2018版高中数学人教B版必修一学案：第三单元 疑难规律方法 .docx

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1、1指数与指数运算疑点透析一、如何理解n次方根的概念若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x吗？这个回答是不完整的正确表示应如下：x主要性质有：当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|二、如何理解分数指数幂的意义分数指数幂不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法规定(a0，m，nN，且n1)，(a0，m，nN，且n1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定三、分数指数幂和整数指数幂有什么异同相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理指数幂，都可以利用有

2、理指数幂的运算性质进行运算其运算形式为arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，式中a0，b0，r、sQ，对于这三条性质，不要求证明，但需记准不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式四、指数幂的运算在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数例1 化简解原式例2 求的值解原式(3)333.例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.2解读指数函数的四个难点在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握难点之一：概念指

3、数函数yax有三个特征：指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；底数：底数为常数，大于0且不等于1；系数：系数只能是1.例1 给出五个函数：y26x；y(6)x；yx；yxx；y22x1.以上是指数函数的个数是_分析根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考查，判断是否满足指数函数的定义解析对于，系数不是1；对于，底数小于0；对于，底数x不是常数；对于，指数是x的一次函数，故、都不是指数函数正确的是，只有符合指数函数的定义答案1难点之二：讨论指数函数yax(a0，且a1)，当a1时，是增函数；当0a1时，是减函数例2 函数yax(a0，且a1)在1,2上的最大值比最小值大，求a的值分析

4、遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求出a.解当a1时，函数yax在1,2上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2a，即a2，所以a；当0a1时，函数yax在1,2上的最大值是a，最小值是a2，依题意得aa2，即a2，所以a.综上可知，a或a.难点之三：复合指数函数yax(a0，且a1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则例3 求函数y()的单调递减区间分析指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是x还是x的函数此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解解由x2x20知，函数的定

5、义域是1,2令ux2x2(x)2，则y()，当x1，时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的递减区间为1，难点之四：图象指数函数yax(a0，且a1)的图象特征是：当a1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排当0a1时恰好相反例4 利用指数函数的图象比较0.70.3与0.40.3的大小分析可在同一坐标系中作出y0.7x及y0.4x的图象，从图象中得出结果解如图所示，作出y0.7x、y0.4x及x0.3的图象，易知0.70.30.40.3.评注图象应记忆准确，在第二象限中靠近y轴的函数应是y0.4x，而不是y0.7x，这一点应注意3对数与对数运算学习讲解1对数的

6、定义一般地，如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数解读：(1)由对数定义可以知道，当a0，且a1时，axNxlogaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a、N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，alogaNN，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式2对数的性质(1)零和负数没有对数由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以axN(a0，且a1)中N总是正数；(2)1的对数为0.由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga10；(3)底数的对数等于1.由于a1

7、a对于任何非零实数都成立，所以logaa1.3对数的运算性质若a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)logalogaMlogaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)logaMnnlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式：(1)log33；(2)log2325；(3)63216；(4)1030.001.解(1)33；(2)2532；(3)log62163；(4)log100.0013

8、，也可写成lg 0.0013.评注本题考查了对数式与指数式的互化解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数例2 求下列各式的值：(1)3log72log792log7；(2)lg 25lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.解(1)原式log723log79log7()2log7log710；(2)原式2lg 52lg 2lg 5(lg 52lg 2)(lg 2)22(lg 5lg 2)(lg 5)22lg 5lg 2(lg 2)22(lg 5lg 2)23.评注利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘

9、、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性4换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助一、换底公式及证明换底公式：logbN.证明设logbNx，则bxN.两边均取以a为底的对数，得logabxlogaN，xlogablogaN.x，即logbN.二、换底公式的应用举例1乘积型例1 (1)计算：log89log2732；(2)求证：logablogbclogcdlogad.分析先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决解(1)换为常用对数，得l

10、og89log2732.(2)由换底公式，得logablogbclogcdlogad.评注此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决2知值求值型例2 已知log1227a，求log616的值分析本题可选择以3为底进行求解解log1227a，解得log32.故log616.评注这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决3综合型例3 设A，B，试比较A与B的大小分析本题可选择以19及为底进行解题解A换成以19为底，B换成以为底，则有Alog1952log1933log192log193602，Blog2log5log10log22.故AB.评注一般也有倒数关系

11、式成立，即logablogba1，logab.5精析对数函数一、对数函数的概念函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，)由对数的定义容易知道对数函数ylogax(a0，且a1)是指数函数yax(a0，且a1)的反函数在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数二、对数函数的图象和性质1对数函数性质的记忆与运用的注意事项(1)数形结合利用图象记忆性质x1是“分水岭”；(2)函数的单调性决定于底数a大于1还是大于0小于1；(3)指数函数yax与对数函数ylogax(其中a0，且a1

12、)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有密切的联系又有本质的区别2对数函数图象分布规律如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x1的右边区域，在x轴上方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越大，且底数均大于1；在x轴下方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间图中的对数函数的底数a，b，c，d的大小关系是0ab1cd.在具体解题时，还可利用特殊值法例1 函数ylog(x1)(4x)的定义域是_解析由可得所以函数的定义域是x|1x4，且x2答案x|1x4，且x2评注函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且

13、不等于1.例2 函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的图象如图所示，则a、b、c、d与正整数1的大小顺序是()A1dcab Bcd1abCcd1ba Ddc1ab解析作出直线y1，可知其与对数函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a、b、c、d，于是cd1ab.答案B评注利用特殊值的方法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速的解决6对数函数中化难为易三策略对数函数是最重要的一类初等函数，解对数函数问题时常因方法不当或没有充分挖掘隐含条件而导致错误这主要是因为对数函数的制约条件复杂，参变量的潜在

14、约束比较隐晦，因此在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废下面从三个方面谈谈对数函数学习中化难为易的求解策略，希望能对同学们的学习有所帮助一、数形结合策略例1 若不等式2xlogax0在x(0，)时恒成立，求实数a的取值范围解要使不等式2xlogax在x(0，)时恒成立，即函数ylogax的图象在(0，)内恒在函数y2x的图象上方，如图所示而y2x的图象过点，即需loga ，显然这里0a1，则函数ylogax递减又因为loga loga a，所以a，即a().故所求a的取值范围为评注数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识

15、、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易二、合理换元策略例2 设ylog a2x2(ab)xb2x1，a，b(0，)，求使y为负值的x的取值范围解01，y0，由对数函数的性质知a2x2(ab)xb2x11，即a2x2(ab)xb2x0.把式两边同时除以b2x，得2x2x10，令t，则式可化为t2x2tx10，解得tx1或tx1(舍去)，再给两边取以t为底的对数，但需分t1，t1,0t1三种情况进行讨论当t1，即ab0时，xlog (1)；当t1，即ab0时，xR；当0t1，即0ab时，xlog (1)评注对某些对数函数问题，巧妙地进行变量代换，可使问题转化为一次或二次函数

16、等常规函数问题来解，往往能化难为易三、分离参数策略例3 设f(x)lg，其中aR，n是任意给定的自然数，且n2，如果f(x)在(，1上有意义，求a的取值范围解由f(x)有意义，得12x(n1)xnxa0，x(，1，n2，把上式看作关于a的不等式，解得a，令g(x)，y()x(m1,2，n1)在(，1上是增函数，g(x)在(，1上也是增函数，故有g(x)g(1)，即g(x)max，故a，a的取值范围是.评注有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按固有的思维习惯，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境如果打破思维定势，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突显出来，常常能收

17、到出人意料的效果当一个题目中有多个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步减少参数，使问题获解7巧解指数、对数函数综合题指数函数yax和对数函数ylogax互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0a1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指、对函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题一、共享底数对数式与指数式互化，其底数一致，即logaNb，abN.利用它可以解决指、对数方程及互化等问题例1 方程log3(123x)2x1的解x_.解析将对数式化为指数式，得32x112 3x，即3

18、(3x)223x10，得3x，故x1.答案1二、亮出底数在有些指数、对数函数问题，特别是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决例2 当a1时，在同一坐标系中，能表示函数yax与ylogax的图象的是()解析由a1时，有01，则指数函数yax()x在R上是减函数，对数函数ylogax在(0，)上是增函数，故排除B、C、D.答案A三、变换底数对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数例3 若loga2logb20，则()A0ab1 B0ba1Cab1 Dba1解析化为同底，有0，从而log2blog2a0，即log2blog2alog21.对数函数y

19、log2x在(0，)上是增函数0ba1.答案B四、讨论底数当底数不定时，常分0a1与a1两种情况进行讨论例4 函数yax在0,1上的最大值与最小值的差为5，则a_.解析由题意知，a0，且a1.当a1时，有a1a05，即a6；当0a1时，有a0a15，即a4(舍去)综上知，a6.答案6五、消去底数有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化例5 设0x1，a0且a1.试比较loga(1x)与loga(1x)的大小解作商|log(1x)(1x)|，0x1，01x1,11x2,01x21，|log(1x)(1x)|log(

20、1x)(1x)log(1x)log(1x)log(1x)(1x)1.loga(1x)loga(1x).8三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例1 若(a1)(32a)，试求a的取值范围分析利用函数yx的图象及单调性解题，注意根据a1,32a是否在同一单调区间去分类解分类讨论或或解得a1或ax，求x的取值范围解x2与x有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数yx(其中2，)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x1.评注数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目

21、了然三、转化的数学思想例3 指出函数f(x)的单调区间，并比较f()与f()的大小解因为f(x)11(x2)2，所以其图象可由幂函数yx2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示所以f(x)在(2，)上是减函数，在(，2)上是增函数，且图象关于直线x2对称又因为2()2，(2)2，所以2f()评注通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题9函数应用问题“讲”与“练”讲解一求函数模型例1 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率

22、为每百元收t元时，则每年销售量将减少t(t0)万件请将税金收入表示为征收附加税的函数解设每年销售量为x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税为y250xtx.依题意，知x40t0，即t25.故所求的函数关系式为yt4t2100t(0t25)评注在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求练习1 将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少15个，求利润y与每个商品涨价x元之间的函数关系式答案y15x250x15 000讲解二函数模型的

23、选用例2 某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如下表所示：种植成本Q(万元)150100上市时间t(天)50150模拟函数可以选用二次函数Qa(t150)2b(a，b为常数，且a0)，或一次函数Qktm(k，m为常数，且k0)已知种植成本Q112.5万元时，上市时间t200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由分析根据题目给定的两组Q，t的值，可分别求出模拟函数中的未知量a，b，k，m.解设f(t)a(t150)2b(其中a，b为常数，a0)，g(t)ktm(k0)由已知，得所以解得所以f(t)(t150)

24、2100，g(t)t175.因为f(200)(200150)2100112.5，g(200)20017575，所以选用f(t)(t150)2100作为模拟函数较好评注本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化练习2 现有一组数据如下表所示：x123y1.53.517.5其中最能近似地表达这些数据规律的函数是()Ay2x1 Byx21Cy2x Dyx3x1答案C讲解三转化为熟悉的函数模型例3 有A，B两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M(万元)和N(万元)，它们与投入资金x(

25、万元)的关系有经验公式：Mx，N，今有4万元资金投入经营A，B两种商品为获得最大利润，应分别对A，B两种商品的资金投入多少万元？解设对A种产品投资x万元，则对B种产品投资(4x)万元于是获得总利润yx.由得0x4.令t(0x4)，则x4t2(0t2)所以y(4t2)t2(0t2)于是，当t时，ymax(万元)此时，x4t21.75(万元)，4x2.25(万元)故为了获得最大利润，对A种商品的资金投入为1.75万元，对B种商品的资金投入为2.25万元练习3 某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？并求出最大利润答案安排生产童装10天，生产西服20天，可获得最大利润，最大利润为124 000元