2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.2 超几何分布 .doc

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1、2.2超几何分布从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数问题1：X的取值有哪些？提示：X0,1,2问题2：X的概率分布是什么？提示：P(X0)，P(X1)，P(X2).X的概率分布为X012P问题3：“所选3人中，女生人数X1”的概率是多少？提示：P(X1)P(X0)P(X1)1超几何分布的概念一般地，若一个随机变量X的分布列为P(Xr)，其中r0,1,2,3，l，lmin(n，M)，则称X服从超几何分布，记为XH(n，M，N)，并将P(Xr)记为H(r；n，M，N)2H(r；n，M，N)中，r，n，M，N的含义1超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注

2、意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械的记忆2超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同r的概率P(Xr)，从而求出r的分布列3超几何分布中，求概率时需要求组合数，同学们要熟练掌握组合数的性质及计算方法，以便简化计算超几何分布概率公式的应用例1从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率思路点拨摸出5个球得7分，即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可精解详析设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N25，M10，n5，由于摸出5个球，

3、得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P(X2)0.385，即恰好得7分的概率约为0.385.一点通解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解1从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得2件次品的概率解：设随机变量X表示取出次品的件数，则X服从超几何分布，其中N15，M2，n3.可能的取值为0,1,2，则P(X3).2甲参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2题才算及格求甲及格的概率解：设X为甲答对题的数

4、量，则X0,1,2,3.则甲及格的概率为P(X2)P(X3).超几何分布的概率分布例2若从5名男生和3名女生中任选3人参加某项公益活动，且用随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的概率分布及P(X2)思路点拨可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数精解详析由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布其中N8，M3，n3，所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).从而随机变量X的概率分布为X0123P所以P(X2)P(X0)P(X1).一点通求超几何分布的概率分布，关键是明确随机变量确实服从超几何分布及随机变量的

5、取值，分清M，N，n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后列表即可32014年8月16日第二届青年奥林匹克运动会将在南京举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：若身高在180 cm以上(包括180 cm)定义为“高个子”，身高在180 cm以下(不包括180 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人

6、数，试写出X的概率分布解：(1)根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，所以选中的“高个子”有82人，“非高个子”有123人用事件A表示“至少有一名高个子被选中”，则它的对立事件表示“没有一名高个子被选中”，则P(A)11.因此，至少有一人是“高个子”的概率是.(2)依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).因此，X的概率分布如下：X0123P4某校高三年级某班的课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛，用X表示其中的男生人数，求X的分布列解：依

7、题意随机变量X服从超几何分布，所以P(Xr)(r0,1,2,3,4)P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列为X01234P超几何分布的综合应用例3袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布；(3)计算介于20分到40分之间的概率思路点拨(1)可利用古典概型公式求解；(2)先确定X的取值，然后求对应的概率，最后列表即可；(3)由题意知介于20分到40分的概率等于X3与X

8、4的概率之和精解详析(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A).法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件因为P(B)，所以P(A)1P(B)1.(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5).所以随机变量X的概率分布为X2345P(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)P(X3)P(X4).一点通本题将排列、组合、古典概型、分布列的知识融于一体，在知识上相互联系，解决此类问题的关键在于正确地处

9、理好等可能事件的概率、对立事件的概率间的关系，并结合分布列的有关知识把相应的问题细化5老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出2篇才能及格某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率解：(1)设随机抽取的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X服从超几何分布，它可能的取值为0,1,2,3.P(Xr)(r0,1,2,3)P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，X的分布表如下.X0123P(2)该同学能及格表示他能背出2篇或3篇课文，故他能及格的概率为P(X2)P(X2)P(X3).6某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学

10、参加过高一数学“南方杯”竞赛若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数X的概率分布及P(X2)解：由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3.则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以随机变量X的概率分布为X0123PP(X0.5.解得n15.答案：15二、解答题6从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A的概率解：设抽出的5张牌中所包含的A牌的张数为X，则X服从超几何分布，其分布列为P(Xr)，r0,1,2,3,4.所以随机变量X的概率分布为：X01234P所以抽出的5张牌中至少有3张A的概率为P(X3)

11、P(X3)P(X4)0.001 75.7在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有r件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有r件一等品的概率为P(Xr)，r0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是Xr0123P(Xr)(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，

12、“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且AA1A2A3，而P(A1)，P(A2)P(X2)，P(A3)P(X3)，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)P(A1)P(A2)P(A3).8在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况P(X1)，则P(X0)1P(X1)1.因此X的概率分布为Xk01P(Xk)(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖故所求概率P.Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y0)，P(Y10)，P(Y20)，P(Y50)，P(Y60).因此随机变量Y的概率分布为Yk010205060P(Yk)