2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案：1.2.2　第一课时　组合与组合数公式 .doc

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1、122组合第一课时组合与组合数公式预习课本P2124，思考并完成以下问题1组合的概念是什么？2什么是组合数？组合数公式是怎样的？3组合数有怎样的性质？1组合的概念从n个不同的元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法C组合数公式乘积式C阶乘式C性质CC_，CCC_备注n，mN*且mn，规定：C1点睛排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(nm)个元素区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只

2、有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合()(4)C54360()答案：(1)(2)(3)(4)2C10，则n的值为()A10B5C3D4答案：B3从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A504种 B729种C84种 D27种答案：C4计算CCC_答案：120组合的概念典例判断下列问题是组合问题还是排列问

3、题：(1)设集合Aa，b，c，d，e，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？解(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们

4、的顺序，故是组合问题区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题活学活用判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人相互写一封信，共写了几封信；(4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题(2)从7本不同的书中

5、，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题(4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题有关组合数的计算与证明典例(1)计算CCA；(2)证明：mCnC解(1)原式CA7652102100(2)证明：mCmnnC关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用CC进行计算(2)涉及字母的可以用阶乘式C计算(3)计算时应注意利用组合数的性质CC简化运算活学活用1计算：CC的值解：95n105nN*，n10CCCCCC314662求使3C5A成立的x值解：根据排列数和组合数公式，原方程可化

6、为35，即，即为(x3)(x6)40x29x220，解得x11或x2经检验知x11时原式成立3证明下列各等式(1)CC；(2)CCCCC解：(1)右边C左边，原式成立(2)左边(CC)CCC(CC)CC(CC)C(C3n4C)CCCC右边，原式成立简单的组合问题典例在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加解(1)C792种不同的选法(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C36种不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外

7、的9人中选5人，共有C126种不同的选法解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果活学活用一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C56(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C21(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个

8、白球中取出3个球，取法种数是C35层级一学业水平达标1CC的值为()A36B84C88 D504解析：选ACCCC842以下四个命题，属于组合问题的是()A从3个不同的小球中，取出2个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C选项A是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的选C3方程CC的解集为()A4 B14C4或6 D14或2解析：选C由题

9、意知或解得x4或64平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆()A220个 B210个C200个 D1 320个解析：选AC220，故选A5从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有()A60种 B48种C30种 D10种解析：选C从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有CC30种故选C6CCCC的值等于_解析：原式CCCCCCCCCCC7 315答案：7 3157若已知集合P

10、1,2,3,4,5,6，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为_解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C20种答案：208不等式Cn5的解集为_解析：由Cn5，得n5，n23n100解得2n3C解：(1)原方程等价于m(m1)(m2)6，4m3，m7(2)由已知得：x8，且xN*，C3C，即，x3(9x)，解得x，x7,8原不等式的解集为7,810某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，

11、故可组成矩形有CC210(个)(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有CC210(种)走法层级二应试能力达标1若CC，则n的集合是()A6,7,8,9B0,1,2,3Cn|n6 D7,8,9解析：选ACC，nN*，n6,7,8,9n的集合为6,7,8,92将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A12种

12、 B18种C36种 D54种解析：选B由题意，不同的放法共有CC318种3若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种C65种 D66种解析：选D和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C1种，取2奇数2偶数的取法有CC60种，取4个数均为奇数的取法有C5种，故不同的取法共有160566种4过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A18对 B24对C30对 D36对解析：选D三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C312个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12336对5方程CCC的解集是_解析：因为CCC，所以

13、CC，由组合数公式的性质，得x12x2或x12x216，得x13(舍去)，x25答案：56某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为_(用数字作答)解析：由已知分两类情况：(1)买5本2元的买法种数为C(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为CC故不同买法种数为CCC266答案：2667已知C，C，C成等差数列，求C的值解：由已知得2CCC，所以2，整理得n221n980，解得n7或n14，要求C的值，故n12，所以n14，于是CC918已知集合Aa1，a2，a3，a4，B0,1,2,3，f是从A到B的映射(1)若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个？(2)若B中的元素0无原象，则不同的映射f有多少个？(3)若f满足f(a1)f(a2)f(a3)f(a4)4，则不同的映射f又有多少个？解：(1)显然映射f是一一对应的，故不同的映射f共有A24个(2)0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A中每一个元素的象都有3种可能，只有把A中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，不同的映射f有3481个(3)11114,01124,00134，00224，不同的映射有：1CACAC31个