2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第二讲 五 与圆有关的比例线段 .doc

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1、五与圆有关的比例线段对应学生用书P311相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等如图，弦AB与CD相交于P点，则PAPBPCPD.2割线有关定理(1)割线定理：文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等图形表示：如图，O的割线PAB与PCD，则有：PAPBPCPD.(2)切割线定理：文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；图形表示：如图，O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2PBPC.3切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线

2、的夹角(2)图形表示：如图：O的切线PA，PB，则PAPB，OPAOPB.对应学生用书P32相交弦定理例1如图，已知在O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交O于C、D两点，垂足是点E.求证：PCPDAEAO.思路点拨由相交弦定理知PCPDAPPB，又P为AB的中点，PCPDAP2.在RtPAO中再使用射影定理即可证明连接OP，P为AB的中点，OPAB，APPB.PEOA，AP2AEAO.PDPCPAPBAP2，PDPCAEAO.(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，

3、且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项1.如图，已知O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB4，DECE3，则CD的长为()A4B5C8 D10解析：设CEx，则DE3x.根据相交弦定理，得x(x3)22，x1或x4(不合题意，应舍去)则CD3115.答案：B2.如图，已知AB是O的直径，OMON，P是O上的点，PM、PN的延长线分别交O于Q、R.求证：PMMQPNNR.PMMQPNNR.割线定理、切割线定理例2如图，AB是O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是O的割线，已知ACAB.证明：(1)ADAEAC2；(2)FGAC.思路点拨(1)利用切割线定理；(2)证AD

4、CACE.证明(1)AB是O的一条切线，ADE是O的割线，由切割线定理得ADAEAB2.又ACAB，ADAEAC2.(2)由(1)得，又EACDAC，ADCACE.ADCACE.又ADCEGF，EGFACE.FGAC.(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理3如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA3，PDDB916，则PD_；AB_.解析：PDDB916，不妨设

5、PD9a，DB16a(a0)，PB25a.由切割线定理知PA2PDPB，即99a25a，a.PD.在直角三角形PAB中，PA3，PB5，可知AB4.答案：44.如图，AD为O的直径，AB为O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BMMNNC，若AB2.求：(1)BC的长；(2)O的半径r.解：(1)不妨设BMMNNCx.根据切割线定理，得AB2BMBN，即22x(xx)，解得x，BC3x3.(2)在RtABC中，AC，由割线定理，得CDACCNCM，由(1)可知，CN，BC3，CMBCBM32，AC，CD，r(ACCD).切线长定理例3如图，AB是O的直径，C是O上一点，过点C的切线与过A、

6、B两点的切线分别交于点E、F，AF与BE交于点P.求证：EPCEBF.思路点拨证明EA，EF，FB是O的切线，EAEC，FCFB.EA，FB切O于A，B，AB是直径，EAAB，FBAB.EAFB.CPFB.EPCEBF.运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即切线长相等，圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明5两个等圆O与O外切，过O作O的两条切线OA、OB，A、B是切点，则AOB()A90B60C45 D30解析：如图，连接OO，OA.OA为O的切线，OAO90.又O与O为等圆且外切，OO2OA.sin AOO.AOO30.又由切线长定理知AO

7、B2AOO60.答案：B6.已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和O分别相切于L，M，N，P.求证：ADBCABCD.证明：由圆的切线长定理得CMCN，BLBM，APAL，DPDN，ABALLB，BCBMMC，CDCNND，ADAPPD，ADBC(APPD)(BMMC)(ALND)(BLCN)(ALBL)(NDCN)ABCD，即ADBCABCD.对应学生用书P33一、选择题1自圆外一点所作过圆心的割线长是12 cm，圆的半径为4 cm，则过此点所引的切线长为()A16 cmB4 cmC4 cm D以上答案都不对解析：设切线长为x cm，由切割线定理得x2(1224)12，故x4

8、.答案：B2点C在O的弦AB上，P为O上一点，且OCCP，则()AOC2CACB BOC2PAPBCPC2PAPB DPC2CACB解析：根据OCCP，可知C为过PC点弦的中点，再由相交弦定理即有PC2CACB.答案：D3如图，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()ACECBADDB BCECBADABCADABCD2 DCEEBCD2解析：在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2ADDB，再根据切割线定理可得CD2CECB，所以CECBADDB.答案：A4.已知PT切O于点T，TC是O的直径，割线PBA交TC于点D，交O于B、A(B在PD上)，DA3

9、，DB4，DC2，则PB等于()A20 B10C5 D8解析：DA3，DB4，DC2，由相交弦定理得DBDADCDT，即DT6；因为TC为O的直径，所以PTDT.设PBx，则在RtPDT中，PT2PD2DT2(4x)236.由切割线定理得PT2PBPAx(x7)，所以(4x)236x(x7)，解得x20，即PB20.答案：A二、填空题5AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，AM4，BM9，则弦CD的长为_解析：根据相交弦定理，AMBM()2，所以6，CD12.答案： 126.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA.若ADm，ACn，则AB_.解析：因为直线PB是圆的

10、切线，所以ABPC，又因为ABPABD，所以ABDC，又因为AA，所以ABDACB，所以，所以AB.答案：7.如图，PA，PB分别为O的切线，切点分别为A，B，PA7，在劣弧上任取一点C，过C作O的切线，分别交PA，PB于D，E，则PDE的周长是_解析：由切线长定理知， PBPA7，且DADC，ECEB，所以PDE的周长为PDPEDEPDDCCEPEPAPB14.答案：14三、解答题8.如图，AB是圆O的直径，弦CDAB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交O于E，CF2，AF3，求EF的长解：因为CDAB于G，F为CG的中点，所以G为CD的中点，即CD8，FD6.又因为AFFECFFD，即3

11、EF26，所以EF4.9.已知：如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，PO13 cm，O半径r5 cm，求PDE的周长解：PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，DADC，EBEC.PDE的周长为PAPB2PA.连接OA，则OAPA.PA12 cm.PDE的周长为24 cm.10如图，已知O1和O2相交于点A，B，过点A作O1的切线交O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交O1，O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：ADEC；(2)若AD是O2的切线，且PA6，PC2，BD9，求AD的长解：(1)证明：连接AB.AC为O1的切线，BACD.又BACE，DE.ADEC.(2)设PBx，PEy，由相交弦定理，得PBPEPAPC，则xy62，xy12.ADEC，即.9x3y.由解得或(舍去)DE93416.AD为O2的切线，由切割线定理，得AD2DBDE916.AD12.