2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.3~2.3.4 .docx

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1、2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质学习目标1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系知识点一直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行梳理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言知识点二平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只

2、要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直梳理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言，l，a，ala图形语言类型一直线与平面垂直的性质定理例1如图所示，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交求证：EFBD1.证明如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，ACBD1.同理，BD1B1C，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，EF平面AB1C，EFBD1.反思与感悟证明线线平行的常

3、用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行跟踪训练1如图，l，PA，PB，垂足分别为A、B，a，aAB.求证：al.证明PA，l，PAl.同理PBl.PAPBP，l平面PAB.又PA，a，PAa.aAB，PAABA，a平面PAB.al.类型二平面与平面垂直的性质定理及应用例2如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明如图，在

4、平面PAB内，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面

5、PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.证明(1)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，又四边形ABCD是菱形且DAB60，ABD是正三角形，BGAD.BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD.又BGPGG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平

6、面BEF平面PCD.证明(1)PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD.(2)ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD.又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.(3)在平行四边形ABED中，由ABAD可得，ABED为矩形，故有BECD.由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD，CD平面PAD，故有CDPD.再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EFPD，CDEF.而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD平面BEF.由于C

7、D平面PCD，平面BEF平面PCD.反思与感悟(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：两个平面垂直；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线跟踪训练3如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积(1)证明O，M分别为AB，VA的中点，OMVB.VB平面MOC，OM平面

8、MOC，VB平面MOC.(2)证明ACBC，O为AB的中点，OCAB.又平面VAB平面ABC，且平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，OC平面VAB.OC平面MOC，平面MOC平面VAB.(3)解在等腰直角ACB中，ACBC，AB2，OC1，SVABAB2.OC平面VAB，VCVABOCSVAB1，VVABCVCVAB.1下列四个命题垂直于同一条直线的两条直线相互平行；垂直于同一个平面的两条直线相互平行；垂直于同一条直线的两个平面相互平行；垂直于同一个平面的两个平面相互平行其中错误的命题有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个

9、顶角的三个边就不成立；垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立故选B.2下列命题中错误的是()A如果平面平面，平面平面，l，那么lB如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于D如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面答案C解析对于A，平面平面，平面平面，l，则l，命题正确；对于B，平面平面，不妨设a，作直线ba，且b，则b，命题正确；对于C，平面平面

10、，过与交线上的点作交线的垂线时，该垂线不一定垂直于，命题错误；对于D，假设平面内存在直线垂直于平面，则平面垂直于平面，这与已知平面与平面不垂直矛盾，所以假设不成立，命题正确，故选C.3如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在面ABC内的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部答案A解析在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，ABBDB，AC平面ABD.又AC平面ABC，平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，D在面ABC内的射影H必在AB上故选A.4如图所示，已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，且AFDE，AD6，则EF_.答案6解析

11、AF平面ABCD，DE平面ABCD，AFDE.又AFDE，四边形AFED为平行四边形，故EFAD6.5.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC底面ABCD，求证：平面SDC平面SBC.证明因为底面ABCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面SDC.又因为BC平面SBC，所以平面SDC平面SBC.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据2面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想

12、，其转化关系如下：课时作业一、选择题1下列命题错误的是()A若平面平面，则内所有直线都垂直于B若平面平面，则平面内的直线垂直于平面内的无数条直线C若平面平面，则在平面内垂直于平面与平面的交线的直线垂直于内的任意一条直线D若平面平面，则经过内一点与垂直的直线在内答案A解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1B1B平面ABCD，直线AB1平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错2已知m，n为两条不同直线，为两个不同平面，给出下列命题：()n mn mn其中正确命题的序号是()A BC D答案A解析中n，可能平行或n在平面内；正确；两直线m，n平行或异面，故选A.3在下列四个

13、正方体中，能得出ABCD的是()答案A4设平面平面，若平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b，则()A直线a必垂直于平面B直线b必垂直于平面C直线a不一定垂直于平面D过a的平面与过b的平面垂直答案C解析当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面5已知l平面，直线m平面.有下面四个命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的两个命题是()A BC D答案D解析l，l，m，lm，故正确；lm，l，m，又m，故正确6如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A、B，则ABAB等于()A21 B31 C32 D43答

14、案A解析如图：由已知得AA平面，ABA，BB平面，BAB.设ABa，则BAa，BBa，在RtBAB中，ABa，2.7如图所示，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，ADDB，则()APD平面ABCBPD平面ABCCPD与平面ABC相交但不垂直DPD平面ABC答案B解析因为PAPB，ADDB，所以PDAB.又因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB，所以PD平面ABC.二、填空题8.如图，在三棱锥PABC中，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.答案解析侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，PA

15、AB，PB.9直线a和b在正方体ABCDA1B1C1D1的两个不同平面内，使ab成立的条件是_(只填序号)a和b垂直于正方体的同一个面；a和b在正方体两个相对的面内，且共面；a和b平行于同一条棱；a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直答案解析为直线与平面垂直的性质定理的应用，为面面平行的性质，为公理4的应用10如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足_时，A1CB1D1.(写出一个正确条件即可)答案ACBD解析连接BD.因为BDB1D1，所以要使A1CB1D1，即使A1CBD.又因为A1AA1CA1，所以BD平面A1AC.因为AC平面A1AC，所以A

16、CBD.11如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)答案解析因为PA平面MOB，所以不正确；因为MOPA，而且MO平面PAC，所以正确；OC不垂直于AC，所以不正确；因为BCAC，BCPA，ACPAA，所以BC平面PAC，所以平面PAC平面PBC，所以正确三、解答题12已知：，l，求证：l.证明如图，在内取一点P，作PA垂直于与的交线于点A，PB垂直于与的交线于点B，则PA，PB.l，lPA，lPB

17、.PA与PB相交，且PA，PB，l.13如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAAB，G为PD的中点求证：AG平面PCD.证明PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ADCD，PAADA，CD平面PAD.又AG平面PAD，AGCD.PAABAD，G为PD的中点，AGPD.又PDCDD，AG平面PCD.四、探究与拓展14如图，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平

18、面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析如图，在平面图形中CDBD，折起后仍然满足CDBD.由于平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，CDAB.又ABAD，故AB平面ADC，所以平面ADC平面ABC.15如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论(1)证明如图，设G为AD的中点，连接BG，PG，因为PAD为正三角形，所以PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD.又BGPGG，所以AD平面PGB.因为PB平面PGB，所以ADPB.(2)解当F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD.证明如下：在PBC中，因为F是PC的中点，E是BC的中点，所以EFPB.在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB，由(1)得PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD.