解析几何经典编辑大题汇编.doc

-` 解析几何解答题选 1:如图,为双曲线的右焦点,为双曲线在第一象限内的一点,为左准线上一点,为坐标原点, （Ⅰ）推导双曲线的离心率与的关系式； （Ⅱ）当时, 经过点且斜率为的 直线交双曲线于两点, 交轴于点, 且 ，求双曲线的方程. 【答案】解：(Ⅰ) 为平行四边形. 设是双曲线的右准线,且与交于点,, , 即………………6分 （Ⅱ）当时,得 所以可设双曲线的方程是,…8分 设直线的方程是与双曲线方程联立得: 由得. ①[来源:学科网ZXXK] 由已知，，因为， 所以可得②…………10分 由①②得， 消去得符合， 所以双曲线的方程是………………14分 2.已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且. （1）求椭圆方程； （2）求的取值范围． 【答案】解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，∴a＝1，b＝c＝ 故C的方程为：y2＋＝1 （2）当直线斜率不存在时： …………5分 当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0………6分 Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） …7分 x1＋x2＝， x1x2＝　 ………8分 ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴ 消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0………9分 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝， ………10分 ∴k2＝0，∴或 把k2＝代入（*）得或 ∴或 …………11分 综上m的取值范围为或 ………………12分 3.已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是 （1）求椭圆E的方程； （2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且 故所求方程为即………3分 （2）假设存在点M符合题意，设AB：代入得： ………………4分 则 ………6分 分 要使上式与K无关，则有，解得，存在点满足题意。 3.已知曲线上的动点到点的距离比它到直线的距离大. （I）求曲线的方程； （II）过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值，并求出此定值. 【答案】解:（I）设动点，动点到点的距离比它到直线的距离 多。即动点到点的距离等于它到直线的距离 A B m P F B C D 则 两边平方 化简可得： （II）如图,作 设,的横坐标分别为 则 解得 同理 解得 记与的交点为 故 4.如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点A，B。 （1）若|AB|=8，求抛物线的方程； （2）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）。 【答案】解：设（1）由条件知直线．……1分 由消去y，得…………2分 由题意，判别式（不写，不扣分） 由韦达定理，．……………………………3分 由抛物线的定义， 从而所求抛物的方程为．…………………6分 （2），易得．……………………………7分 设。将代入直线PA的方程 得．……………………………9分[来源:学科网ZXXK] 同理直线PB的方程为．………………10分 将代入直线PA，PB的方程得 ．……………………………12分 5.已知点分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为 （1）求椭圆的方程。 （2）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。 【答案解：⑴由题意可知：a+c= +1 ，2cb=1,有∵a2=b2+c2[来源:学科网ZXXK] ∴a2=2, b2=1, c2=1 ∴所求椭圆的方程为： ⑵设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M(,0)[来源:学科网ZXXK] 联立 则 ∵ 6.已知点分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为. （I）求椭圆的方程。 （II）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。 【答案解：(I)由题意可知：a+c= +1 ，2cb=1,有∵a2=b2+c2 ∴a2=2, b2=1, c2=1 ∴所求椭圆的方程为： …………….4分 （II）设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M(,0) 联立 则 7.已知函数的定义域为，解关于的不等式 . 【答案】 解：因为函数的定义域为， 所以恒成立…………………………………………………2分 当时，恒成立,满足题意， …………………………………………3分 当时，为满足 必有且，解得， 综上可知：的取值范围是 ……………………………………………6分 原不等式可化为 当时，不等式的解为：，或……………………………8分 当时， 不等式的解为： …………………………………………9分 当 时，不等式的解为：，或 …………………………11分 综上，当时，不等式的解集为：或 当时， 不等式的解集为： 当时，不等式的解集为：或………………………12分 8.设椭圆E：的上焦点是，过点P（3，4）和作直线P交椭圆于A、B两点，已知A(). (1) 求椭圆E的方程； (2) 设点C是椭圆E上到直线P距离最远的点，求C点的坐标。 【答案】解：（1）由A（）和P（3，4）可求直线的方程为：y=x+1……………1分 令x=0，得y=1,即c=1 ……………2分 椭圆E的焦点为、，由椭圆的定义可知 …………………4分 ∴ ……………5分 椭圆E的方程为 …………6分 B． 设与直线平行的直线: …………………7分 ，消去y得 …………… 8分 ，即 …………9分 要使点C到直线的距离最远，则直线L要在直线的下方，所以 …10分 此时直线与椭圆E的切点坐标为，故C（为所求。 ……12分 9.已知抛物线的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限。 （1）求证：以线段FA为直径为圆与Y轴相切； （2）若，求的值. 【答案】解：（1）由已知F（），设A（），则 圆心坐标为，圆心到y轴的距离为. …………………… 2分 圆的半径为， ……………………4分 ∴以线段FA为直径的圆与y轴相切。 …………………… 5分 （3） 设P（0，），B（），由，得. ……………………6分 . ……………… 7分 ∴① ② ③ …………………10分 ∵. 将③变形为，∴. ………………11分 将代入②，整理得 ………………12分 代入①得. ………………13分 即. ………………14分 10.已知在平面直角坐标系中，向量，△OFP的面积为，且 。 （1）设,求向量的夹角的取值范围； （2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且 取最小值时，求椭圆的方程。 【答案】解：（1）由 因为 [来源:学,科,网] （2）设 11.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为. （Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程. （Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点； （1）当为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程. （2）求证：为定值. 【答案】解：（Ⅰ），椭圆方程为……2分 准圆方程为。 …………3分 （Ⅱ）（1）因为准圆与轴正半轴的交点为， 设过点且与椭圆有一个公共点的直线为， 所以由消去，得. 因为椭圆与只有一个公共点， 所以，解得。 …………………………5分 所以方程为. …………………………6分 （2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为， 当方程为时，此时与准圆交于点， 此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或）， 即为（或），显然直线垂直； 同理可证方程为时，直线垂直. …………………………7分 ②当都有斜率时，设点，其中. 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为， 则消去，得. 由化简整理得：.…………………………8分 因为，所以有. 设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点， 所以满足上述方程， 所以，即垂直. …………………………10分 综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4. ………………………12分 12. 如图，椭圆C：焦点在轴上，左、右顶点分别为A1、A，上顶点为B．抛物线C1、C：分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线上一点P． ⑴求椭圆C及抛物线C1、C2的方程； ⑵若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点Q（，0），求的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）由题意，A（，0），B（0，），故抛物线C1的方程可设为，C2的方程为………… 1分 由 得………… 3分 所以椭圆C:，抛物线C1：抛物线C2：………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为 设直线方程为 由，整理得………… 6分 因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以 解得 ………… 7分 设M（）、N（），则 ……8分[来源:Z|xx|k.Com] 因为 所以 ………… 10分 因为，所以当时，取得最小值 其最小值等于………… 12分 13. 一条斜率为1的直线与离心率e=的椭圆C：交于P、Q两点，直线与y轴交于点R，且，求直线和椭圆C的方程； 【答案】∵e＝，∴＝，a2＝2b2，则椭圆方程为＋＝1，设l方程为：y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去y得3x2＋4mx＋2m2－2b2＝0， 故有Δ＝16m2－43(2m2－2b2)＝8(－m2＋3b2)＞0 ∴3b2＞m2(*) x1＋x2＝－m(1) x1x2＝(m2－b2)(2) 又＝－3得x1x2＋y1y2＝－3， 而y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2， 所以2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝－3⇒(m2－b2)－m2＋m2＝－3，∴3m2－4b2＝－9(3) 又R(0，m)，＝3，(－x1，m－y1)＝3(x2，y2－m) 从而－x1＝3x2(4) 由(1)(2)(4)得3m2＝b2(5) 由(3)(5)解得b2＝3，m＝1适合(*)， ∴所求直线l方程为y＝x＋1或y＝x－1；椭圆C的方程为＋＝1. 14．椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列． （1）求证：； （2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程． 【答案】．解：（1）由题设，得， 由椭圆定义， 所以，．………………………………………………………………………3分 设，，，：，代入椭圆的方程，整理得 ，（*）…………………………2分 则 ， 于是有， ……………………………………………………4分 化简，得，故，． ……………………………………………………1分 （2）由（1）有，方程（*）可化为 ………………1分 设中点为，则， 又，于是． ………………………………………………2分 由知为的中垂线，， 由，得，解得，， …………………………2分[来源:学科网ZXXK] 故，椭圆的方程为．…………………………………………………1分 15. 已知椭圆＞b＞的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）. （1）求椭圆的标准方程； （2）求m的取值范围. （3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值. 【答案】解：（1）依题意可得解得 从而所求椭圆方程为…………………4分 （2）直线的方程为 由可得 该方程的判别式△=＞0恒成立. 设则………………5分 可得 设线段PQ中点为N，则点N的坐标为………………6分 线段PQ的垂直平分线方程为 令，由题意………………………………………………7分 又，所以0＜＜…………………………………………………8分 （3）点M到直线的距离 于是 由可得代入上式，得 即＜＜.…………………………………………11分 设则[来源:学科网] 而＞00＜m＜＜0＜m＜ 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，有最大值……………………13分 所以当时，△MPQ的面积S有最大值…………………14分 16.已知为双曲线的左准线与x轴的交点，点，若满足的点在双曲线上，则该双曲线的离心率为 . .(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学届高三联考)在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为 设M是抛物线上的动点，则的最大值为 . 【解析】焦点，设，则，，设到准线的距离等于，则 ===== ==．令，，则[来源:学科网] ==≤=（当且仅当时，等号成立）． 故的最大值为 17． 已知双曲线的离心率为2，则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为 。 18.若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则 | PQ |－| PR | 的最大值是 10 ． 19.设上的两点， 满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值； （3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 解析：本例（1）通过，，及之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。 答案：（1） 椭圆的方程为 （2）设AB的方程为 由 由已知 2 （3）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1 当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b 所以三角形的面积为定值. 20.如图，F为双曲线C：的右焦点 P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点 已知四边形为平行四边形， [来源:学科网ZXXK] （Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式； （Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程 分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。 解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又， （Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：， 又，由得：，解得，则，所以为所求 21.已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点．（Ⅰ）若，求直线的方程； （Ⅱ）若与的面积相等，求直线的斜率． 解：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，因为 直线过点，可设直线：． 因为 两点在圆上，所以 ，因为 ，所以 所以 所以 到直线的距离等于．所以 ， 得，所以 直线的方程为或． （Ⅱ）因为与的面积相等，所以， 设 ，，所以 ，． 所以 即　　（*）； 因为　，两点在圆上，所以 把（*）代入，得 ， 所以 所以 直线的斜率， 即． 22.已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围. 解：（Ⅰ）由题意得，得. …2分结合，解得，.…3分 所以，椭圆的方程为…4分 （Ⅱ）由 得. 设.所以 ，……6分依题意，，易知，四边形为平行四边形， 所以，…7分因为，， 所以. …8分 即 ，…9分将其整理为 .10分 因为，所以，.11分所以，即. 23.已知直线，椭圆E：．（Ⅰ）若不论k取何值，直线与椭圆E恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数式；（Ⅱ）当时，直线与椭圆E相交于A、B两点，与y轴交于点M，若,求椭圆E方程． 解：(Ⅰ)∵直线恒过定点M(0，1)，且直线与椭圆E恒有公共点，∴点M(0，1)在椭圆E上或其内部，得，解得.(联立方程组，用判别式法也可)当时，椭圆的焦点在轴上，；当时，椭圆的焦点在轴上，.∴ (Ⅱ)由，消去得. 设，，则①，②. ∵M(0，1)，∴由得 ③. 由①③得 ④. 将③④代入②得， ，解得(不合题意，舍去). ∴椭圆E的方程为. 24.椭圆的方程为，斜率为1的直线与椭圆交于两点.Ⅰ）若椭圆的离心率，直线过点，且，求椭圆的方程；（Ⅱ）直线过椭圆的右焦点F，设向量，若点在椭圆上，求 的取值范围. 解：（Ⅰ）∵， ∴. ∴. ∵ ∴ . ∴椭圆的方程为. …… 5分 （Ⅱ）得 ，. =（，）, . ∵点在椭圆上 ，将点坐标代入椭圆方程中得. ∵ , ∴ ,. 25．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为， ∵直线与圆相切，∴，即， 又，即，，解得，， 所以椭圆方程为． （Ⅱ）设， ，，则，即， 则，，即， ∴为定值． （Ⅲ）设，其中． 由已知及点在椭圆上可得， 整理得，其中． ①当时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段； ②当时，方程变形为，其中， 当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分； 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分； 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆． 26.已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 在直线上。（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。 【解析】（1）又由点M在上，得 故， 从而 …2分所以椭圆方程为 或 4分 （2）以OM为直径的圆的方程为即 其圆心为,半径……6分因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2所以圆心到直线的距离 …8分所以，解得所求圆的方程为…10分 （3）方法一：由平几知：直线OM：，直线FN：…12分由得 所以线段ON的长为定值。……14分 方法二、设，则 ………12分 又 所以，为定值 …14分 27.椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 解：（1）椭圆的标准方程为 （2）设，得: ， 以为直径的圆过椭圆的右顶点，， ， ，，且均满足， 当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾 当时，的方程为，则直线过定点 直线过定点，定点坐标为 28.已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为 （I）判断直线与椭圆E交点的个数； （II）直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。 解：（1）由消去并整理得 ，…………4分 故直线与椭圆只有一个交点…………5分 （2）直线的方程为即 设关于直线的对称点的坐标为 则 解得 直线的斜率为 从而直线的方程为 即从而直线恒过定点 29.已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．⑴求、的值；⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围． 解：⑴依题意，：……1分，不妨设设、（） 由得，……3分，所以， 解得，． ⑵由消去得……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或……9分，解得或……10分。动圆与直线没有公共点当且仅当，即……12分。解或……13分，得的取值范围为 30、如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线. （I）求曲线的方程； （II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围. 【解】（Ⅰ）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分 又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. ……………5分 ∴曲线E的方程为………6分 （Ⅱ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为 得 设……………8分 ， ………10分 又当直线GH斜率不存在，方程为 31．已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且满足，直线与圆相切，与椭圆相交于两点．（I）求椭圆的方程； （II）证明为定值（为坐标原点）． 解：（I）由题意，， 解三角形得，由椭圆定义得， 从而又，则，所以椭圆的方程为 （6分） （II）设交点，联立消去得 由韦达定理得 （9分）又直线与圆相切， 则有 从而 所以，即为定值． 32．已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：；（3） 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由． 解：（1）设椭圆的方程为 ，半焦距为.由已知条件，得， ∴ 解得 .所以椭圆的方程为：.……分 （2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直线的方程为 ，， 由 消去并整理得 ， ∴ .…分∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上、两点的切线方程分别是， ，即 ， ，解得两条切线、的交点的坐标为，即， ∴∴. （3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.令得，， 解得或 ……10分 故不妨取，即直线过点. 综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、 （、为切点），能使直线过点. 此时，两切线的方程分别为和. 抛物线与切线、所围成图形的面积为 . 33、已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且（I）求椭圆C1的方程； （II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。 解：（I）设由抛物线定义， …………3分， M点C1上， 舍去. 椭圆C1的方程为…………6分 （II）为菱形，，设直线AC的方程为 在椭圆C1上，设，则 …………10分 的中点坐标为，由ABCD为菱形可知，点在直线BD：上， ∴直线AC的方程为 34.已知椭圆的离心率为e=，且过点（）（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m(k≠0，m＞0)与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程. .解：（Ⅰ）∵e= ∴c= a ∴b2=a2-c2= a2 故所求椭圆为：又椭圆过点（） ∴ ∴a2 =4. b2 =1 ∴ (Ⅱ)设P（x1,y1）, Q（x2,y2）,PQ的中点为（x0,y0） 将直线y=kx+m与联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0 ① 又x0= 又点［-1，0）不在椭圆OE上，依题意有整理得3km=4k2+1 ②… 由①②可得k2＞，∵m＞0, ∴k＞0,∴k＞…分）设O到直线l的距离为d，则 S△OPQ = =…分） 当的面积取最大值1，此时k= ∴直线方程为y= O F x y P 第35题 35.已知动圆过点且与直线相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴. 解：（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为 证明：设， ∵， ∴ ，∴ 的斜率分别为，故的方程为，的方程为即，两式相减，得，又， ∴ 的横坐标相等，于是 36．已知定点和直线，过定点F与直线相切的动圆圆心为点C。 （1）求动点C的轨迹方程； （2）过点F在直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值。 解：（1）由题设点C到点F的距离等于它到的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线 ∴所求轨迹的方程为 （2）由题意直线的方程为，与抛物线方程联立消去 记 ……6分 因为直线PQ的斜率，易得点R的坐标为 ……8分 ，当且仅当时取到等号。…11分 的最小值为16 37．已知椭圆的长轴长为4。 （1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线相切，求椭圆焦点坐标； （2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为，当时，求椭圆的方程。 解：（1）由……2分 （2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称 不妨设：M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有两式相减得： 由题意它们的斜率存在，则 故所求椭圆的方程为 38. 已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上的一点，且在轴的上方，是上一点，若，（其中为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆离心率的最大值;(Ⅱ)如果离心率取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知，点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程. 解:(Ⅰ)由题意知则有与相似所以 设,则有,解得 所以根据椭圆的定义得: ,即所以 显然在上是单调减函数当时,取最大值 所以椭圆离心率的最大值是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,解得 所以此时椭圆的方程为,题意知直线的斜率存在,故设其斜率为, 则其方程为设,由于,所以有……12分又是椭圆上的一点,则解得所以直线的方程为或 39.已知椭圆C1的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率为，P为椭圆上一动点。F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且面积的最大值为 （1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆短轴的上端点为A，M为动点，且成等差数列，求动点M的轨迹C2的方程；（3）作C2的切线交C1于O、R两点，求证： 解：（1）设椭圆C1的方程为， 2分 由椭圆的几何笥质知，当点P为椭圆的短轴端点时，的面积最大。 ，由 解得 故椭圆C1的方程为 5分 （2）由（1）知A（0，1），， 设则 7分 整理得M的轨迹C2的方程为 （3）①当切线的斜率存在时，设，代入椭圆方程得： ， 设，则 11分 ，则 又与C2相切，即，故 13分 ②当切线的斜率不存在时，直线或此时综合①②得， 14分 40．已知可行域的外接圆C与x轴交于点A1、A2，椭圆C1以线段A1A2为长轴，离心率． （1）求圆C及椭圆C1的方程； （2）设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明． 解：（1）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形， ∵，∴为直角三角形，………2分 ∴外接圆C以原点O为圆心，线段A1A2为直径，故其方程为． ∵2a=4，∴a=2．又，∴，可得．∴所求椭圆C1的方程是．6分 （2）直线PQ与圆C相切．设，则．当时，，∴； 当时，∴直线OQ的方程为．……8分 因此，点Q的坐标为． ∵ ∴当时，，；当时候， ，∴． 综上，当时候，，故直线PQ始终与圆C相切． 41． 已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由。 解：（1）设则由由得即所以c=1 又因为……3分因此所求椭圆的方程为： （2）动直线的方程为：由得 设则 假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则 由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1。 因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1） 这时，点M到AB的距离 设则得 所以 当且仅当时，上式等号成立。因此，面积的最大值是 42．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形。 (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值?若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由。 解：(Ⅰ)由题意知抛物线的焦点…1分 又椭圆的短轴的两个端点与构成正三角形 椭圆的方程为……3分 (Ⅱ)当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为： ， 则 …7分 当 即时为定值…10分当直线的斜率不存在时， 由可得 综上所述当时，为定值………12分 43.已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且．[来（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围． 解（1）∵过（0，0）则 ∴∠OCA=90， 即 又∵[来 将C点坐标代入得 解得 c2=8，b2=4 ∴椭圆m： （2）由条件D（0，－2） ∵M（0，t） 1当k=0时，显然－20 可得 ① 设 则 ， ∴ 由 ∴② [来∴t>1 将①代入②得1

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