2018版高中数学苏教版必修一学案：2.2.1　函数的单调性（二） .docx

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1、2.2.1函数的单调性(二)学习目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值知识点一函数的最大(小)值思考在如图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？梳理设yf(x)的定义域为A.如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最大值，记为ymaxf(x0)如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最小值，记为yminf(x0)知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数yx2，x1,1的图象如下：试指出函数

2、的最大值、最小值和相应的x的值梳理函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点知识点三函数的单调性与最值若函数yf(x)在区间a，b上是单调增函数，则函数的最小值为yminf(a)，最大值为ymaxf(b)；若函数yf(x)在区间a，b上是单调减函数，则函数的最小值为yminf(b)，最大值为ymaxf(a)即单调函数在闭区间上必有最大值、最小值类型一借助单调性求最值例1已知函数f(x)(x0)，求函数的最大值和最小值反思与感悟(1)若函数yf(x)在区间a，b上为单调增函数，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)(2)若函数yf(x)在区间a，b上为单调减函数，则f(x)的

3、最大值为f(a)，最小值为f(b)(3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势跟踪训练1已知函数f(x)|x1|x1|.(1)画出f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的最小值类型二求二次函数的最值例2(1)已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)x23，求函数f(x)的最值；(4)

4、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)?反思与感悟(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题跟踪训练2(1)已知函数f(x)x42x23，求函数f(x)的最值；(2)求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值；(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池

5、的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为hx22x，x0，求水流喷出的高度h的最大值是多少？类型三函数最值的应用例3已知x2xa0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围引申探究若将本例中“x(0，)”改为“x(，)”，再求a的取值范围反思与感悟恒成立的不等式问题，任意xD，f(x)a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)mina来解决任意xD，f(x)a恒成立f(x)maxa.当最值不存在时，可求值域，但要注意a的取值的变化跟踪训练3已知ax2x1对任意x(0,1恒成立，求实数a的取值范围1函

6、数yx1在区间，2上的最大值是_2函数f(x)在1，)上的最大值为_3函数f(x)x2，x2,1的最大值，最小值分别为_4已知函数f(x)则f(x)的最大值，最小值分别为_5若不等式xa10对一切x(0，恒成立，则a的最小值为_1函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)2二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根

7、据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得答案精析问题导学知识点一思考最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值知识点二思考x1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点题型探究例1解设x1，x2是区间(0，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).当x10，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(0,1上为单调增函数；当1x10，x1x210，f(x1)f(x2

8、)0，f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上为单调减函数f(x)maxf(1)，无最小值跟踪训练1解(1)f(x)的图象如图(2)由图知，f(x)在(，1上为单调减函数，在1,1上为常函数，在1，)上为单调增函数，f(x)min2.例2解(1)函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1，f(x)在0,1上为单调减函数，在1,2上为单调增函数，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.(2)对称轴x1，当1t2即t1时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.当1t2，即1t0时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)min

9、f(1)4.当t1，即0t1时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数最大值为g(t)，最小值为(t)，则有g(t)(t)(3)设t(t0)，则x23t22t3.由(1)知yt22t3(t0)在0,1上为单调减函数，在1，)上为单调增函数当t1即x1时，f(x)min4，无最大值(4)作出函数h(t)4.9t214.7t18的图象(如图)显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度由二次函数的知识，对于函数h(t)4.9t21

10、4.7t18，我们有：当t1.5时，函数有最大值h29.于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.跟踪训练2解(1)设x2t(t0)，则x42x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上为单调减函数，在1，)上为单调增函数当t1即x1时，f(x)min4，无最大值(2)函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是单调减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min(3)由函数hx22x，x0，的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点此时函数取得最大值对于函数hx22x，x0，当x1时，函数有最

11、大值hmax1221.于是水流喷出的最高高度是 m.例3解方法一令yx2xa，要使x2xa0对任意x(0，)恒成立，只需ymin0，解得a.实数a的取值范围是(，)方法二x2xa0可化为ax2x.要使ax2x对任意x(0，)恒成立，只需a(x2x)max，又(x2x)max，a.实数a的取值范围是(，)引申探究解f(x)x2x在(，)上为单调减函数，f(x)的值域为(，)，要使ax2x对任意x(，)恒成立，只需a，a的取值范围是，)跟踪训练3解x0，ax2x1可化为a.要使a对任意x(0,1恒成立，只需a()min.设t，x(0,1，t1.t2t(t)2.当t1时，(t2t)min0，即x1时，()min0，a0.a的取值范围是(，0当堂训练1.2.13.4,04.10,65.