2018版高中数学人教B版必修一学案：2.3　函数的应用（Ⅰ） .doc

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1、2.3函数的应用()学习目标1.明确一次函数、二次函数、分段函数可作为数学模型解有关应用题.2.初步掌握数学建模的方法.3.通过数学建模的应用，培养应用意识.预习导引常见函数模型名称解析式条件一次函数模型yaxba0二次函数模型一般式yax2bxca0顶点式ya(xh)2ka0解决学生疑难点要点一一次函数模型例1大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在55 .(1)当地球表面大气的温度是a 时，在x km的上空为y ，求0x12时，a，x，y间的函数关系式；(2)当地球表面大气的温度是29 时，3

2、 km上空的温度是多少？解(1)由题意知yakx(0x12，k0)，即yakx.当x12时，y55，55a12k，解得k，当0x12时，yax，所求的函数关系式为yax(0x12).(2)当a29，x3时，y2938()，即当地球表面大气的温度是29 时，3 km上空的温度是8 .规律方法用一次函数模型解决实际问题时，要注意分析数量关系的特征.对于一次函数yaxb(a0)，当a0时为增函数，当a0时为减函数.另外要结合题目理解(0，b)或(，0)这些特殊点的意义.跟踪演练1如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)

3、通话2分钟，需要付电话费_元；(2)通话5分钟，需要付电话费_元；(3)如果t3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为_.答案(1)3.6(2)6(3)y1.2t(t3)解析(1)由图象可知，当t3时，电话费都是3.6元.(2)由图象可知，当t5时，y6，需付电话费6元.(3)当t3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为yktb，则解得故y关于t的函数关系式为y1.2t(t3).要点二二次函数模型例2某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元

4、)之间的关系有如下经验公式：R2xx13x111x228.(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略；(即收益最大的策略，其中收益销售收入广告费用)(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略(其中x1，x2N).解(1)广告费共5万元，设报纸广告费用x万元，则电视广告费用5x万元，利润为w万元.R2x2(5x)213x11(5x)28(0x5)3x212x2(0x5).当x2万元时，Rmax14万元，此时电视广告费用为3万元.w1459(万元).即报纸广告费2万元，电视广告费3万元.(2)广告费用不限，R(x)f(x)g(x)28，其中f(x)2x13x1，g(x)x11x2，x1，x

5、2N，f(x)maxf(3)21，g(x)maxf(5)f(6)30.欲使最大，所以g(x)取最大值时x25，此时213028815.即报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元时为最优广告策略.规律方法在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.跟踪演练2心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式y0.1x22.6x43(0x30)，y值越大，表示接受能力越强.(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范

6、围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解(1)y0.1x22.6x430.1(x13)259.9.所以，当0x13时，学生的接受能力逐步增强；当13x30时，学生的接受能力逐步下降.(2)当x10时，y0.1(1013)259.959.即第10分钟时，学生的接受能力为59.(3)当x13时，y取最大值.所以，在第13分钟时，学生的接受力最强.要点三分段函数模型例3某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.

7、02元，但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pf(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本)解(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0100550(个).因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.(2)当0x100时，P60；当100x550时，P600.02(x100)62；当x550时，P51.Pf(x)(

8、xN).(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L(P40)x当x500时，L6 000；当x1 000时，L11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元.规律方法分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.跟踪演练3某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t

9、(单位：百件)时，销售所得的收入约为5tt2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？解(1)当0x5时，产品全部售出，当x5时，产品只能售出500件.f(x)即f(x)(2)当0x5时，f(x)x24.75x0.5，当x4.75(百件)时，f(x)有最大值，f(x)max10.781 25(万元).当x5时，f(x)max120.25510.75(万元).当这种产品的年产量为475件时，利润最大.1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象

10、所对应的函数模型是()A.一次函数 B.二次函数C.分段函数 D.无法确定答案C解析由图象知，在不同时段内，路程折线不同，故函数模型为分段函数.2.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x36 kPa时，y108 g/m3，则y与x的函数关系式为()A.y3x(x0) B.y3xC.yx(x0) D.yx答案A解析由题意设ykx(k0)，将(36,108)代入解析式可得k3，故y3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x0.3.化工厂在一月份生产某种产品200 t，三月份生产y t，则y与月平均增长率x之间的关系是

11、()A.y200x B.y200x2C.y200(1x) D.y200(1x)2答案D解析一月份为200 t，二月份为200x200200(x1)t，三月份为200(x1)x200(x1)200(x1)(x1)200(x1)2t，即y200(x1)2.4.用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A.3 m B.4 mC.6 m D.12 m答案A解析如图所示，设隔墙长为x m，则矩形长为122x(m).xS矩形x(122x)2x212x2(x3)218.当x3 m时，矩形的面积最大.5.一个水池有60 m3水，现要将水池中的水排出，如果排水管每小时排出的水量为3 m3，则水池中余水量Q与排水时间t之间的函数关系式为_.答案Q603t(0t20)解析排水管每小时排出的水量为3 m3，t小时排出的水量为3t m3(t0).水池中原有水60 m3，3t60，t20，水池中余水量Q603t(0t20).1.解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性.2.数学建模的过程图示如下：