2022年焦点专题导数与函数综合问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点专题 3 导数与函数综合问题 上 【基础盘点】1、判定函数单调性四法：“ 和、积函数型 ”观看法 ：i “增函数增函数” 为,如 y x 1；xii “正的增函数 正的增函数 ” 为,如 y x e x x 0；“ 复合函数型 ”箭头分析法 ：在 f g x 中,令 t g x ,有 f g x f t ,当 x,t,f t 时,f g x 为 函数,当 x, t,f t 时,f g x 为 函数,当 x, t,f t 时,f g x 为 函数等,如 f x log x 21 的递减区间为 . “ 抽象函数型 ”定义法 ： i当 x 1 x

2、 时,f x 2 f x 1 0,知 f x 为 函数,如“ 已知对于任意的实数 x y ,满意 f x y f x f y ,且当 x 0 时,f 1,求证 f x 为增函数 ”； ii 当 x 1 x 时,f x 2 f x 1 0,知 f x 为 函数,如“ 已知对于任意的正实数 x y ,满意 f xy f x f y ,且当 x 1 时,f x 0,求证 f x 为减函数 ”；“ 详细函数型”导数法 ：i f 0 f x 为 函数, ii f 0 f x 为函数 . Q1y 2、导数的几何意义 :如图 ,曲线 y f x 在点 P x 0 , y 0 Q2y=fx 处切线的 斜率 k

3、 ;切线方程为 . P 3、用导数求函数的单调区间 :解不等式 f 0 可得函数 O x f x 的单调递 区间 ;解不等式 f 0 可得函数 f x 的单调递 区间 . 4、知单调区间求参数的范畴 :函数 f x 在区间 I 上为增函数 在区间 I 上恒成立 ; 函数 f x 在区间 I 上为减函数 在区间 I 上恒成立 且 f 0 ;通过争论恒成立问题求解参数的取值范畴 . 35、导数与函数单调性的关系 :1试求函数 y x 的单调区间 ,并说明单调区间端点值的取舍原 就 为 ;2 试 举 一 例 子 说 明 “ 函 数 f x 在 区 间 I 上 为 增 函 数f 0 在区间 I 上恒成

4、立 ” ,例子 . n6、常用求导公式 : C , x , sin x ,cos , x x ln x ,log ax , e , a . u7、求导运算 : ku , u v , uv , . v1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例题精选】【例 1】 1争论函数 f x x a a R 的单调性,并画出其图象 . x【题情捉摸】 1函数 f x 的定义域为,需在此定义域争论该函数的单调性；2 f x 的单调性与 a 的取值亲密相关, 当 a 0 时,可用 法得到其单调性,当 a 0 时,也可用 法得到其单调性

5、,当 a 0 时,可用 法争论其单调性,再依据每种情形下的单调性可画出其图象 . 2 已知函数 f x x a 在区间 1,2 上为增函数 ,求实数 a 的取值范畴 . x【题情捉摸】 1 f x 在 1,2 上为增函数 恒成立 ; 2得 a1在 1,2 上恒成立 ,于是得 a 的取值范畴 . . 【例 2】 1函数f x x3x 的递增区间为. 3 f【题情捉摸】 1运算得 ;2令f 0,解得2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2已知函数f lnxx2kx,k为常数,试争论f x 的单调性 . 2【题情捉摸】 1

6、留意到f x 的定义域为,算得f 上的正、负即可. ; 2由于x0,故只需抓住,争论它在 0,【真题回忆】1、2022 广东理改 设 kR ,函数f x 1,x0,F x f x kx ,试争论函数xx x0F x 的单调性 . 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【名模精选】2、2022 惠州二模文 曲线yxx在xsin2处的切线方程为D. xyf40fx 2, 就1A.xy40B.x0C. xy0y43、2022 广州二模理 已知函数fxxx,假设x x 2, 2 2且x 1以下不等式中正确的选项是A.x 1x

7、 2B.x 1x 2C.x 1x 20D.2 x 1x 224、2022 广州一模文 已知函数fx3 x2 axbxc 在,0 上是减函数, 在 0,1 上是增函数,函数fx 在 R 上有三个零点,且1 是其中一个零点. 1求 b 的值；2求f2的取值范畴；fx 的图像交点个数的情形,并说明理由. 1.方程3摸索究直线yx1与函数 yx5、2022 广州二模文 已知函数fx3 xx2axb a,bR的一个极值点为ax2xb0的两个实根为, 函数 fx 在区间,上是单调的 . 1求 a 的值 ; 2求b的取值范畴 . 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料

8、 - - - - - - - - - 【例 1】 1解：可得函数f【参考答案】 x 的定义域为x0,当 a 0 时,f 1 a2 0,函数 f x 在 ,0,0, 上为增函数；x当 a 0 时,f 1 0,函数 f x 在 ,0,0, 上为增函数；2当 a 0 时,f 1 a2 x2 a x a 2 x a ,令 f 0,得 x 1 a ,x x x2x a ,当 x a 或 x a 时,f 0,f x 单调递增,当 a x 0 或0 x a 时,f 0,f x 单调递减,这时 f x 在 , a , a , 上为增函数；在 a ,0,0, a 上为减函数；由上面 f x 的单调性知,当 a

9、0 时,f x 的图象如图 a ,当 a 0 时,f x 的图象如图b ,当 a 0 时,f x 的图象如图 c ,y aO a 2 x y x y ax O aO 图 a图 b 图 ca2 解:得 f 1 2 x 1,2 恒成立 ,当 f x 在 1,2 上为增函数时 , x有 1 a2 0 ,即 a x 恒成立 ,2a x 2 min 1 .填 ,1x2【例 2】 1解:由 f x 1 0 x 1 或 x 1 .故填 , 1,1, . 22 解:1函数的定义域为 0, , f 1x k x kx 1, x 0 , x x令 g x x 2kx 1 ,其对称轴为 x k. 2i 当 k0 ,

10、即 k 0 时, g 0 1 , g x g 0 1 0 在 0, 上恒成立 , 2即有 f 0 , f x 在 0, 上为增函数 ; ii 当 k0 ,且 k 24 0 ,即 0 k 2 时, g x 0 ,有 f 0 恒成立 , 2f x 在 0, 上为增函数 ; 2iii 当 k 2 , g x x 1 ,那么 x 0,1 1, 时, g x 0 , f 0 , 所以 f x 是增函数 ; iv 当 k 2 时, k 24 0 ,方程 x 2kx 1 0 有两不等实根5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1

11、kk24,x 2kk24,且均为正数 , 22当 0 x k k 2 4或 x k k 2 4时, g x 0 , f 0 , f x 是增函数 , 2 22 2当 k k 4 x k k 4时, g x 0 , f 0 , f x 是减函数 ; 2 22综上 :当 k 2 时, f x 在 0, 是增函数 ;当 k 2 时, f x 在 0, k k 4 , 2 k k 2 4, 是增函数 ,在 k k 2 4, k k 2 4 是减函数 . 2 2 21、解：F x f x kx 1x kx , x 0,F x 12 k , x 01x kx x 0 k x 02 x1 当 k 0 时,假

12、设 x 0,F 12 k 0,F x 在 ,0 上为增函数,x假设 x 0,F 1k,令 F 0,得 1k 0,解得 x 12,2 x 2 x 4 k令 F 0,得 x 12,令 F 0,得 0 x 12,4 k 4 k这时 F x 在 0, 12 上为减函数,在 12 , 上为增函数；4k 4k2 当 k 0 时,假设 x 0,F 12 0,F x 在 ,0 上为增函数,x假设 x 0,F 1 0,F x 在 0, 上为减函数,2 x3 当 k 0 时,假设 x 0,F 12 k,令 F 0,解得 x 1 k,x kk 1 k kx 2 舍去 ,令 F 0,得 2 k 0,解得 x,令 F

13、0,k x k k得 x k或 x k,又 x 0,知函数 F x 在 k ,0 上是增函数,在 , k k k k k上是减函数；假设 x 0,F 1k 0,F x 在 0, 上是减函数；2 x综上所述,当 k 0 时,F x 在 ,0 , 12 , 上为增函数,在 0, 12 上为减4k 4k函数；当 k 0 时,F x 在 ,0 上为增函数, 在 0, 上为减函数； 当 k 0 时,F x 在 k ,0 上是增函数,在 , k, 0, 上是减函数 . k k6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 23BD fxx

14、3ax2bxc ,fx2 3 x2 axb. 4.1 解： fx 在,0 上是减函数,在0,1 上是增函数,2. 1 . 当x0时, fx 取到微小值,即f00. b0. 2 解：由 1知,fx3 x2 axc ,1 是函数 fx 的一个零点,即f10,c1a . fx3 x22 ax0的两个根分别为x 10,x 22a. 3 fx 在 0,1 上是增函数,且函数fx 在 R 上有三个零点,x 22a1,即a3.于是f284a1a3 a75. 322故f2的取值范畴为5 , 2. 3 解：由 2知fx3 x2 ax1a ,且a3. 2要争论直线yx1与函数 yfx 图像的交点个数情形,即求方程

15、组yx1,2 ax1a解的个数情形 . y3 x由x3ax21ax1,得3 x1a x21x10. 即x1x2x1a x1x1x10. 即x1x21a x2a0.x1或x21a x2a0. 由方程x21a x2a0,*得1a24 2aa22a7. a3,2假设0 ,即a22 a70,解得3 2a2 21.此时方程 *无实数解 . 假设0 ,即a22 a70,解得a2 21.此时方程 * 有一个实数解x假设0 ,即a22 a70,解得a2 21.此时方程 * 有两个实数解,分别为x 12a12 a2 a7,x 2a1a22 a7. 时,x 12x 21. 2且当a0,综上所述,当3a2 21时,

16、直线yx1与函数 yfx 的图像有一个交点2当a2 21或a2时,直线yx1与函数 yfx 的图像有二个交点. 当a2 21且a2时,直线yx1与函数 yfx 的图像有三个交点. 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5.解:1 fxx32 xaxb,fx3 x22xa . fx3 xx2axb的一个极值点为x1,f12 3 12 1a0.得a1. 2 由1得fx2 3 x2x13 x1x1, 当x1时, fx0;当1x1时, fx0;当x1时, fx0; 33函数 fx 在,1上单调递增 , 在1,1 3上单调递减 ,在 1,上单调递增 . 3方程2 axxb0的两个实根为, 即x2xb0的两根为, 114 b,114 b.得1,b ,14b . 22函数 fx在区间,上是单调的 , 区间,只能是区间,1,1 ,1 3, 1,之一的子区间 . 3由于1,故,1,1.假设0,就1,与1冲突 . 3,0,1 .知方程x2xb0的两根,都在区间0,1 上. 令g x2 xxb , g x 的对称轴为x10,1, 2就g04b0,解得1b0.实数b的取值范畴为1 ,0 4. g1b0,41b0.8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页