∴AMNE为平行四边形MN∥AE ∴MN∥平面PAD （2）∵PA⊥平面ABCD∴CD⊥PA又 ∵ABCD为矩形 ∴CD⊥AD, ∴CD⊥AE，AE∥MN，MN⊥CD ∵AD⊥DC，PD⊥DC ∴∠ADP=45, 又E是斜边的PD的中点∴AE⊥PD， ∴MN⊥PD∴MN⊥CD，∴MH⊥平面PCD. 3、证明：（1）∵E,F分别是的中点． ∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD， ∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD； （2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD， ∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F, ∴BD⊥面EFC， ∵BD面BCD，∴面面 4、(1)证明 ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C ∴AD⊥CC1 (2)证明 延长B1A1与BM交于N，连结C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1 ∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1 ∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C (3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性 过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C ∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C ∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1 ∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点 ∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1 5. 证明：（1）取CD的中点记为E，连NE，AE． 由N，E分别为CD1与CD的中点可得 NE∥D1D且NE=D1D， ………………………………2分 又AM∥D1D且AM=D1D………………………………4分 所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形 所以MN∥AE， ……………………… ………6分 又AE面ABCD,所以MN∥面ABCD ……8分 （２）由AG＝DE　，，DA＝AB 可得与全等 ……………………………10分 所以， ……………………………………………………………11分 又，所以 所以， ………………………………………………12分 又,所以， ……………………………………………………13分 又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG ………………………………………… …15分 6.（1）证明:连结BD. 在长方体中，对角线. 又 E、F为棱AD、AB的中点， . . 又B1D1平面，平面， EF∥平面CB1D1. （2） 在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1， AA1⊥B1D1. 又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， B1D1⊥平面CAA1C1. 又 B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1． 7、证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1， E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， 所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D， 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D， 所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC， 所以直线EE//平面FCC. E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD, 所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2, F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形， ,△ACF为等腰三角形，且 所以AC⊥BC, 又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C, 所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC, 所以平面D1AC⊥平面BB1C1C. 8．（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60， ∴AB=AD=AC=a.在△PAB中， ∵PA2+AB2=2a2=PB2, ∴PA⊥AB，同时PA⊥AD，又ABAD=A， ∴PA⊥平面ABCD.……………………4分 （2）作EG//PA交AD于G，连接GF. ………………6分 则 ∴GF//AB.……………………8分 又PAAB=A，EGGF=G， ∴平面EFG//平面PAB，……………………9分 又EF平面EFG， ∴EF//平面PAB.……………………10分 9．(1) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5， ∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中， 同理可得 ∵，∴ ∵平面ABC，∴PA⊥BC. (2) 如图所示取PC的中点G， 连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点 又D、E分别为BC、AC的中点， ∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F ∴面ABG∥面DEF 即PC上的中点G为所求的点。 （3） 10、（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC， 则BB1⊥AB，BB1⊥BC， 又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=， 则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC， 又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB， 所以有平面AB1C⊥平面B1CB； ----------------------------------- 8分 （2）三棱锥A1—AB1C的体积．----------14分 11、（1）设AB1与A1B相交于F，连EF，DF．则EF为△AA1B1的中位线，∴EFA1A．……2分 ∵C1DA1A，∴EFC1D，则四边形EFDC1为平行四边形，∴DF∥C1E． ……4分 ∵C1E平面A1BD，DF平面A1BD，∴C1E∥平面A1BD． ……6分 （2）取BC的中点H，连结AH，B1H， 由正三棱柱ABC－A1B1C1，知AH⊥BC， ……8分 ∵B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AH．∵B1B∩BC＝B，∴AH⊥平面B1BCC1．∴AH⊥BD． ……10分 在正方形B1BCC1中，∵tan∠BB1H＝tan∠CBD＝，∴∠BB1H＝∠CBD．则B1H ⊥BD．……12分 ∵AH⊥∩B1H＝H，∴BD⊥平面AHB1．∴BD⊥AB1． 在正方形A1ABB1中，∵A1B⊥AB1．而A1B∩BD＝B，∴AB1⊥平面A1BD． ……14分 12.解：（I）证明：取B1C1的中点Q，连结A1Q，PQ， ∴△PB1C1和△A1B1C1是等腰三角形， ∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ， …………2分 ∴B1C1⊥平面AP1Q， …………4分 ∴B1C1⊥PA1， …………6分 ∵BC∥B1C1，∴BC⊥PA1. …………7分 （II）连结BQ，在△PB1C1中，PB1=PC1=，B1C1=2，Q为中点， ∴PQ=1，∴BB1=PQ，…………9分 ∴BB1∥PQ，∴四边形BB1PQ为平行四边形， ∴PB1∥BQ. …………11分 ∴BQ∥DC1， ∴PB1∥DC1，…………12分 又∵PB1面AC1D， ∴PB1∥平面AC1D. …………14分 13.证：（I）证明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面 （Ⅱ）解：由（I）知从而 在中， 又平面平面 平面平面，平面 而平面 综上，三棱锥的侧面积， 14. (Ⅰ)解:因为,,且, 所以……………………………………………………………………………………………(4分) 又,所以四边形为平行四边形,则……………………………………(6分) 而,故点的位置满足………………………………………………………(8分) (Ⅱ)证: 因为侧面底面,,且, 所以,则…………………………………………………………………(10分) 又,且,所以 …………(14分) 而,所以…………………………………………………(16分) 15、（1）取PD中点Q，连EQ、AQ，则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB， 又∥AQ 又∥平面PAD （2）PA⊥底面ABCD ∴CD⊥PA，又CD⊥AD∴CD⊥平面PAD ∴AQ⊥CD若PA=AD，∴Q为PD中点， ∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面PCD∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD 16．证明：（I）证明：∵ABC—A1B1C1是三直棱柱， ∴平面ABC⊥平面A1ABB1，∵AC=BC，点D是AB的中点， ∴CD⊥AB，平面ABC∩平面A1ABB1=AB，∴CD⊥平面A1ABB1。 （II）证明：连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE。 ∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1。 ∵DE平面CDB1，AC平面CDB1， ∴AC1//平面CDB1。 17．（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB， G B A D C F E ∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE． ∵AD∥BC，则BC⊥AE． 又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE． ∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE． （2）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点， ∵BF⊥平面ACE，则BF⊥CE． 而BC=BE，∴F是EC中点． …………………10分 在△ACE中，FG∥AE， ∵AE平面BFD，FG平面BFD， ∴ AE∥平面BFD． ………………………14分 18、解：（1）证明：连接与相交于，则为的中点，连结，又为的中点，∴，又平面，∴平面．…………4分 （2）∵，∴四边形为正方形，∴，又∵面，∴，∴面，∴， 又在直棱柱中，∴平面．………………8分 （3）当点为的中点时，平面平面， 、分别为、的中点，∴，平面， ∴平面，又平面，∴平面平面．…………14分 19、证明：（1）在中， ∵、分别为、的中点， ∴ 4分 又 ∴ ………………7分 （2）∵三棱柱是直三棱柱 ∴， ∵平面， ∴ ………………9分 ∵在中，，为的中点， ∴ ………………11分 ∵、平面 ∴平面 又平面 ∴ ………………14分 20．(1)证明：E、P分别为AC、A′C的中点， EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B ∴即EP∥平面A′FB …………………………………………7分 (2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC BC平面A′BC ∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………14分 21．（1）证法一：连接AC． 因为四边形ABCD为矩形，所以AC过点O，且O为AC的中点． 又因为点E为PC的中点，所以EO//PA．…………………………………………………………4分 因为PA平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD．……………………………………7分 证法二：取DC中点F，连接EF、OF． 因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EF//PD，OF//BC． 在矩形ABCD中，AD//BC，所以OF//AD． 因为OF平面PAD，AD平面PAD，所以OF//平面PAD． 同理，EF//平面PAD． 因为OF∩EF＝F，OF、EF平面EOF， 所以平面EOF//平面PAD． …………………………………………………………………………4分 因为EO平面OEF，所以EO∥平面PAD．……………………………………………………7分 证法三：分别取PD、AD中点M、N，连接EM、ON、MN． 因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EMCD，ONAB． 在矩形ABCD中，ABCD，所以EMON． 所以四边形EMNO是平行四边形．所以EO//MN．………………………………………………4分 因为MN平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD． …………………………………7分 （2）证法一：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．…………………………………………9分 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD．………………………………………………………………………………12分 又因为CD平面PDC， 所以平面PDC⊥平面PAD． ………………………………………………………………………14分 证法二：在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F． 因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD． 因为CD平面ABCD，所以PF⊥CD． ………………………………………………………9分 因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．……………………………………………………11分 因为PF∩AD＝F，所以CD⊥平面PAD．………………………………………………………12分 又因为CD平面PDC， 所以平面PDC⊥平面PAD．………………………………………………………………………14分 22. 解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60，∴BC＝，AC＝2． 在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60， ∴CD＝2，AD＝4． ∴SABCD＝． 则V＝． （Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点， ∴AF⊥PC． ……………… 7分 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD． ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC． ∵E为PD中点，F为PC中点， ∴EF∥CD．则EF⊥PC． ……… 9分 ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分 （Ⅲ）证法一： 取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA． ∵EM 平面PAB，PA平面PAB， ∴EM∥平面PAB． ……… 12分 在Rt△ACD中，∠CAD＝60，AC＝AM＝2， ∴∠ACM＝60．而∠BAC＝60，∴MC∥AB． ∵MC 平面PAB，AB平面PAB， ∴MC∥平面PAB． ……… 14分 ∵EM∩MC＝M， ∴平面EMC∥平面PAB． ∵EC平面EMC， ∴EC∥平面PAB． ……… 15分 23. 24、证明 ：(Ⅰ)连，在等边中有，而， ----3分 A B C E D 在中，，则，由对称性知， 在中，则 又，----7分 (Ⅱ)在梯形中，易知 ----10 又 -------14分 25．（1）连结交于点，连结， 因为为中点，为中点，所以， …………………2分 ，，所以，………………6分 （2）因为，所以， 又因为，且，所以 ．…………8分 因为，所以 ．………………………………………………………………10分 因为，所以． 因为，所以．……………………………………………………………12分 又因为，所以．………………………………………………14分 26． 27、证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则 （2） （3） 且 ， ∴ 即 = = 28．解:（1）解由三棱柱是正三棱柱，且棱长均为2， 可知底面是正三角形，侧面均为正方形， C 1 B 1 A 1 E D C B A 故三棱柱的全面积. (2) 在正三棱柱中，因为分别是的中点， 可知,又∥, 所以四边形是平行四边形，故∥, 又平面,平面, 所以∥平面. (3) 连,设与相交于， 则由侧面为正方形，可知与互相平分. 在△中，, 同理可得,故, 连,可得. 连,同理可证, 又与相交于，故平面. 因为平面, 故平面平面. 29. 解：（1）取BB1 中点G，连DG,EG ∵B1D=AD， B1G=GB，∴DG//AB，同理GE//BC, ∵DGGE=G，ABBC=B，∴平面DGE//平面ABC , ∵DE平面DGE，∴DE//平面ABC . ………………5分 （2） ∵AB=AC=2 BAC= , ∴BC=2 在中EC=1 ∴=3 = ∴ 又∵ , ∴平面,∴ ∵， , ∴平面 ………………10分 （3）EF=. ，=1 …14分 30.解：(1)证明∵O、H分别为AE、AB的中点 ∴OH//BE，又OH不在面BDE内 ∴直线OH//面BDE (2) O为AE的中点AD＝DE，∴DOAE ∵DO=，DB=2，BO2＝10 ∴ ∴又因为AE和BO是相交直线 所以，DO面ABCE， 又OD在面ADE内 ∴面ADE面ABCE. 31．证明： (I)连结BD1，∵E、F分别为BC、CD1中点； ∴EF∥BD1， ………………2分 又∵BD1平面BB1D1D ，EF平面BB1D1D ∴EF∥平面BB1D1D； ………………4分(少一条件扣1分) (Ⅱ)取CD中点M，连结BM，则DM=CM=2， ∵AB∥CD，ABAD， ∴四边形ABMD是正方形，则DM=CM=BM=2， ∴BCBD， ………………7分（或由计算证明） 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，有BCBB1，且BD∩BB1=B， ∴BC平面BB1D1D； ………………9分 A B C D E A1 B1 C1 F D1 第31题图 M N (Ⅲ)取BD1中点N，连结FN，则FN∥BC， ………………10分 由(Ⅱ)知BC平面BB1D1D，∴FN平面BB1D1D， 则FN是四棱锥F-BB1D1D的高，且 ∵S四边形BB1D1D= ∴ ………………14分 32. 33、解：（Ⅰ）因为，所以．同理． 又，故平面． 5分 （Ⅱ）设与平面的交点为，连结、．因为平面， 所以，所以是二面角的平面角． 又，所以，即． 在平面四边形中，， 所以．故平面平面． 14分 35. 解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接 B A1 1 B 1 A C C 1 M N E 因为是正三角形， 所以 又是正三棱柱， 所以面，所以 所以有面 因为面 所以； （Ⅱ）为的三等分点，． 连结，， ∵ ，∴ ． ∴ ， ∴ 又∵面，面 ∴ 平面 36．证明:（Ⅰ）连结，设交于,连结． ∵点是的中点,点是的中点， ∴DE∥． …………3分 ∵平面, DE 平面, ∴∥平面． …………6分 （Ⅱ）∵是正三角形, 点是的中点, ∴. ∵平面平面,平面平面,平面, ∴平面. ∵平面, ∴. ………………………………9分 （第17题） ∵点是中点, ， ∴． ∵, ∴Rt△∽Rt△． ∴． ∴ ＝． ∴ …………………………………13分 ∵, ∴⊥平面．