2018版高中数学人教B版必修二学案：2.4　空间直角坐标系 .doc

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1、2.4空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点的距离公式.知识链接在平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标为，两点的距离为.预习导引1.空间直角坐标系及相关概念为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合.这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点，每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐

2、标平面.2.空间中点的坐标过点P作一个平面平行于yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的x坐标.过点P作一个平面平行于xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的y坐标.过点P作一个平面平行于坐标xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标.这样对空间的一点P，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.3.三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分都称为一个卦限，在每个卦限内，点的坐标各分

3、量的符号是不变的.4.空间两点的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离d(A，B)|AB|.特别地，空间任意一点P(x，y，z)与原点的距离d(O，P)|OP|.要点一求空间中点的坐标例1建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标.解以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，AO2，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，1,3).规律方法(1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下

4、原则：让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的投影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.跟踪演练1画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)求棱C1C中点的坐标；(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标.解建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1)各顶点坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，

5、D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1).(2)棱CC1的中点为M.(3)面AA1B1B对角线交点为N.要点二求空间中对称点的坐标例2在空间直角坐标系中，点P(2,1,4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标.解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4).(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2,1，4)

6、.(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12).规律方法任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(x，y，z)；关于x轴对称的点是P2(x，y，z)；关于y轴对称的点是P3(x，y，z)；关于z轴对称的点是P4(x，y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，z)；关于yOz平面对称的点是P6(x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，y，z).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.跟踪演练2求点A(1,2，1)关于坐标平面xOy

7、及x轴的对称点的坐标.解如图所示，过点A作AM坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AMCM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1).过点A作ANx轴于点N并延长到点B，使ANNB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，2,1).点A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)；点A(1,2，1)关于x轴对称的点为B(1，2,1).要点三空间中两点之间的距离例3已知ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5).(1)求ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度.解(1)由空间两点距离公式得|AB|3，|BC|，|AC|，ABC中最

8、短边是|BC|，其长度为.(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.AC边上中线的长度为.规律方法解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.跟踪演练3已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，1).(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|MQ|.解(1)|PQ|.(2)设M(0,0，z)，由|MP|MQ|，得1202(1z)24232(1z)2，z6.M(0,0，6).1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A.y轴上 B.xOy平面上C.xOz平面上 D.第一象限内答案C解析点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在

9、xOz平面上.2.在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，4，5)两点的位置关系是()A.关于x轴对称 B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称 D.以上都不对答案A解析点P(3,4,5)与Q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称.3.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|2，则实数x的值是()A.3或4 B.6或2C.3或4 D.6或2答案D解析由题意得2解得x2或x6.4.已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，则线段AB中点的坐标为_.答案(4,0，1)解析设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x04，y00，z01，中点坐标为(4,0，1).5.在空间直角坐标系中，点A(1,0,1)与点B(2,1，1)间的距离为_.答案解析|AB|.1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想.