2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习讲义：第八章　立体几何与空间向量 第3讲　空间图形的基本关系与公理.3 .doc

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1、8.3空间图形的基本关系与公理最新考纲考情考向分析1.理解空间直线、平面位置关系的定义2.了解可以作为推理依据的公理和定理3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的

2、位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补知识拓展1唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直2异面直线的判定

3、定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(5)没有公共点的两条直线是异面直线()(6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a?，b?，则a，b是异面直线()题组二教材改编2如图所示，已知M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN与CD1所成的角为_答案

4、60解析连接AD1，AC，因为M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，所以AD1MN，故AD1C为MN与CD1所成的角或其补角，由于ACAD1D1C，故AD1C60，则MN与CD1所成的角为60.3.如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形答案(1)ACBD(2)ACBD且ACBD解析(1)四边形EFGH为菱形，EFEH，故ACBD.(2)四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，EF綊AC，EH綊BD，ACBD且AC

5、BD.题组三易错自纠4若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案B解析A项，设过点P的直线为n，若n与l，m都平行，则l，m平行，与l，m异面矛盾，A错；B项，l，m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有1条，B对；C项，如图所示，在正方体ABCDABCD中，设AD为直线l，AB为直线m，若点P在P1点，显然无法作出直线与两直线都相交，C错；D项，若P在P2点，则直线CC及DP2均与l，m异面，D错5下列命题正确的有_(填序号)

6、若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线l上有无数个点不在平面内，则l与平面平行；若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面答案解析正确；错误，直线l与平面相交时，仍有无数个点不在平面内；错误，直线l与平面内过该交点的直线不是异面直线；错误，另一条直线可能在该平面内；正确6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方

7、体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对题型一平面基本性质的应用典例如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示则由PCE，CE?平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面AB

8、CD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点跟踪训练已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ，求证：(1)D，B，

9、F，E四点共面；(2)若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线证明(1)如图EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，EFBD.EF，DB确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)在正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为，平面BDEF为.QA1C1，Q.又QEF，Q，则Q是与的公共点，PQ.又A1CR，RA1C，R，且R，则RPQ，故P，Q，R三点共线题型二判断空间两直线的位置关系典例 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与

10、l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交答案D解析方法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾故l至少与l1，l2中的一条相交方法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确(2)(2017唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案解析在图中，直线GHMN；在图中，G，H，N

11、三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；在图中，连接GM，GMHN，因此GH与MN共面；在图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决跟踪训练 (1)(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D

12、既不充分又不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立题型三求两条异面直线所成的角典例 (2018南宁模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案D解

13、析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.引申探究将上例条件“AA12AB2”改为“AB1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，试求的值解设t，则AA1tAB.AB1，AA1t.A1C1，A1BBC1，cosA1BC1.t3，即3.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角如果求出的角是锐角或直角，则

14、它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角跟踪训练在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则异面直线BF与D1E所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案D解析如图，过E点作EMAB，过M点作MNAD，取MN的中点G，所以平面EMN平面ABCD，EGBF，异面直线BF与D1E所成的角，转化为D1EG，不妨设正方体的棱长为2，GE，D1G，D1E3，在D1GE中，由余弦定理cosD1EG，故选D.构造模型判断空间线面位置关系典例已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn

15、，则；若m，n，则mn.其中所有正确的命题是_(填序号)思想方法指导本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型直观地对问题作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断解析借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面，可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面，可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确答

16、案1在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案A解析选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的2(2018佛山模拟)在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线()A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条答案D解析在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的

17、位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交3(2017济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确故选C.4(2017福州质

18、检)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90答案C解析如图，延长CA到点D，使得ADAC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角又A1DA1BDB，所以A1DB为等边三角形，所以DA1B60.故选C.5下列命题中，正确的是()A若a，b是两条直线，是两个平面，且a?，b?，则a，b是异面直线B若a，b是两条直线，且ab，则直线a平行于经过直线b的所有平面C若直线a与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D若直线a平面，点P，则平面内经过点P

19、且与直线a平行的直线有且只有一条答案D解析对于A，当，a，b分别为第三个平面与，的交线时，由面面平行的性质可知ab，故A错误对于B，设a，b确定的平面为，显然a?，故B错误对于C，当a?时，直线a与平面内的无数条直线都平行，故C错误易知D正确故选D.6以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析显然是正确的；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；中构造长方体(或

20、正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确7给出下列命题，其中正确的命题为_(填序号)如果线段AB在平面内，那么直线AB在平面内；两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A，B，C；若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面；两组对边相等的四边形是平行四边形答案8. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析如图，ABEF，正确；显然ABCM，所以不

21、正确；EF与MN是异面直线，所以正确；MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是.9如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_答案4解析EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个10.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_答案解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1

22、是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.11.(2018石家庄调研)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点求证：D1，H，O三点共线证明如图，连接BD，B1D1，则BDACO，BB1綊DD1，四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D?平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1.即D1，H，O三点共线12.如图所示，等腰直

23、角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值解如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD.BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角在RtEAB中，ABAC1，AEAD，BE.在RtEAF中，AFAC，AE，EF.在RtBAF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB.异面直线BE与CD所成角的余弦值为.13(2018长春质检)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4C

24、l1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA.若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C.若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；若取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直因此l1与l4的位置关系不能确定14.(2017郑州质检)如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是_(填序号)BM是定值；点M在某个球面上运动；存在

25、某个位置，使DEA1C；存在某个位置，使MB平面A1DE.答案解析取DC的中点F，连接MF，BF，则MFA1D且MFA1D，FBED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得正确；由MFA1D与FBED可得平面MBF平面A1DE，可得正确；若存在某个位置，使DEA1C，则因为DE2CE2CD2，即CEDE，因为A1CCEC，则DE平面A1CE，所以DEA1E，与DA1A1E矛盾，故不正确15.(2017山西四校联考)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱

26、DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是()A4 BC2 D.答案D解析连接DN，则MDN为直角三角形，在RtMDN中，MN2，P为MN的中点，连接DP，则DP1，所以点P在以D为球心，半径R1的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积S4R2.16在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条答案无数解析方法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示方法二(图略)在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因为CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交