2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第二讲 二 圆内接四边形的性质及判定定理 .doc

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1、二圆内接四边形的性质及判定定理对应学生用书P211圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补如图：四边形ABCD内接于O，则有：AC180，BD180.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角如图：CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：CBED.2圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆对应学生用书P21圆内接四边形的性质例1如图，AB是O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：DEADFA.思路点拨本题主要考查圆内接四边

2、形判定及性质的应用解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论证明连接AD.因为AB为圆的直径，所以ADB90.又EFAB，EFA90，所以A，D，E，F四点共圆所以DEADFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系1圆内接四边形ABCD中，已知A，B，C的度数比为435，求四边形各角的度数解：设A，B，C的度数分别为4x,3x,5x，则由AC180，可得4x5x180.x20.A42080，B32060，C520100，D180B120.2已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，

3、点F是BD的延长线上的点，且DE平分CDF.(1)求证：ABAC；(2)若AC3 cm，AD2 cm，求DE的长解：(1)证明：ABC2，213，43，ABC4.ABAC.(2)34ABC，DABBAE，ABDAEB.ABAC3，AD2，AE.DE2(cm).圆内接四边形的判定例2如图，在ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且APBC于P.求证：E，D，P，F四点共圆思路点拨可先连接PF，构造四边形EDPF的外角FPC，证明FPCC，再证明FPCFED即可证明如图，连接PF，APBC，F为AC的中点，PFAC.FCAC，PFFC.FPCC.E、F、D分别为AB，AC，BC的中点E

4、FCD，EDFC.四边形EDCF为平行四边形，FEDC.FPCFED.E，D，P，F四点共圆证明四点共圆的方法常有：如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆3判断下列各命题是否正确(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等

5、；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等4已知：在ABC中，ADDB，DFAB交AC于点F，AEEC，EGAC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆证明：(1)如图，连接GF，由DFAB，EGAC，知GDFGEF90，GF中点到D、E、F、G四点距离相等，D、E、F、G四点共圆(2)连接DE.由ADDB，AEEC，知DEBC，ADEB.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，ADEGFE.GFEB.G、B、C、F四点共圆.圆内接四边形的综合应用例3如图，已知O1与O2相交于A、B两点，P是O1上一点，PA

6、、PB的延长线分别交O2于点D、C，O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PMCD.思路点拨O1与O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是O1的直径，考虑连接AE或BE得90的圆周角；要证PMCD，再考虑证角相等证明如图，分别连接AB，AE，A、B、C、D四点共圆，ABPD.A、E、B、P四点共圆，ABPAEP.AEPD.A、E、M、D四点共圆PMCDAE.PE是O1的直径，EAPA.PMCDAE90.PMCD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立5.如图，P点是等边ABC外接圆的上一点，CP的延长线和AB

7、的延长线交于点D，连接BP.求证：(1)DCBP；(2)AC2CPCD.证明：(1)ABC为等边三角形，ABCA60.DBC120.又四边形ABPC是圆内接四边形，BPC180A120.BPCDBC.又DCBBCP，BCPDCB.DCBP.(2)由(1)知BCPDCB，.CB2CPCD.又CBAC，AC2CPCD.6如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BDBC，CECA，AD，BE相交于点P.求证：(1)四点P，D，C，E共圆；(2)APCP.解：(1)证明：在ABC中，由BDBC，CECA知：ABDBCE，即ADBBEC，即ADCBEC180，所以四点P，D，C，E共圆

8、(2)如图，连接DE.在CDE中，CD2CE，ACD60，由余弦定理知CED90.由四点P，D，C，E共圆知，DPCDEC，所以APCP.对应学生用书P24一、选择题1设四边形ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：sin Asin C，sin Asin C0，cos Bcos D0，cos Bcos D.其中恒成立的关系式的个数是()A1B2C3 D4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故A180C，且A，C均不为0或180，故式恒成立，式不成立同样由B180D知，式恒成立式只有当BD90时成立答案：B2圆内接四边形ABCD中，ABCD可以是()A4231 B4312C4132 D以上都不对

9、解析：由四边形ABCD内接于圆，得ACBD，从而只有B符合题意答案：B3如图，四边形ABCD是O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，CBE40，则AOC等于()A20 B40C80 D100解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且CBE40，由圆内接四边形性质知DCBE40，又由圆周角定理知：AOC2D80.答案：C4已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()如果AC，则A90；如果AB，则四边形ABCD是等腰梯形；A的外角与C的外角互补；ABCD可以是1234A1个 B2个C3个 D4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：相等且互补的两角必为直角；两相等邻角的对角也相等(亦

10、可能有ABCD的特例)；互补两内角的外角也互补；两组对角之和的份额必须相等(这里1324)因此得出正确，错误答案：B二、填空题5(2014陕西高考)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_.解析：B，C，F，E四点在同一个圆上，AEFACB，又AA，AEFACB，即，EF3.答案：36如图，直径AB10，弦BC8，CD平分ACB，则AC_，BD_.解析：ACB90，ADB90.在RtABC中，AB10，BC8，AC6.又CD平分ACB.即ACDBCD，ADBD.BD 5.答案：657如图，点A，B，C，D都在O上，若C34，则AOB_，ADB

11、_.解析：C和AOB分别是所对的圆周角与圆心角，AOB2C68.周角是360，劣弧AB的度数为68，优弧AB的度数为292.ADB292146.答案：68146三、解答题8.已知：如图，E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，对角线AC与BD相交于O点，求证：E，F，G，H共圆证明：法一：连接EF、FG、GH、HE.E、F分别为AB、BC的中点，EFAC.同理EHBD.HEFAOB.ACBD，HEF90.同理FGH90.HEFFGH180.E、F、G、H共圆法二：连接OE、OF、OG、OH.四边形ABCD为菱形ACBD，ABBCCDDA.E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，OEAB

12、，OFBC，OGCD，OHDA.OEOFOGOH.E，F，G，H在以O点为圆心，以OE为半径的圆上故E，F，G，H四点共圆9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆证明：(1)因为ECED，所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA.故ECDEBA.所以CDAB.(2)由(1)知，AEBE.因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，EDCECD，所以FABGBA

13、.所以AFGGBA180.故A，B，G，F四点共圆10如图，已知O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点(点C、D均不与A、B重合)(1)求ACB.(2)求ABD的最大面积解：(1)连接OA、OB，作OEAB，E为垂足，则AEBE.RtAOE中，OA2.AEAB2.所以sin AOE，AOE60，AOB2AOE120.又ADBAOB，ADB60.又四边形ACBD为圆内接四边形，ACBADB180.从而有ACB180ADB120.(2)作DFAB，垂足为F，则SABDABDF2DFDF.显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，从而SABD取得最大值此时DFDOOF3，SABD3，即ABD的最大面积是3.