2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题二 第二讲　三角恒等变换与解三角形 .doc

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1、专题二三角函数、平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形高考导航利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点2利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查.1(2016全国卷)若cos，则sin2()A. B. C D解析解法一：cos，sin2coscos22cos21221.故选D.解法二：cos(cossin)，cossin，1sin2，sin2.故选D.答案D2(2017山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC

2、，则下列等式成立的是()Aa2b Bb2a CA2B DB2A解析解法一：因为sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，所以sinB2sinBcosCsinAcosCsin(AC)，所以sinB2sinBcosCsinAcosCsinB，即cosC(2sinBsinA)0，所以cosC0或2sinBsinA，即C90或2ba，又ABC为锐角三角形，所以0Cc2，故2ba，故选A.答案A3(2017浙江卷)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.解析由余弦定理得cosABC，cosCBD，sinCBD，SBD

3、CBDBCsinCBD22.又cosABCcos2BDC2cos2BDC1，0BDC，cosBDC.答案4(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周长解(1)由题设得acsinB，即csinB.由正弦定理得sinCsinB.故sinBsinC.(2)由题设及(1)得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由题设得bcsinA，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc.故ABC的周长为3.考点一三角恒等变换1两角和与差的正弦、余

4、弦、正切公式(1)sin()sincoscossin.(2)cos()coscossinsin.(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos.(2)cos2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan2.3辅助角公式asinxbcosxsin(x). 对点训练1(2017贵阳监测)已知sin，则cos的值是()A. B. C D解析sin，coscos12sin2，coscoscoscos.答案D2(2017福建省福州市高三综合质量检测)已知m，若sin2()3sin2，则m()A. B. C. D2解析设A，B，则2()AB,2AB，因为sin2()

5、3sin2，所以sin(AB)3sin(AB)，即sinAcosBcosAsinB3(sinAcosBcosAsinB)，即2cosAsinBsinAcosB，所以tanA2tanB，所以m2，故选D.答案D3若sin2，sin()，且，则的值是_解析因为，故2，又sin2，故2，cos2，故，于是cos()，cos()cos2()cos2cos()sin2sin() ，且，故.答案(1)三角恒等变换的三原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如1题二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”三看“结构特

6、征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等(2)解决条件求值应关注的三点分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如3题考点二解三角形1正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC.2余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC

7、.推论：cosA，cosB，cosC.变形：b2c2a22bccosA，a2c2b22accosB，a2b2c22abcosC.3面积公式SABCbcsinAacsinBabsinC.角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状解析2bcosC2ccosBa，2sinBcosC2sinCcosBsinAsin(BC)，即sinBcosC3cosBsinC，tanB3tanC，又B2C，3tanC，得tanC，C，B2C，A，故ABC为直角三角形答案B角度2：在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算解析由bsinBasinAasinC及正弦定理得b2a2ac，又c2a，所以ba，cosB，sinB

8、.故选A.答案A角度3：结合正、余弦定理进行面积的计算思维流程(1)(2)解(1)由题设及ABC得sinB8sin2，故sinB4(1cosB)上式两边平方，整理得17cos2B32cosB150，解得cosB1(舍去)，cosB.(2)由cosB得sinB，故SABCacsinBac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accosB(ac)22ac(1cosB)3624.所以b2.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理【特别提醒】应用定理要注意“三统一”

9、，即“统一角、统一函数、统一结构” 对点训练1角度1(2017洛阳模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2，则ABC的形状一定是()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形解析在ABC中，cos2，1cosA1，cosAsinCsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，sinAcosC0，sinA0，cosC0，C为直角故选B.答案B2角度2(2017辽宁师大附中模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足asinBcosCcsinBcosAb，则B()A.或 B. C. D.解析asinBcosCcsinBcosAb，由

10、正弦定理可得sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB.又sinB0，sinAcosCsinCcosA，解得sin(AC)sinB.0B，B或.故选A.答案A3角度3(2017威海模拟)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为_解析由正弦定理得，(2b)(ab)(cb)c，又a2，所以b2c2bc4，所以cosA，故A.因为b2c22bc，所以bc4，所以SABCbcsinA4，当且仅当bc时取等号答案考点三正、余弦定理的实际应用1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可

11、用正弦定理或余弦定理求解2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解对点训练1(2017济南二模)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 km C3 km D2 km解析画出示意图如图，由条件知AB246.在ABS中，BAS30，AB6，ABS

12、18075105，所以ASB45.，所以BS3.答案B2(2017广东省五校协作体高三一诊)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos_.解析由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可得，即DB100sin15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos1.答案1解三角形实际问题的4步骤热点课题8解三角形中的范围问题 感悟体验(2017河南豫北联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC(2bc)cosA.(1)求角A的大小；(2)求cos2sin2的取值范围解(1)由正弦定理将原等式化为sinAcosC2sinBcosAsinCcosA，从而可得，sin(AC)2sinBcosA，即sinB2sinBcosA.又B为三角形的内角，所以sinB0，于是cosA.又A为三角形的内角，因此A.(2)cos2sin2sinBcosC1sinBcos1sinBcoscosBsinsinB1sinBcosB1sin1，由A可知，B，所以B，从而sin，因此，sin1，故cos2sin2的取值范围为.