2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 本讲知识归纳与达标验收 .doc

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1、考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主真题体验1(安徽高考)在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A0(R)和cos 2B(R)和cos 2C(R)和cos 1D0(R)和cos 1解析：由题意可知，圆2cos 可化为普通方程为(x1)2y21.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x0和x2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为(R)和cos 2，故选B.答案：B2(安徽高考)在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_解析：将4sin 化

2、成直角坐标方程为x2y24y，即x2(y2)24，圆心为(0,2)将(R)化成直角坐标方程为xy0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d.答案：3(江西高考)若曲线的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_解析：2sin 4cos ，22sin 4cos ，x2y22y4x，即x2y24x2y0.答案：x2y24x2y0. 用解析法解决几何问题利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单例1

3、已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2|PB|2|PC|2最小，并求出此最小值解以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则A，B，C.设P(x，y)，则|PA|2|PB|2|PC|2x222y22y23x23y2ay3x232a2a2，当且仅当x0，ya时，等号成立所求的最小值为a2，此时P点的坐标为P，即为正三角形ABC的中心.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换例2在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲

4、线(x5)2(y6)21，求曲线C的方程，并判断其形状解将代入(x5)2(y6)21中，得(2x5)2(2y6)21.化简，得(x)2(y3)2.该曲线是以(，3)为圆心，半径为的圆.极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(，)0如果曲线C是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(，)0为曲线C的极坐标方程由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求

5、谁设谁，找出所设点的坐标，的关系例3ABC底边BC10，AB，以B为极点，BC为极轴，建立极坐标系，求顶点A的轨迹的极坐标方程解如图：令A(，)，ABC内，设B，A，又|BC|10，|AB|.由正弦定理，得，化简，得A点轨迹的极坐标方程为1020cos .极坐标与直角坐标的互化互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度互化公式为直角坐标方程化极坐标方程可直接将xcos ，ysin 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos ，sin 的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以即可达到目的，但要注意变形的等价性

6、例4(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点若AOB是等边三角形，则a的值为_解析由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2y24y和ya，它们相交于A，B两点，AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为yx，联立消去y，得x2x，解得x或x0，所以yx3，即a3.答案3例5在极坐标系中，点M坐标是(2，)，曲线C的方程为2sin(); 以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和极点(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长解(1)直线l过点M(2，)和极点，直线

7、l的直角坐标方程是(R)2sin()即2(sin cos )，两边同乘以得22(sin cos )，曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y0.(2)点M的直角坐标为(1，)，直线l过点M和原点，直线l的直角坐标方程为yx.曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r，圆心到直线l的距离为d，|AB|1.(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1点M的极坐标为(1，)，则它的直角坐标是()A(1,0)B(1,0)C(0,1) D(0，1)解析：x1cos 1，y1sin 0，即直角坐标是(1,0)答案：B2已

8、知曲线C的极坐标方程2cos 2，给定两点P(0，)，Q(2，)，则有()AP在曲线C上，Q不在曲线C上BP、Q都不在曲线C上CP不在曲线C上，Q在曲线C上DP、Q都在曲线C上解析：当时，2cos 20，故点P不在曲线上；当时，2cos 22，故点Q在曲线上答案：C3点P的柱坐标为，则其直角坐标为()A. B.C. D.解析：16，z5，xcos 8，ysin 8，z5，点P的直角坐标是(8,8，5)答案：B4在同一坐标系中，将曲线y2sin 3x变为曲线ysin x的伸缩变换是()A. B.C. D.解析：将代入ysin x，得ysin x，即ysin x，与y2sin 3x比较，得，3，即

9、变换公式为答案：B5曲线5与的交点的极坐标写法可以有()A1个 B2个C4个 D无数个解析：由极坐标的定义易知有无数个答案：D6在极坐标系中，过点A(6，)作圆4cos 的切线，则切线长为()A2 B6C2 D2解析：圆4cos 化为(x2)2y24，点(6，)化为(6,0)，所以切线长2.答案：C7极坐标方程cos 与cos 的图形是()解析：把cos 化为直角坐标方程，得x，把cos 代为直角坐标方程，得x2y2x0，即其圆心为，半径为，故选项B正确答案：B8极坐标方程，(0)和4所表示的曲线围成的图形面积是()A. B.C. D.解析：三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为.扇形面积为

10、：44.答案：B9在极坐标系中，曲线4sin()关于()A线轴对称 B线轴对称C(2，)中心对称 D极点中心对称解析：4sin()可化为4cos()，可知此曲线是以(2，)为圆心的圆，故圆关于对称答案：B10在极坐标系中有如下三个结论：点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；tan 1与表示同一条曲线；3与3表示同一条曲线在这三个结论中正确的是()A BC D解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上所有点的坐标不一定适合方程，故是错误的；tan 1不仅表示这条射线，还表示这条射线，故亦不对；3与3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆

11、，故正确答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11(天津高考)已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|_.解析：由圆的极坐标方程为4cos ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为(2,2)，所以|CP|2.答案：212点A的直角坐标为，则它的球坐标为_解析：r6.cos ，.tan ，.它的球坐标为.答案：13在极坐标系中，点A关于直线l：cos 1的对称点的一个极坐标为_解析：由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A是点A关于l的对称点，则四边OBAA是正方形，BOA，且OA2，故A的极坐

12、标可以是.答案：14从极点作圆2acos 的弦，则各条弦中点的轨迹方程为_解析：数形结合，易知所求轨迹是以为圆心，为半径的圆，求得方程是acos .答案：acos 三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)(辽宁高考改编)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解：设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由xy1得x221，

13、即曲线C的方程为x21.由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.16(本小题满分12分)极坐标方程2cos 与cos()1表示的两个图形的位置关系是什么？解：2cos 可变为22cos ，化为普通方程为x2y22x即(x1)2y21它表示圆，圆心为(1,0)，半径为1.将cos()1化为普通方程为xy20.圆心(1,0)到直线的距离为1直线与圆相离17(本小题满分12分)把下列极坐标方程化为直角坐标方程并说明表示什么曲线(1)2acos (a0)；(2)9(sin c

14、os )；(3)4；(4)2cos 3sin 5.解：(1)2acos ，两边同时乘以，得22acos ，即x2y22ax.整理得x2y22ax0，即(xa)2y2a2.是以(a,0)为圆心，a为半径的圆(2)两边同时乘以得29(sin cos )，即x2y29x9y，又可化为(x)2(y)2，是以(，)为圆心，为半径的圆(3)将4两边平方得216，即x2y216.是以原点为圆心，4为半径的圆(4)2cos 3sin 5，即2x3y5，是一条直线18(本小题满分14分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1，得1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，得M(2,0)；当时，得N.(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为.所以直线OP的极坐标方程为，R.