线性代数标准答案习题解析北京邮电大学出版社.doc

.\ 线性代数习题及答案 习题一 （A类） 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n(n-1)…321； (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n(n-1)…321)= 0+1+2 +…+(n-1)=; (4) τ(13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2)=0+1+…+(n-1)+(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1). 2. 求出j，k使9级排列24j157k98为偶排列。 解：由排列为9级排列，所以j,k只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j的逆序为1，5的逆序数为0，k的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j的逆序为0，5的逆序数为1，k的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6. 3. 写出4阶行列式中含有因子的项。 解：D4= 由题意有： 故 D4中含的项为： 即为： 4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）； 解： 因为， 所以该项带正号。 （2） 解： 因为， 所以该项带正号。 5. 用定义计算下列各行列式. (1)； (2). （3） 【解】(1) D=(-1)τ(2314)4!=24; (2) D=12. （3）由题意知： 所以 6. 计算下列各行列式. (1)； (2) ； (3)； (4) . 【解】(1) ; (2) ; 7. 证明下列各式. (1) ； (2) ； (3) (4) ； (5) . 【证明】(1) (2) (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式: 从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为 但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故 (4) 对D2n按第一行展开，得 据此递推下去，可得 (5) 对行列式的阶数n用数学归纳法. 当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n-1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立. 按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加： 但由归纳假设 从而有 8. 计算下列n阶行列式. (1) (2) ； (3). (4). 【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n-1),得 将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得 (2) 按第二行展开 (3) 行列式按第一列展开后，得 (4) . 即有 由 得 . 9. 计算n阶行列式. 【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得 将第一行乘（-1）后加到其余各行，得 10. 计算阶行列式（其中）. . 【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式. 11. 已知4阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，求行列式D的值。 解：D=， 12. 用克拉默法则解方程组. （1） （2） (3) (4) 【解】（1）因为 D=；D1=；D2= 所以 （2）因为 D= D1= D2= D3= 所以 (3)方程组的系数行列式为 故原方程组有惟一解，为 13. 满足什么条件时，线性方程组有唯一解？ 解：D= = 要使方程组有唯一解，必须D，于是： 解得： 当不等于1，时，方程组有唯一解。 14. λ和μ为何值时，齐次方程组 有非零解? 【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式 即 故或时，方程组有非零解. 15. 求三次多项式，使得 【解】根据题意，得 这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于 故得 于是所求的多项式为 （B类） 1. 已知n阶行列式D的每一列元素之和均为零，则D= 。 解： 令 D== 2.D 3. 写出行列式D4=的展开式中包含和的项。 解：令D4=== 比较可得：只有当时，才能出现项，当时，为项，故中含项为： 含项为：。 4. 已知4阶行列式D4=，试求，其中为行列式D4的第4行第j列的元素的代数余子式。 解：因为D4= 所以 5. 解方程 解：因D= =+ 故由D=0可得： 因为= 所以 6. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为 ax+by+c=0 (a,b不同时为0) 按题设有 则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为 上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.