2018版高中数学人教版A版必修五学案：§1习题课　正弦定理和余弦定理 .docx

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1、学习目标1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题知识点一正弦定理及其变形1.2R2a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C(化角为边)3sin A，sin B，sin C(化边为角)知识点二余弦定理及其推论1a2b2c22bccos_A，cos A(边角互化)2在ABC中，c2a2b2C为直角，c2a2b2C为钝角；c2a2b2C为锐角知识点三解三角形的几类问题和解法已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求A，再由正弦定理求出b

2、与c两边及其夹角(如a，b，C)余弦定理和正弦定理由余弦定理求第三边c，再由正弦定理求出第二个角，再由ABC180，求出第三个角两边和其中一边所对的角(如a，b，B)正弦定理由正弦定理求A，再由ABC180求C，最后由正弦定理求c三边a，b，c余弦定理先由余弦定理的推论求出两个角，再由三角形内角和定理求第三个角知识点四三角形内的角的函数关系在ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，则有(1)sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C，(2)sincos ，cos sin 题型一利用正弦、余弦定理解三角形或求值例1在ABC中，AC6，cos B，C.(1

3、)求AB的长；(2)cos的值解(1)由cos B，则sin B，又C，AC6，由正弦定理，得，即AB5.(2)由(1)得：sin B，cos B，sin Ccos C，则sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Acos(BC)(cos Bcos Csin Bsin C)，则coscos Acossin Asin.反思与感悟应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理在进行求值运算时，要合理运用三角恒等变换的公式进行转化跟踪训练1如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_答案解析sinB

4、ACsin(90BAD)cosBAD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcosBAD1892333.BD.题型二判断三角形的形状例2在ABC中，basin C，cacos B，试判断ABC的形状解由余弦定理知cos B，代入cacos B，得ca，所以c2b2a2，所以ABC是以A为直角的直角三角形又因为basin C，所以ba，所以bc，所以ABC也是等腰三角形综上所述，ABC是等腰直角三角形反思与感悟(1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定(2)常用的几种转化形式：若cos A0，则A90，ABC为直角三角形；若co

5、s A0且 cos B0且cos C0，则ABC为锐角三角形；若sin2Asin2Bsin2C，则C90，ABC为直角三角形；若sin Asin B或sin(AB)0，则AB，ABC为等腰三角形；若sin 2Asin 2B，则AB或AB90，ABC为等腰三角形或直角三角形跟踪训练2在ABC中，cos A，且(a2)b(c2)123，试判断三角形的形状解由已知设a2x，则b2x，c23x，所以a2x，c3x2，由余弦定理得cos A.解得x4，所以a6，b8，c10，所以a2b2c2，所以三角形为直角三角形题型三有关创新型问题例3已知x0，y0，且x2xyy21，求x2y2的最大值与最小值解构造

6、ABC，使AB1，BCx，ACy，C60，由余弦定理知AB2AC2BC22ACBCcos C，1x2y2xy，即x，y满足已知条件，由正弦定理得.xsin A，ysin B，x2y2(sin2Asin2B)(1cos 2A1cos 2B)(cos 2Bcos 2A)cos(2402A)cos 2A(cos 2Asin 2A)sin(2A60)0A120，602A60300，当2A6090时，x2y2有最小值.当2A60270时，x2y2有最大值.反思与感悟解答此类题目，我们可以根据条件，构造三角形，利用正弦、余弦定理将问题予以转化如本题中将x2y2转化为三角恒等变换及yAsin(x)的值域的问

7、题跟踪训练3已知x，y均为正实数，且x2y23xy，求xy的最大值解构造ABC，角A，B，C的对边分别为x，y，C60，由余弦定理知x2y23xy，即x，y满足已知条件2，x2sin A，y2sin B，xy2(sin Asin B)2sin Asin(120A)2(sin Acos Asin A)2(sin Acos A)2sin(A30)0A120，当A60时，xy有最大值2.例4在ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，试判断三角形的形状错解由已知得11，即acos Abcos B.由cos A，cos B，得ab，整理得c2(a2b2)a4b4(a2b2)(a2b2)，c

8、2a2b2，ABC为直角三角形错因分析利用余弦定理把角转化成边之间的关系，其思路是正确的，但在结果的判断上出现了严重的失误，由(a2b2)(a2b2c2)0得ab或a2b2c2，而不是ab且a2b2c2.正解由已知得11，即acos Abcos B.由cos A，cos B，得ab，整理得(a2b2)(a2b2c2)0，所以a2b20或a2b2c20，即ab或a2b2c2.故ABC为等腰三角形或直角三角形误区警示在转化的过程中，一定要注意转化的合理性与等价性跟踪训练4在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(

9、2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C得2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc，由余弦定理得cos A，A(0，180)，A120.(2)由(1)得a2b2c2bc，由正弦定理得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.sin2Bsin2Csin Bsin C，又sin Bsin C1，sin Bsin C，B，C(0，90)，BC30，ABC为等腰三角形1在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围是()A1c3 B2c3C.c3 D2c3答案C解析在钝角ABC中，由于最大边为c，所以角C为

10、钝角所以c2a2b2145，即c，又因cab123，所以c3.2在ABC中，若c2acos B，则ABC的形状一定是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形答案C解析c2acos B，由正弦定理得2cos Bsin Asin Csin(AB)，sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，又AB，AB0，AB.ABC是等腰三角形3已知ABC的三边长分别为AB7，BC5，AC6.则的值为()A19 B14 C18 D19答案D解析由余弦定理的推论知：cos B.所以|cos(B)75()19，故选D.4在ABC中，B60，a1，SABC，则_答案2解析Sac

11、sin B1c，c2，b2a2c22accos B14212()3，b，2.5在ABC中，若，则ABC是_三角形答案等边解析，sin Acos Bsin Bcos A0，sin(AB)0，A，B(0，)，AB(，)，AB0，AB.同理BC，ABC，ABC为等边三角形 1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论2解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解