解析几何第四版吕林根课后习题集规范标准答案第四章.doc

.\ 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： 且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 中消去，得到： 即： 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为： 而在准线上，所以 上式中消去后得到： 此即为要求的柱面方程。 2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 解：由题意知：母线平行于矢量 任取准线上一点，过的母线方程为： 而在准线上，所以： 消去，得到： 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为，这三点所定的在平面上的圆的圆心为，圆的方程为： 此即为欲求的圆柱面的准线。 又过准线上一点，且方向为的直线方程为： 将此式代入准线方程，并消去得到： 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为，母线的方向平行于矢量，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： 与 式中的为参数。 证明：对柱面上任一点，过的母线与准线交于点，则， 即 亦即， 此即为柱面的矢量式参数方程。 又若将上述方程用分量表达，即： 此即为柱面的坐标式参数方程。 4.2锥面 1、求顶点在原点，准线为的锥面方程。 解：设为锥面上任一点，过与的直线为： 设其与准线交于，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去参数，得： 即： 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为，准线为，试求它的方程。 解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为： 令它与准线交于，即存在，使 将它们代入准线方程，并消去得： 此为要求的锥面方程。 4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推） 圆锥的轴与等角，故的方向数为 与垂直的平面之一令为 平面在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点，该圆的圆心为，故该圆的方程为： 它即为要求圆锥面的准线。 对锥面上任一点，过与顶点的母线为： 令它与准线的交点为，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去得： 此即为要求的圆锥面的方程。 5、求顶点为，轴与平面垂直，且经过点的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为： 过点且垂直于轴的平面为： 即： 该平面与轴的交点为，它与的距离为： 要求圆锥面的准线为： 对锥面上任一点，过该点与顶点的母线为： 令它与准线的交点为，即存在，使 将它们代入准线方程，并消去得： 6、已知锥面的准线为，顶点决定的径矢为，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： 与 式中，为参数。 证明：对锥面上任一点，令，它与顶点的连线交准线于，即。 ，且（顶点不在准线上） 即 亦即 此为锥面的矢量式参数方程。 若将矢量式参数方程用分量表示，即： 此为锥面的坐标式参数方程，为参数。 4.3旋转曲面 1、求下列旋转曲面的方程： （1）；绕旋转 （2）；绕旋转 （3）绕轴旋转； （4）空间曲线绕轴旋转。 解：（1）设是母线上任一点，过的纬圆为： 又在母线上。 从（1）——（3）消去，得到： 此为所求的旋转面方程。 （2）对母线上任一点，过的纬圆为： 因在母线上， (3) 从（1）——（3）消去，得到： 此为所求的旋转面的方程。 （3）对母线上任一点，过该点的纬圆为： 又在母线上，所以： （3） 从（1）——（3）消去，得到： 此为所求的旋转面方程。 （4）对母线上任一点，过的纬圆为： 又在母线上，所以 从（1）——（3）消去，得到： 即旋转面的方程为： 2、将直线绕轴旋转，求这旋转面的方程，并就可能的值讨论这是什么曲面？ 解：先求旋转面的方程式： 任取母线上一点，过的纬圆为： 又 （3） 从（1）——（3）消去，得到： 此即为所求旋转面的方程。 当时，旋转面为圆柱面（以轴为轴）； 当时，旋转面为圆锥面（以轴为轴，顶点在原点）； 当时，旋转面变为轴； 当时，旋转面为单叶旋转双曲面。 3、已知曲线的参数方程为，将曲线绕轴旋转，求旋转曲面的参数方程。 解：如图，设为上任一点，则对经过的纬圆上任一点，令在面上的射影为 令，则， 而 而 此即为旋转面的矢量式参数方程，为参数。 其坐标式参数方程为： 4.4椭球面 1、做出平面与椭球面的交线的图形。 解：平面与椭球面的交线为： ，即 ——椭 图形为 2、设动点与点的距离等于从这点到平面的距离的一半，试求此动点的轨迹。 解：设动点，要求的轨迹为，则 即： 此即为的方程。 3、由椭球面的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为，设定方向的方向余弦分别为，试证： 证明：沿定方向到曲面上一点，该点的坐标为 该点在曲面上 即 4、由椭球面的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面，设，试证： 证明：利用上题结果，有 其中是的方向余弦。 若将所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而，同理，， 所以， 即： 5、一直线分别交坐标面于三点，当直线变动时，直线上的三定点也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点，它与三点的距离分别为，当直线按照这样的规定（即保持分别在三坐标面上）变动，试求点的轨迹。 解：设，则知： 又设， 又在的连线上，（4） 从（1）——（4）消去，得到 此为点的轨迹方程。 6、已知椭球面，试求过轴并与曲面的交线是圆的平面。 解：设要求的平面为： 它与椭球面的交线为： （*） 若（*）为圆，因（*）以原点为对称，故圆心在原点，所以圆的半径为，从而交线上的点都在球面：上 即有： 亦即： 即： 满足要求的平面方程为： 4.5双曲面 1、画出以下双曲面的图形： （1）； （2） 解：图形如下： 2、给定方程 试问当取异于的各种数值时，它表示怎样的曲面？ 解：对方程 （*） 1、当时，（*）不表示任何实图形； 2、当时，（*）表示双叶双曲面； 3、当时，（*）表示单叶双曲面； 4、当时，（*）表示椭球面。 3、已知单叶双曲面，试求平面的方程，使这平面平行于面（或面）且与曲面的交线是一对相交直线。 解：设所求的平面为，则该平面与单叶双曲面的交线为： （*） 亦即 为使交线（*）为二相交直线，则须：，即 所以，要求的平面方程为： 同理，平行于的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为： 4、设动点与的距离等于这点到平面的距离的两倍，试求这动点的轨迹。 解：设动点，所求轨迹为，则 亦即： 此为的轨迹方程。 5、试求单叶双曲面与平面的交线对平面的射影柱面。 解：题中所设的交线为： 从此方程中消去，得到： 此即为要求的射影柱面方程。 6、设直线与为互不垂直的两条异面直线，是与的公垂线的中点，两点分别在直线，上滑动，且，试证直线的轨迹是一个单叶双曲面。 证明：以，的公垂线作为轴，作为坐标原点，再令轴与，的夹角均为，公垂线的长为，若设，则，的方程分别为： 令，，则有： 又，所以： 亦即 （2） 又设为上任一点，则 (3) 从（1）——（3）中消去，得： 即： (4) 不垂直， （4）表示单叶双曲面，即的轨迹是一单叶双曲面。 7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为： 与 解：对方程： 消去参数，有： 此即为单叶双曲面； 又对方程： 消去参数，有： 此即为双叶双曲面方程。 4.6抛物面 1、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为面与面，且过点和，求这个椭圆抛物面的方程。 解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为： 令确定与 和均在该曲面上。 有： 从而 所以要求的椭圆抛物面的方程为： 即： 2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程： （1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹； （2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为，夹角为。 解：（1）取定平面为面，过定点且垂直于面的直线作为轴，则定点的坐标设为，而定平面即为，设比值常数为，并令所求的轨迹为，则 点 即 此为的方程。 （2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为： 与 设所求的轨迹为，则 即： 经同解化简得： 此即所要求的轨迹方程。 3、画出下列方程所代表的图形： （1）；（2）；（3） 4、画出下列各组曲面所围成的立体的图形： （1） （2） （3） （4） 解：略。 5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成： 与 式中的为参数。 解：对方程 消去参数得： 这正是椭圆抛物面的方程。 对方程 消去参数得： 这正是双曲抛物面的方程。 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线 1、 求下列直纹面的直母线族方程： （1） （2） 解：（1）从原方程得： 即： 亦即： 为了避免取极限，将上方程写成： （1） 若将原方程变形为：，则可得到： （2） 若令，，则（2）便是（1） 原曲面的直母线族是（1），其中不全为零。 （2）原方程变形为： 亦即： （1） 由 得： （2） （1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。 2、 求下列直线族所成的曲面（式中的为参数） （1）； （2） 解：（1）原方程等价于 从此式中消去，得： 此即为直母线（1）所形成的曲面。 （2）从原方程中消去得： 此即为（2）的直母线族所形成的曲面。 3、在双曲抛物面上，求平行于平面的直母线。 解：双曲抛物面的两族直母线为： 及 第一族直母线的方向矢量为： 第二族直母线的方向矢量为： 据题意，要求的直母线应满足： 要求的直母线方程为： 及 4、试证单叶双曲面的任意一条直母线在面上的射影，一定是其腰圆的切线。 证明：单叶双曲面的腰圆为 两直母线为： 它在面内的射影为 ： （2） 将（2）的第一式代入（1）的第一式得： 即： 上述方程的判别式为： （2）与（1）相比，证毕。 5、求与两直线与相交，而且与平面平行的直线的轨迹。 解：设动直线与二已知直线分别交于，则 ， 又动直线与平面平行，所以， 对动直线上任一点，有： 从（1）——（4）消去，得到： 6、求与下列三条直线 ， 与 都共面的直线所构成的曲面。 解：动直线不可能同时平行于直线及直线 不妨设其与第一条直线交于 注与第二条直线的平面为： 过与直线的平面为 动直线的方程为： 从上式中消去参数，得： 此为所要求的轨迹方程。 7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。 证明：单叶双曲面的一族直母线为： 过该族中一条直母线的平面为： 即： （1） 另一族直母线为： 过该族中一条直母线的平面为： 即 （2） 对照（1）、（2）得，只要令，得（2）便是（1）了 亦即过族每一直母线的任一平面都经过族中的一条直母线， 同理，对族的直母线也有类似性质。 对双曲抛物面： 其族直母线为： （*） 取其中的一条（即取定），显然平面通过直母线（*），但该平面不通过族直母线中的任何一条，这是因为： 族直母线 的方向矢量为 而 平面不能通过族中的任何直母线。 8、试求单叶双曲面上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。 解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条母线和一条母线， 所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为： 将两方程化为标准式，得： 由此求出二直线的交点坐标为： 又二直线垂直， 即 又交点在单叶双曲面上，所以： 故交点的轨迹为 9、试证明双曲抛物面上的一两条直母线直交时，其交点必在一双曲线上。 证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条族直母线，也仅有一条族直母线，所以同族的直母线不能相交。 设两相交的直母线为： 其方向矢量为 与 其方向矢量为 由二直线直交，所以： （*） 二直母线的交点坐标为： 但由（*）式有： （* *） （* *）为一双曲线方程，交点在一双曲线上。 10、已知空间两异面直线间的距离为，夹角为，过这两条直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。 解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为轴，公垂线的中点为原点，让轴与二异面直线夹角相等，则二直线方程为： 与 过这两直线的平面为： 二平面的交线为： （1） （2） 当二异面直线不直交时，，从（1）（2）中消去，得： ——单叶双曲面 此为要求的轨迹方程。 当二异面直线直交时，则，此时，（1）（2）变为： 当时，为 它的轨迹为平面。 当时，为 它的轨迹为平面 从而当二异面直交时，动直线（1）的轨迹为二平面： 与