2018版高中数学人教B版必修一学案：第二单元 2.1.4　函数的奇偶性 .docx

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1、21.4函数的奇偶性学习目标1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题知识点一函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？梳理奇、偶函数的概念偶函数奇函数定义条件对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有xDf(x)_f(x)_结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数知识点二奇(偶)函数的定义域特征思考如果一个函数f(x)的定义域是(1,1，那么这个函数f(x)还具有奇偶性吗？梳理在奇函数和偶函数的定义中，都要求xD，xD，这就是说，一个函数不

2、论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于_对称知识点三函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？梳理奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以_为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以_为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以_为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于_对称，则这个函数是偶函数类型一判断函数的奇偶性例1(1)证明f(x)既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)(x1

3、)(x1)是偶函数；(3)证明f(x)既是奇函数又是偶函数反思与感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则x也一定属于定义域跟踪训练1(1)证明f(x)(x2) 既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)x|x|是奇函数例2判断函数f(x)的奇偶性反思与感悟分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(x)f(x)(或f(x)，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(x)f(x)(或f(x)跟踪训练2证明f(x)是奇函数例3f(x)，g(x)

4、是定义在R上的奇函数，试判断yf(x)g(x)，yf(x)g(x)，yfg(x)的奇偶性反思与感悟利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入x，看总的结果跟踪训练3设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数类型二奇偶性的应用例4定义在R上的奇函数f(x)在0，)上的图象如图所示(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)0.引申探究把例4中的“奇函数”改为“偶函

5、数”，重做该题反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性跟踪训练4已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示(1)画出在区间5,0上的图象；(2)写出使f(x)0时，f(x)x1，求当x0时，f(x)2xx2.求yf(x)的解析式1下列函数为偶函数的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2x2函数f(x)x(1x1)的奇偶性是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数3已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)等于()A1 B1 C5 D54若函数f(x

6、)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值是()A1 B2 C3 D45已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)x1，则x0时，f(x)_.1两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数2两个性质：函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数它的图象关于y轴对称3证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了答案精析问题导学知识点一思考1因为很多函数图象我们不知道，即使画

7、出来，细微之处是否对称也难以精确判断思考2好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作梳理f(x)f(x)知识点二思考由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必须也在定义域内，才能进一步判断f(x)与f(x)的关系而本问题中，1(1,1，1(1,1，f(1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了所以该函数既非奇函数，也非偶函数梳理原点知识点三思考关于y轴对称，关于原点对称梳理(1)坐标原点坐标原点(2)y轴y轴题型探究例1证明(1)因为它

8、的定义域为x|xR且x1，对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，故f(x)既非奇函数又非偶函数(2)函数的定义域为R，因函数f(x)(x1)(x1)x21，又因f(x)(x)21x21f(x)，所以函数为偶函数(3)定义域为1,1，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)0，所以f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数又f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数即该函数既是奇函数又是偶函数跟踪训练1证明(1)由0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)函数的定义域为R，因f(x)(x)|x|x|x|f(x)，所以函数为奇函数例2解由题意可知f(x)的定义域为(6，1

9、1,6)，关于原点对称，当x(6，1时，x1,6)，所以f(x)(x5)24(x5)24f(x)；当x1,6)时，x(6，1，所以f(x)(x5)24(x5)24f(x)综上可知对于任意的x(6，11,6)，都有f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数跟踪训练2证明定义域为x|x0若x0，f(x)x2，f(x)x2，f(x)f(x)；若x0，则x0即图象上横坐标、纵坐标同号结合图象可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2)引申探究解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2)跟踪训练4解(1)如图，在0,5上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D，再用光滑曲线连接即得(2)由(1)图可知，当且仅当x(2,0)(2,5)时，f(x)0.使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(2,5)例5解设x0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x)x1，f(x)x1.当x0时，f(x)x1.跟踪训练5解设x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)2(x)(x)22xx2.因为yf(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.所以f(x)当堂训练1D2.C3.D4.B5.x1