2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题五 第三讲　直线与圆锥曲线的位置关系 .doc

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1、专题五解析几何第三讲直线与圆锥曲线的位置关系高考导航1.由直线与圆锥曲线的位置关系解决直线的方程、圆锥曲线的方程及其性质等问题2求动点的轨迹问题，以椭圆和抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、范围等综合问题.1(2016全国)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.解析由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为yk(xa)，当xc时，yk(ac)，当x0时，yka，所以M(c，k(ac)，E(0，ka

2、)如图，设OE的中点为N，则N，由于B，M，N三点共线，所以kBNkBM，即，所以，即a3c，所以e.故选A.答案A2(2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10解析由题意可知，点F的坐标为(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，故设直线AB的方程为xmy1.由得y24my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24，x1x2m(y1y2)24m22，|AB|AF|BF|x1x224m24.ABDE，直线DE的

3、方程为xy1，|DE|4，|AB|DE|4m2444842816，当且仅当m2，即m1时，等号成立|AB|DE|的最小值为16.故选A.答案A3(2017济南二模)过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作一条直线，当直线的斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为_解析由题意可得1|AB|，所以由椭圆定义可知，动点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴为6的椭圆(除与x轴交点)方程为1(y0)，故选C.答案C2已知P是圆x2y24上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足，则点M的轨迹方程是_解析设M(x，y)，则D(x

4、,0)，由知P(x,2y)，点P在圆x2y24上，x24y24，故动点M的轨迹C的方程为y21.答案y213已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同于A1、A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为_解析由题设知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y(x)，直线A2Q的方程为y(x)，联立，解得x0，且|x|0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p. 解(1)设点P(x，y)，因为A(，0)，B(，0)，所以直线PA的斜率为(x)，直线PB的斜率为(x)，又直

5、线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为，所以k1(x)，整理得y21(x)，所以点P的轨迹C的方程为y21(x)(2)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，在y轴上的截距为1的直线l的方程为ykx1，联立方程得消去y，得(12k2)x24kx0，解得x10，x2，所以|MN|x1x2|，整理得k4k2200，即(k24)(k25)0，解得k2.所以直线l的方程为2xy10或2xy10.解决与弦长有关问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合弦长公式求解对点训练1(201

6、7河南郑州一模)过抛物线yx2的焦点F作一条倾斜角为30的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|_.解析抛物线x24y的焦点坐标是F(0,1)，直线AB的方程为yx1，即x(y1)由消去x，得3(y1)24y，即3y210y30，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，|AB|y1y22.答案2(2017德州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设与圆O：x2y2相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求OAB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程解(1)由题意可得：a23，b21，所以y21.(2)()当直线l的斜率k不存在时，x，所以y，所以|AB

7、|.又圆半径为.所以SOAB.()当直线l的斜率k存在时，设直线l方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，(13k2)x26kmx3m230，x1x2，x1x2，又直线l与圆相切，则有，即4m23(1k2)所以|AB|2.当且仅当9k2，即k时等号成立，SOAB|AB|r2，所以OAB面积的最大值为，此时直线l的方程为yx1.考点三直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法：(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与

8、圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数 解(1)设F的坐标为(c,0)依题意，a，ac，解得a1，c，p2，于是b2a2c2.所以，椭圆的方程为x21，抛物线的方程为y24x.(2)设直线AP的方程为xmy1(m0)，与直线l的方程x1联立，可得点P，故Q.将xmy1与x21联立，消去x，整理得(3m24)y26my0，解得y0或y.由点B异于点A，可得点B.由Q，可得直线BQ的方程为(x1)0，令y0，解得x，故D.所以|AD|1.又因为APD的面积为，故，整理得3m22|m|20，解得|m|.所以m.所以，直线AP的方程为3xy30或3xy30.求解直线与圆锥曲线的位置关系的方法在涉及直线

9、与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法 对点训练 (2017陕西省高三质量检测)已知F1，F2为椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆E上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得，成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解(1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.椭圆E：1.将P代入可得b23，

10、椭圆E的方程为1.(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时，；当AC的斜率k存在且k0时，AC的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，并化简得(34k2)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AC|x1x2|.直线BD的斜率为，|BD|.综上，2，.故存在常数，使得，成等差数列热点课题19函数与方程思想在圆锥曲线位置关系中的应用 感悟体验(2017广西三校联考)已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若3，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解(1)依题意，可设直线AB：ymy1，将直线AB方程与抛物线方程联立y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得3y13y2m2，直线AB的斜率为或.(2)S四边形OACB2SAOB2|OF|y1y2|y1y2|4，当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4.