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\\ 行测常用数学公式 一、工程问题 工作量＝工作效率工作时间； 工作效率＝工作量工作时间； 工作时间＝工作量工作效率； 总工作量＝各分工作量之和； 注：在解决实际问题时，常设总工作量为1或最小公倍数 二、几何边端问题 （1）方阵问题： 1.实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2=（外圈人数4+1）2=N2 最外层人数＝（最外层每边人数－1）4 2.空心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2层数）2 ＝（最外层每边人数-层数）层数4=中空方阵的人数。 ★无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。 3.N边行每边有a人，则一共有N(a-1)人。 4.实心长方阵：总人数=MN 外圈人数=2M+2N-4 5.方阵：总人数=N2 N排N列外圈人数=4N-4 例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（10－3）34＝84（人） (2) 排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人 (3) 爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1）楼，从第N层爬到第M层要爬层。 三、植树问题 线型棵数=总长/间隔+1环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1 （1）单边线形植树：棵数＝总长间隔＋1；总长=（棵数-1）间隔 （2）单边环形植树：棵数＝总长间隔； 总长=棵数间隔 （3）单边楼间植树：棵数＝总长间隔－1；总长=（棵数+1）间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。 （5）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2NM＋1）段 四、行程问题 ⑴ 路程＝速度时间； 平均速度＝总路程总时间 平均速度型：平均速度＝ （2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）相遇时间 追及问题：追击距离=（大速度—小速度）追及时间 背离问题：背离距离=（大速度+小速度）背离时间 （3）流水行船型： 顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速。 顺流行程=顺流速度顺流时间=（船速+水速）顺流时间 逆流行程=逆流速度逆流时间=（船速—水速）逆流时间 （4）火车过桥型： 列车在桥上的时间＝（桥长－车长）列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）列车速度 列车速度=（桥长+车长）过桥时间 （5） 环形运动型： 反向运动：环形周长=（大速度+小速度）相遇时间 同向运动：环形周长=（大速度—小速度）相遇时间 （6） 扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数（1），（顺行用加、逆行用减） 顺行：速度之和时间=扶梯总长 逆行：速度之差时间=扶梯总长 （7） 队伍行进型： 对头队尾：队伍长度=（u人+u队）时间 队尾对头：队伍长度=（u人－u队）时间 （8） 典型行程模型： 等距离平均速度： （U1、U2分别代表往、返速度） 等发车前后过车：核心公式：， 等间距同向反向： 不间歇多次相遇：单岸型： 两岸型： （s表示两岸距离） 无动力顺水漂流：漂流所需时间=（其中t顺和t逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间） 五、溶液问题 ⑴ 溶液=溶质+溶剂 浓度=溶质溶液 溶质=溶液浓度 溶液=溶质浓度 ⑵ 浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M、N，交换质量L后浓度都变成c%，则 ⑶ 混合稀释型 等溶质增减溶质核心公式： （其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度） 六、利润问题 （1）利润＝销售价（卖出价）－成本； 利润率＝＝＝－1； （2）销售价＝成本（1＋利润率）； 成本＝。 （3）利息＝本金利率时期； 本金＝本利和（1+利率时期）。 本利和＝本金＋利息＝本金（1+利率时期）=； 月利率=年利率12； 月利率12=年利率。 例：某人存款2400元，存期3年，月利率为10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？” 2400（1+10．2％36） =24001．3672 =3281．28（元） 七、年龄问题 关键是年龄差不变；①几年后年龄＝大小年龄差倍数差－小年龄 ②几年前年龄＝小年龄－大小年龄差倍数差 八、容斥原理 ⑴两集合标准型：满足条件A的个数+满足条件B的个数—两者都满足的个数=总个数—两者都不满足的个数 ⑵三集合标准型：A+B+C-（AB+BC+AC）+ABC=总个数-都不满足的个数,即 满足条件A的个数+满足条件B的个数+满足条件C的个数-三者都不满足的情况数 = ⑶三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得以下等式：①W=x+y+z ②A+B+C=x+2y+3z ⑷三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答 ①特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别 ②特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形 ③标数时，注意由中间向外标记 九、牛吃草问题 核心公式：y=(N—x)T 原有草量＝（牛数－每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为X 注意：如果草场面积有区别，如“M头牛吃W亩草时”，N用代入，此时N代表单位面积上的牛数。 十、指数增长 如果有一个量，每个周期后变为原来的A倍，那么N个周期后就是最开始的AN倍，一个周期前应该是当时的。 十一、调和平均数 调和平均数公式： 等价钱平均价格核心公式： （P1、P2分别代表之前两种东西的价格 ） 等溶质增减溶质核心公式： （其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度） 十二、减半调和平均数 核心公式： 十三、余数同余问题 核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期” 注意：n的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。 十四、星期日期问题 闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28日，记口诀：一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算。 平年与闰年 判断方法 年共有天数 2月天数 平 年 不能被4整除 365天 28天 闰 年 可以被4整除 366天 29天 ★星期推断：一年加1天；闰年再加1天。 大月与小月 包括月份 月共有天数 大月 1、3、5、7、8、10、12 31天 小月 2、4、6、9、11 30天 注意：星期每7天一循环；“隔N天”指的是“每（N+1)天”。 十五、不等式 （1）一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 其中：x1=；x2=（b2-4ac0） 根与系数的关系：x1+x2=-，x1x2= （2） （3） 推广： （4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。 （5）两项分母列项公式：=(—) （6）三项分母裂项公式：=[—] 十六、排列组合 （1）排列公式：P＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），（m≤n）。 （2）组合公式：C＝PP＝（规定＝1）。 （3）错位排列（装错信封）问题：D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6＝265， （4）N人排成一圈有/N种； N枚珍珠串成一串有/2种。 十七、等差数列 （1） sn ＝＝na1+n(n-1)d； （2）an＝a1＋（n－1）d； （3）项数n ＝＋1； （4）若a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b； （5）若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ； （6）前n个奇数：1，3，5，7，9，…（2n—1）之和为n2 （其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和） 十八、等比数列 （1）an＝a1qn－1； （2）sn ＝（q1） （3）若a,G,b成等比数列，则：G2＝ab； （4）若m+n=k+i，则：aman=akai ； （5）am-an=(m-n)d （6）＝q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和） 十九、典型数列前N项和 4.2 4.3 4.7 平方数 底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 底数 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 平方 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 底数 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 平方 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 立方数 底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 立方 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 多次方数 次方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 3 3 9 27 81 243 729 4 4 16 64 256 1024 5 5 25 125 625 3125 6 6 36 216 1296 7776 次方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 底数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 4 4 6 4 6 4 6 4 6 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 8 8 4 2 6 8 4 2 6 8 9 9 1 9 1 9 1 9 1 9 ★1既不是质数也不是合数 1.200以内质数 2 3 5 7 101 103 109 11 13 17 19 23 29 113 127 131 137 31 37 41 43 47 53 59 139 149 151 157 163 167 61 67 71 73 79 83 89 97 173 179 181 191 193 197 199 2. 典型形似质数分解 91=713 111=337 119=717 133=719 117=913 143=1133 147=721 153=713 161=723 171=919 187=1117 209=1911 1001=71113 3. 常用“非唯一”变换 ①数字0的变换: ②数字1的变换： ③特殊数字变换： ④个位幂次数字： 二十、基础几何公式 1.勾股定理：a2+b2=c2(其中：a、b为直角边，c为斜边) 常用勾 股数 直角边 3 6 9 12 15 5 10 7 8 直角边 4 8 12 16 20 12 24 24 15 斜边 5 10 15 20 25 13 26 25 17 2.面积公式： 正方形＝ 长方形＝ 三角形＝ 梯形＝ 圆形＝R2 平行四边形＝ 扇形＝R2 3.表面积： 正方体＝6 长方体＝ 圆柱体＝2πr2＋2πrh 球的表面积＝4R2 4.体积公式 正方体＝ 长方体＝ 圆柱体＝Sh＝πr2h 圆锥＝πr2h 球＝ 5.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧＝πr； 6.图形等比缩放型： 一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则： 1.所有对应角度不发生变化； 2.所有对应长度变为原来的m倍； 3.所有对应面积变为原来的m2倍； 4.所有对应体积变为原来的m3倍。 7.几何最值型： 1.平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。 2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。 3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。 4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。 二十一、页码问题 对多少页出现多少1或2的公式 如果是X千里找几，公式是1000+X00*3如果是X百里找几，就是100+X0*2，X有多少个0就*多少。依次类推!请注意，要找的数一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一类的了， 比如，7000页中有多少3就是1000+700*3=3100(个)20000页中有多少6就是2000*4=8000(个) 友情提示，如3000页中有多少3，就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了 二十二、青蛙跳井问题 例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井? ②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠? 总解题方法：完成任务的次数=井深或绳长-每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米) 例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。 完成任务的次数=(总长-单长)/实际单长+1 数量关系公式 1.两次相遇公式：单岸型S=(3S1+S2)/2两岸型S=3S1-S2 例题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙 岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。到达预定地点后， 每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？ A. 1120 米B. 1280 米C. 1520 米D. 1760 米 解： 典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸 720 米处相遇、距离乙岸 400 米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760选D 如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸 2.漂流瓶公式： T=（2t逆*t顺）/ （t逆-t顺） 例题：AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，A――B，从A城到B城需行3天时间，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？ A、3天 B、21天 C、24天 D、木筏无法自己漂到B城 解： 公式代入直接求得24 3.沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/ （t1+t2 ）车速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1) 例题：小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？ A. 3 B. 4C. 5 D. 6 解：车速/人速=（10+6）/（10-6）=4 选B 4.往返运动问题公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2) 例题：一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？（） A.24B.24.5 C.25D.25.5 解：代入公式得2*30*20/(30+20)=24选A 5. 电梯问题：能看到级数=（人速+电梯速度）*顺行运动所需时间（顺） 能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间 （逆） 6.什锦糖问题公式：均价A=n /｛（1/a1）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)｝ 例题：商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖 每千克费用分别为4.4 元，6 元，6.6 元，如果把这三种糖混在一起成为什锦 糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？ A．4.8 元 B．5 元 C．5.3 元 D．5.5 元 7.十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r) 例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是： 析：男生平均分X，女生1.2X 1.2X 75-X1 75= X 1.2X-75 1.8 得X=70 女生为84 9.一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2的N次方*M+1）段 10.方阵问题：方阵人数=（最外层人数/4+1）的2次方 N排N列最外层有4N-4人 例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？ 解：最外层每边的人数是96/4+1＝25，则共有学生25*25=625 11.过河问题：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A）/ (N-A)次 例题 (广东05)有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？ A.7B. 8 C.9 D.10 解：（37-1）/（5-1）=9 15.植树问题：线型棵数=总长/间隔+1环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1 例题：一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156M 186M 234M，树与树之间距离为6M，三个角上必须栽一棵树，共需多少树？ A 93B 95C 96D 99 12.星期日期问题：闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28日，记口诀：一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算 例：2002年 9月1号是星期日2008年9月1号是星期几？ 解： 因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则：4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。 例：2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？ 解： 4+1＝5，即是过5天，为星期四。（08年2 月29日没到） 13.复利计算公式：本息=本金*｛（1+利率）的N次方｝，N为相差年数 例题：某人将10万远存入银行，银行利息2%/年，2年后他从银行取钱，需缴纳利息税，税率为20%,则税后他能实际提取出的本金合计约为多少万元？ （） A.10.32 B.10.44C.10.50D10.61 解: 两年利息为（1+2%）的平方*10-10=0.404 税后的利息为0.404*（1-20%）约等于0.323，则提取出的本金合计约为10.32万元 14.牛吃草问题：草场原有草量=（牛数-每天长草量）*天数 例题：有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？ A、16 B、20 C、24 D、28 解：（10-X）*8=（8-X）*12 求得X=4（10-4）*8=（6-4）*Y 求得答案Y=24 16：比赛场次问题： 淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1淘汰赛需决前四名场次=N 单循环赛场次为组合N人中取2双循环赛场次为排列N人中排2 比赛赛制 比赛场次 循环赛 单循环赛 参赛选手数（参赛选手数－1 ）/2 双循环赛 参赛选手数（参赛选手数－1 ） 淘汰赛 只决出冠（亚）军 参赛选手数－1 要求决出前三（四）名 参赛选手数 8.N人传接球M次公式：次数=（N-1）的M次方/N 最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的整数为末次传给自己的次数 例题： 四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。 A. 60种 B. 65种 C. 70种 D. 75种 解： (4-1)的5次方 / 4=60.75 最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最后传给自己的次数 数量关系归纳分析 一、等差数列：两项之差、商成等差数列 1. 60， 30， 20， 15， 12，（ ） A .7 B .8 C .9 D .10 2. 2. 23， 423， 823，（ ） A .923 B .1223 C .1423 D .1023 3. 1， 10， 31， 70， 123 （ ） A .136 B .186 C .226 D .256 二、“两项之和（差）、积（商）等于第三项”型 基本类型： ⑴ 两项之和（差）、积（商）＝第3项； ⑵ 两项之和（差）、积（商）某数＝第3项。 4. -1，1，（ ），1，1，2 A.1 B.0 C.2 D.-1 5. 21，31，（ ），61，0，61 A.21 B.0 C.61 D.31 6. 1944， 108， 18， 6， （ ） A.3 B.1 C.－10 D.－87 7. 2，4，2，（ ），41，21 A.2 B.4 C.41 D.21 三、平方数、立方数 1) 平方数列。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121。。。 2) 立方数列。 1，8，27，64，125，216，343。。。 8. 1， 2， 3， 7， 46， （ ） A.2109 B.12189 C.322 D.147 9. -1， 0， -1， （ ）， -2， -5，-33 A.0 B.1 C.-1 D.-2 四、升、降幂型 10. 24， 72， 216， 648， （ ） A.1296 B.1944 C.2552 D.3240 11. 219，113， 1， 2， （ ）， 24 A. 3 B.5 C. 7 D. 10 五、质数数列及其变式 12. 113，17，13，119，（） A.122 B.129 C.1 D.12325 六、跳跃变化数列及其变式 13. 9， 15， 22， 28， 33， 39，55，（ ） A. 60 B.61 C. 66 D. 58 七、分组数列（若干项组成一组，每组的关系式一致） 14. 2， 9， 1， 8，（）， 8， 7， 2 A.10 B.9 C.8 D.7 八、分数数列（分子、分母各成不相关的数列或分子、分母交叉看） 15. 41，103，207，52，（ ） A. 53 B. 54 C. 1 D. 209 16. 21，31，32，36，（ ） A. 129 B. 318 C. 618 D. 3618 十、阶乘数列 17. 1， 2， 6， 24， （ ）， 720 A. 109 B. 120 C. 125 D. 169 十一、余数数列 18. 15， 18， 54，（ ）， 210 A. 106 B. 107 C. 123 D. 112 技巧方法： (一) 观察数列的变化趋势。 1、单调上升或下降的数列。 “先减加，再除乘，平方立方增减项” 2、波动性的数列。 “隔项相关” 3、先升后降的数列。“底数上升，指数下降的幂数列”“最后一项为分子为1的分数，倒数第二项为1” 1、1^6,2^5,3^4,4^3,5^2,6^1,7^0,8^-1,即 1，32，81，64，25，6，1，1/8； 整除判定基本法则 1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性 　　能被2(或5)整除的数（余数），末一位数字能被2(或5、0)整除（余数）; 　　能被4(或 25)整除的数（余数），末两位数字能被4(或 25)整除（余数）; 　　能被8(或125)整除的数（余数），末三位数字能被8(或125)整除（余数）; 2.能被3、9整除的数的数字特性 　　能被3(或9)整除的数（余数），各位数字和能被3(或9)整除（余数）。 3.能被11整除的数的数字特性 能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。 4.能被6：能被2和3整除；能被10：末位是0；能被12：能被3和4整除