经济数学基础学习知识课后规范标准答案(概率统计第三分册).doc

习　题　一 1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M). 解　(1) ={正面，反面}{正，反} (2) ={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) ={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) ={x；0 ≤x≤ m} 2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A＝“偶数点”， B＝“奇数点”，C＝“点数小于5”，D＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系. 解　 A与B为对立事件，即B＝；B与D互不相容；AD，CD. 3. 事件Ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i＝1，2，3，B表示至少有两个车间完成生产任务，C表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件及B－C的含义，并且用Ai(i＝1，2，3)表示出来. 解　表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. B－C表示三个车间都完成生产任务 图1－1 4. 如图1－1，事件A、B、C都相容，即ABC≠Φ，把事件A＋B，A＋B＋C，AC＋B，C－AB用一些互不相容事件的和表示出来. 解　 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明. 解　两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A与D是对立事件，C与D是互不相容事件. 6.三个事件A、B、C的积是不可能事件，即ABC＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解　不一定. A、B、C三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC＝Φ，但是A与B相容. 图1－2 7. 事件A与B相容，记C＝AB，D＝A+B，F＝A－B. 说明事件A、C、D、F的关系. 解 由于ABAA+B，A－BAA+B，AB与A－B互不相容，且A＝AB＋(A－B). 因此有 A＝C+F，C与F互不相容， DAF，AC. 8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率. 解　记事件A表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A的样本点数目＃A＝.而组成试验的样本点总数为＃Ω＝，由古典概率公式有 P(A)＝ (其中＃A，＃Ω分别表示有利于A的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同) 9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率. 解　设事件B表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件的样本点数为＃. 10. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率. 解　设事件A表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此 11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率. 解　设事件A表示“门锁能被打开”. 则事件发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁. 从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便. 12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率： (1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色. 解　设事件A表示“四张花色各异”；B表示“四张中只有两种花色”. 13. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率. 解　设事件A表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”. 14. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率： A＝“三次都是红球” “全红”，B＝“全白”， C＝“全黑”，D＝“无红”，E＝“无白”， F＝“无黑”，G＝“三次颜色全相同”， H＝“颜色全不相同”，I＝“颜色不全相同”. 解　＃Ω＝33＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1， ＃D＝＃E＝＃F＝23＝8， ＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3， ＃H＝3！＝6，＃I＝＃Ω－＃G＝24 15. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率. 解　设事件A表示“有4个人的生日在同一个月份”. ＃Ω＝126，＃A＝ 16. 事件A与B互不相容，计算P. 解　由于A与B互不相容，有AB＝Φ，P(AB)＝0 17. 设事件BA，求证P(B)≥P(A）. 证　∵BA ∴P(B-A)＝P(B) - P(A) ∵P(B-A)≥0 ∴P(B)≥P(A) 18. 已知P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0 (b＞0.3a)， P(A－B)＝0.7a，求P(B+A)，P(B-A)，P(＋). 解　由于A－B与AB互不相容，且A＝(A-B)＋AB，因此有 P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0.3a P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7a＋b P(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-0.3a P(＋)＝1-P(AB)＝1-0.3a 19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率. 解　设事件A表示“取到废品”，则表示没有取到废品，有利于事件的样本点数目为＃＝，因此 P(A)＝1-P()＝1- 　　＝0.2255 20. 已知事件BA，P(A)＝lnb ≠ 0，P(B)＝lna，求a的取值范围. 解　因BA，故P(B)≥P(A)，即lna≥lnb,a≥b，又因P(A)＞0，P(B)≤1，可得b＞1，a≤e，综上分析a的取值范围是： 1＜b≤a≤e 21. 设事件A与B的概率都大于0，比较概率P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来). 解　由于对任何事件A，B，均有 ABAA+B 且P(A+B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)，P(AB)≥0，因此有 P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)＋P(B) 22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算). 解　设事件A表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A的样本点数目为＃A＝364100，而样本空间中样本点总数为 ＃Ω＝365100，所求概率为 　 = 0.2399 23. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率. 解　设事件A表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”. 24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸. 解　设事件A表示“任找的一名职工订阅报纸”，B表示“订阅杂志”，依题意P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜)＝0.85 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋P()P(B｜) ＝0.92＋0.080.85＝0.988 P(A)＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.058 25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若P(A)＝P(B)＝0.4，P(AB)＝0.28，求P(A｜B)，P(B｜A)，P(A＋B). 解　P(A｜B)＝ P(B｜A)＝ P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.52 26. 设A、B是两个随机事件. 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1， P(A｜B)＋P(｜)＝1. 求证P(AB)＝P(A)P(B). 证 ∵P ( A｜)＋P (｜)＝1且P ( A｜B )＋P(｜)＝1 ∴P ( A｜B )＝P (A｜) P(AB)［1-P(B)］＝P( B)［P( A)-P( AB)］ 整理可得 P(AB)＝P( A) P( B) 27. 设A与B独立，P( A)＝0.4，P( A＋B)＝0.7，求概率P (B). 解　P( A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P( A)＋P() P( B) 　0.7＝0.4＋0.6P( B ) 　P( B )＝0.5 28. 设事件A与B的概率都大于0，如果A与B独立，问它们是否互不相容，为什么? 解　因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A与B独立，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A与B不可能互不相容. 29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率. 解　设事件Ai表示“使用1000小时后第i个元件没有坏”， i＝1，2，3，显然A1，A2，A3相互独立，事件A表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A＝A1A2A3＋A2A3＋A1A3＋A1A2，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8 P( A)＝ ＝0.83＋30.820.2 ＝0.896 30. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率. 解　设事件A表示“任取一个零件为合格品”，依题意A表示三道工序都合格. P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.448 31. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数). 解　设事件Ai表示“第i次能打通”，i＝1，2，…，m，则 P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P(A2)＝0.58 0.42＝0.2436 P(Am)＝0.58m－1 0.42 32. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率. 解　设Ai表示“第i人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4. P ( Ai )＝，设事件B表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且＝A1＋A2＋A3＋A4. P()＝P(A1＋A2＋A3＋A4) ＝ P(AiAj)P(Ai)P(Aj｜Ai) = P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜Ai)P(Ak｜AiAj) =（1≤i＜j＜k≤4） P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(A4｜A1A2A3) = 33. 在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设Am＝“该数可以被m整除”，m＝2，3，求概率P(A2A3)，P(A2＋A3)，P(A2－A3). 解　依题意P(A2)＝，P(A3)＝ P(A2A3)＝P(A6)＝ P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3) ＝ P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝ 34. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中. 解　设事件A、B、C分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A、B、C相互独立.设Ai表示“三人中有i人投中”，i＝0,1,2,3,依题意， 0.20.30.40.024 P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.80.70.60.336 P(A2)=P(AB)＋P(AC)＋P(BC) =0.80.70.4＋0.80.30.6＋0.20.70.60.452 (1) P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3) ＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188 (2) P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P(A＋B＋C)＝P()＝1－P (A0)＝0.976 35. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么? 解　设事件A2n-1B2n分别表示“甲在第2n－1次投中”与“乙在第2n次投中”，显然A1，B2，A3，B4，…相互独立.设事件A表示“甲先投中”. 　　　　 计算得知P(A)＞0.5，P()＜0.5，因此甲先投中的概率较大. 36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率. 解　设事件A表示“任选一名学生为北京考生”，B表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P(A)＝0.3，P()＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜)＝0.95. 由全概率公式有 P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜) ＝0.30.8＋0.70.95＝0.905 37. A地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A地的甲种疾病的发病率. 解　设事件A1，A2，A3分别表示从A地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A1，A2，A3两两互不相容，其和为Ω.设事件B表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意： P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2， P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P(B｜A3)＝0.005 ＝ ＝ 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.005 ＝0.0035 38. 一个机床有三分之一的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3，加工零件B时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率. 解　设事件A表示“机床加工零件A”，则表示“机床加工零件B”，设事件B表示“机床停工”. 　　　　 39. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么? 解　设事件Ai表示“第一次取到i号球”，Bi表示第二次取到i号球，i＝1，2，3.依题意，A1，A2，A3构成一个完全事件组. 应用全概率公式可以依次计算出. 因此第二次取到1号球的概率最大. 40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率. 解　设事件A表示“受检人患有甲种疾病”，B表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可知P(A)＝0.0035，应用贝叶斯公式 　　　 　　　 41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率. 解　设事件A1，A2，A3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B表示“废品”，应用贝叶斯公式有 　　　　 42. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率. 解　设事件A1，A2，A3，A4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B表示“外出人如期到达”. 　　　　 =0.209 43. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率. 解　39题计算知P(B1)＝，应用贝叶斯公式 44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解　设事件Ai表示一箱中有i件次品，i＝0, 1, 2. B表示“抽取的10件中无次品”，先计算P ( B ) 45. 设一条昆虫生产n个卵的概率为 n=0, 1, 2, … 其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p(0＜p＜1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k条虫的概率是多少? 解　设事件An＝“一个虫产下几个卵”，n＝0，1，2….BR＝“该虫下一代有k条虫”，k＝0，1，….依题意 其中q=1－p. 应用全概率公式有 由于，所以有  习　题　二 1. 已知随机变量X服从0－1分布，并且P{X≤0}＝0.2，求X的概率分布. 解　X只取0与1两个值，P{X＝0}＝P{X≤0}－P{X＜0}＝0.2，P{X＝1}＝1－P{X＝0}＝0.8. 2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布. 解　X可以取0, 1, 2三个值. 由古典概型公式可知 依次计算得X的概率分布如下表所示： X 0 1 2 P 3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X件，求随机变量X的概率分布. 解　X的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有 4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X的概率分布. 解　X可以取1, 2, …可列个值. 且事件{X = n}表示抽取n次，前n－1次均未取到优质品且第n次取到优质品，其概率为. 因此X的概率分布为 5. 盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布. (1)抽取次数X； (2)取到的旧球个数Y. 解　(1)X可以取1,2,3,4各值. (2) Y可以取0, 1, 2, 3各值 . 6. 上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X的概率分布. 解　X可以取0, 1, 2, 3各值. 7. 已知P{X＝n}＝pn，n＝1, 2, 3, …, 求p的值. 解　根据,有 解上面关于p的方程，得p＝0.5. 8. 已知P{X＝n}=pn， n＝2, 4, 6, …，求p的值. 解　 解方程，得p=/2 9. 已知P{X＝n}=cn, n=1, 2, …, 100, 求c的值. 解　 解得 c＝1/5050 . 10. 如果pn＝cn＿2，n=1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么? 解 由于级数收敛, 若记=a,只要取, 则有=1, 且pn＞0. 所以它可以是一个离散型概率分布. 11. 随机变量X只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X的概率分布. 解　设P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d, P{X=3}=a+d. 由概率函数的和为1，可知a=, 但是a－d与a+d均需大于零, 因此｜d｜＜, X的概率分布为 X 1 2 3 P －d +d 其中d应满足条件：0＜｜d｜＜ 12. 已知,m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数c. 解　 由于, 所以有 解得 13. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求： (1)二人投篮总次数Z的概率分布； (2)甲投篮次数X的概率分布； (3)乙投篮次数Y的概率分布. 解　设事件Ai表示在第i次投篮中甲投中，j表示在第j次投篮中乙投中，i=1, 3, 5, …, j=2, 4, 6,…,且A1, B2, A3, B4，…相互独立. (1) (0.60.5)0.4 　　　　　　　= 0.4(0.3) k=1, 2, … 　　　　0.50.6(0.60.5)=0.3k k=1, 2, … (2) (3) 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布(不计其他因素停车). 解　X可以取0,1,2,3,4. P{X＝0}＝0.4　　　　P{X＝1}＝0.60.4＝0.24 P{X＝2}＝0.620.4＝0.144 P{X＝3}＝0.630.4＝0.0864 P{X＝4}＝0.64＝0.1296 15. 问f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果 (1) 解 在［0,］与［0,π］上，sinx≥0,但是 而在上,sinx≤0.因此只有(1)中的a,b可以使f (x)是一个概率密度函数. 16. 其中c＞0，问f(x)是否为密度函数，为什么? 解　易见对任何x∈(－∞,＋∞),f(x)≥0，又 f(x)是一个密度函数. 17. 问f(x)是否为密度函数，若是，确定a的值；若不是，说明理由. 解　如果f(x)是密度函数，则f(x)≥0，因此a≥0，但是，当a≥0时， 由于不是1，因此f(x)不是密度函数. 18. 设随机变量X～f(x) 确定常数a的值，如果P{a＜x＜b}＝0.5，求b的值. 解　 解方程=1 得　a= 0 解关于b的方程： arctanb=0.5 得　b=1. 19. 某种电子元件的寿命X是随机变量，概率密度为 3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率. 解　串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作. 而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A表示“线路正常工作”，则 20. 设随机变量X～f(x)，f(x)＝Ae－|x|，确定系数A；计算P{|X|≤1}. 解　 解得　A＝ 　　　　　　　 21. 设随机变量Y服从［0,5］上的均匀分布，求关于x的二次方程4x2＋4xY+Y+2=0有实数根的概率. 解　4x2+4xY+Y+2=0. 有实根的充分必要条件是 △＝b2－4ac=16Y2－16(Y+2)=16Y2－16Y－32≥0 设事件P(A)为所求概率.则 　　 =0.6 22. 设随机变量X～f(x)， 确定常数c，计算 解　 c= 23. 设随机变量X的分布函数F(x)为 确定系数A，计算，求概率密度f(x). 解　连续型随机变量X的分布函数是连续函数，F(1)＝ F(1－0)，有A＝1. 24. 求第20题中X的分布函数F(x). 解　 当t≤0时， 当t＞0时， 　　　　　 25. 函数(1+x2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解　不能是分布函数，因F(－∞)＝1≠0. 26. 随机变量X～f(x)，并且,确定a的值；求分布函数F(x)；计算. 解　 因此a=1 27. 随机变量X的分布函数F(x)为： 确定常数A的值，计算. 解　由F(2＋0)＝F(2)，可得 0.75 28. 随机变量X～f(x)，f(x)＝确定A的值；求分布函数F(x). 解　 　　　 因此　　A＝， 　　　　　 29. 随机变量X～f(x)， 其他 确定a的值并求分布函数F(x). 解　 因此，a=π 当0＜x＜π时， 30. 随机变量X的分布函数为 求X的概率密度并计算. 解　当x≤0时，X的概率密度f(x)＝0； 当x＞0时，f(x)＝F′(x) 　　　　　　　　 31. 随机变量X服从参数为0.7的0－1分布，求X2，X2－2X的概率分布. 解　X2仍服从0－1分布，且P{X2＝0}＝P{X＝0}＝0.3，P{X2＝1}＝P{X＝1}＝0.7 X2－2X的取值为－1与0,P{X2－2X＝0} ＝P{X＝0}＝0.3 P{X2－2X＝－1}＝1－P{X＝0}＝0.7 32. 已知P{X＝10n}＝P{X＝10-n}＝ Y=lgX，求Y的概率分布. 解　Y的取值为1,2,… P{Y=n}=P{lgX=n}=P{X=10n}= P{Y=－n}=P{lgX=－n}=P{x=10-n}＝ n＝1,2,… 33. X服从［a , b］上的均匀分布，Y=ax+b (a≠0)，求证Y也服从均匀分布. 证　设Y的概率密度为fY(y)，X的概率密度为fX(x)，只要a≠0，y=ax+b 都是x的单调函数. 当a＞0时，Y的取值为［a2+b , ab+b］, 当时，fY(y)=0. 类似地，若a＜0，则Y的取值为［ab+b,a2+b］ 因此，无论a＞0还是a＜0，ax+b均服从均匀分布. 34. 随机变量X服从［0,］上的均匀分布Y=cosX,求Y的概率密度fY(y). 解　y=cosx在［0, ］上单调，在(0,1)上，h(y)=x=arccosy h′(y)=, fx(x)=, 0≤x≤.因此 35. 随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，Y=ex,Z=｜lnX｜，分别求随机变量Y与Z的概率密度fY(y)及fZ(z). 解　y=ex在(0,1)内单调,x=lny可导，且x′y=,fX(x)=1 0＜x＜1,因此有 在(0,1)内lnx＜0｜lnx｜=-lnx单调，且 x=e，x′z＝－e，因此有 36. 随机变量X～f(x)， Y=,Z=X2,分别计算随机变量Y与Z的概率密度fy(y)与fZ(z). 解　当x＞0时，y=单调，其反函数为x=y2,x′y=2y 当x＞0时z＝x2也是单调函数，其反函数为x=,x′z= 37.随机变量X～f(x)，当x≥0时,,Y=arctanX, Z=,分别计算随机变量Y与Z的概率密度fY(y)与fz(z). 解　由于y=arctanx是单调函数，其反函数x=tany,x′y=sec2y在内恒不为零，因此，当0＜y＜时， 即Y服从区间(0,)上的均匀分布. z=在x＞0时也是x的单调函数，其反函数x=,x′z=. 因此当z＞0时， 即Z=与X同分布. 38. 一个质点在半径为R，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动.求该质点横坐标X的密度函数fX(x). 解　如图，设质点在圆周位置为M，弧的长记为L，显然L是一个连续型随机变量，L服从［0，πR］上的均匀分布. 图2-1 M点的横坐标X也是一个随机变量，它是弧长L的函数，且 X＝Rcosθ＝Rcos 函数x=Rcosl/R是l的单调函数(0＜l＜πR),其反函数为 l＝Rarccos 当－R＜x＜R时，L′x≠0，此时有 当x≤－R或x≥R时，fX(x)＝0. 39. 计算第2,3,5,6,11各题中的随机变量的期望. 解　根据第2题中所求出的X概率分布，有 亦可从X服从超几何分布，直接计算 在第3题中 亦可从X服从二项分布(2，)，直接用期望公式计算： 在第5题中 (1) (2) 在第6题中， 在第11题中， 40. P{X=n}=,n=1,2,3,4,5,确定C的值并计算EX. 解　 41. 随机变量X只取－1,0,1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算EX. 解　设P{X＝－1}＝a，则P{X＝0}＝2a, P{X＝1} ＝3a(a＞0)，因a+2a+3a=1,故a＝1/6 42. 随机变量X服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX2是否等于(EX)2? 解　EX＝P{X＝1}＝0.8，(EX)2＝0.64 EX2＝10.8＝0.8＞(EX)2 43. 随机变量X～f(x)，f(x)＝0.5e-|x|，计算EXn，n为正整数. 解　当n为奇数时，是奇函数，且积分收敛，因此 当n为偶数时， 44. 随机变量X～f(x)， 其他 计算EXn(n为正整数). 解　 　　 　　　　 45. 随机变量X～f(x)， 其他 b,c均大于0，问EX可否等于1，为什么? 解　 而 由于方程组 无解，因此EX不能等于1. 46. 计算第6，40各题中X的方差DX . 解　在第6题中，从第39题计算知EX＝， DX＝EX2－(EX)2≈0.46 在第40题中，已计算出EX＝, = 　　DX=EX2-(EX)2≈1.77 47. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差. 解　在第23题中，由于f(x)＝（0＜x＜1）,因此 DX=EX2－(EX)2= 在第29题中，由于f(x)＝ (0＜x＜π),因此 DX＝EX2－(EX)2= 48. 计算第34题中随机变量Y的期望和方差. 解　EY= EY2= DY= 49. 已知随机变量X的分布函数F(x)为： F(x)= 计算EX与DX. 解　依题意，X的密度函数f(x)为： 解　EX＝ EX2= DX= 50. 已知随机变量X的期望EX＝μ，方差DX＝σ2，随机变量Y=, 求EY和DY. 解　EY=(EX－μ)＝0 DY= =1 51. 随机变量Yn～B(n,),分别就n=1,2,4,8,列出Yn的概率分布表，并画出概率函数图. 解　 Y1 0 1 Y2 0 1 2 P P Y3 0 1 2 3 P Y4 0 1 2 3 4 P Y8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 6561a 17496a 20412a 13608a 5670a 1512a 252a 24a a 其中a=1/65536.图略. 52. 设每次试验的成功率为0.8，重复试验4次，失败次数记为X，求X的概率分布. 解　X可以取值0,1, 2, 3, 4 .相应概率为 P(X＝m)＝ (m=0, 1, 2, 3,4) 计算结果列于下表 X 0 1 2 3 4 P 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 53. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率；至少命中3次的概率. 解　记X为10次投篮中命中的次数，则 X～B(10,0.7). =1－0.310－100.70.39－450.720.38 ≈0.9984 54．掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率. 解　掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X，则X～B（4，）. EX=np= 由于np+p=，其X的最可能值为［np+p］=0 若计算，显然 概率更小. 55．已知随机变量X～B（n,p），并且EX=3，DX=2，写出X的全部可能取值，并计算. 解　根据二项分布的期望与方差公式，有 解方程，得q=，p=，n=9. X的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 . =1－≈0.9999 56．随机变量X～B（n，p），EX=0.8，EX2=1.28，问X取什么值的概率最大，其概率值为何? 解　由于DX=EX2－(EX)2=0.64, EX=0.8, 即 解得　q=0.8，p=0.2，n=4. 由于np+p=1，因此X取0与取1的概率最大，其概率值为 57．随机变量X～B（n,p），Y=eaX，计算随机变量Y的期望EY和方差DY. 解　随机变量Y是X的函数，由于X是离散型随机变量，因此Y也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有 58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X，Y分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X，Y的概率分布以及期望和方差. 解　X服从超几何分布，Y服从二项分布B（4，）. 具体计算结果列于下面两个表中. X 0 1 2 3 4 P 46/833 208/833 325/833 208/833 46/833 Y 0 1 2 3 4 P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/