2018版高中数学人教B版选修2-1学案：3.1.2 空间向量的基本定理 .docx

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1、3.1.2空间向量的基本定理学习目标1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念知识点一共线向量定理与共面向量定理1共线向量定理两个空间向量a，b(_)，ab的充要条件是_，使_2向量共面的条件(1)向量a平行于平面的定义已知向量a，作a，如果a的基线OA_，则就说向量a平行于平面，记作_(2)共面向量的定义平行于_的向量，叫做共面向量(3)共面向量定理如果两个向量a，b_，则向量c与向量a，b共面的充要条件是_，使_知识点二空间向量分解定理1空间

2、向量分解定理如果三个向量a，b，c_，那么对空间任一向量p，_，使_2基底如果三个向量a，b，c是三个_，则a，b，c的线性组合_能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个_，记作_，其中a，b，c都叫做_表达式xaybzc，叫做向量a，b，c的_或_类型一向量共线问题例1如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线反思与感悟判定向量a，b(b0)共线，只需利用已知条件找到x，使axb即可证明点共线，只需证明对应的向量共线跟踪训练1如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与是否

3、共线？类型二空间向量共面问题例2如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使k，求证：E，F，G，H四点共面反思与感悟(1)利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值(2)证明空间向量共面或四点共面的方法向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若pxayb，则向量p，a，b共面若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有xyz，且xyz1成立，则P，A，B，C四点

4、共面用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行跟踪训练2已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足，判断，三个向量是否共面类型三空间向量分解定理及应用例3如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量(1)；(2)；(3)；(4).反思与感悟用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求

5、出结果(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量跟踪训练3如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设a，b，c.试用向量a，b，c表示向量.1对于空间的任意三个向量a，b,2ab，它们一定是()A共面向量 B共线向量C不共面向量 D既不共线也不共面的向量2已知空间四边形ABCD，点E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，若，则向量与满足的关系为()A. B. C| D|3设e1，e2是平面内不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三

6、点共线，则k_.4以下命题：两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；共线的两个向量互相平行；共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量其中正确命题的序号是_5已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面(1)3；(2)4.1四点P，A，B，C共面对空间任意一点O，都有xyz，且xyz1.2.xy称为空间平面ABC的向量表达式由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定3证明(或判断)三点A、B、C共线时，只需证明存在实数，使(或)即可，也可用“对空间任意一点O，有t(1t)”来证明三

7、点A、B、C共线4空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式这个充要条件常用于证明四点共面提醒：完成作业第三章3.1.2答案精析问题导学知识点一1b0存在唯一的实数xaxb2(1)平行于平面或在内a(2)同一平面(3)不共线存在唯一的一对实数x，ycxayb知识点二1不共面存在一个唯一的有序实数组x，y，zpxaybzc2不共面的向量xaybzc基底a，b，c基向量线性表示式线性组合题型探究例1证明设a，b，c.2，.b，()()abc.abc.又bcaabc，.E，F，B三点共线跟踪训

8、练1解设AC中点为G，连接EG，FG，又，共面，()，与 共线例2证明因为k，所以k，k，k，k.由于四边形ABCD是平行四边形，所以. 因此kkkk()k().由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面跟踪训练2解，三个向量共面因为，所以3，化简，得()()()0，即0，即，故，共面例3解连接AC，AD.(1)()()(abc)(2)()(a2bc)abc.(3)()()()abc.(4)()()abc.跟踪训练3解H为OBC的重心，D为BC的中点，()，()(bc)又，()()(abc)，(bc)(abc)a.当堂训练1A2.B3.84.5解方法一(1)原式可变形为()().由共面向量定理的推论知，点P与点A，B，M共面(2)原式为22.由共面向量定理的推论，可知点P位于平面ABM内的充要条件是xy.而2，点P与点A，B，M不共面方法二(1)原式可变形为3.3(1)(1)1，点B与点P，A，M共面，即点P与点A，B，M共面(2)原式为4.4(1)(1)21，点P与点A，B，M不共面