2018版高中数学人教版A版必修五学案：§1.1.1　正弦定理（二） .docx

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1、11.1正弦定理(二)学习目标1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题知识点一正弦定理及其变形1定理内容：2R2正弦定理的常见变形：(1)sin Asin Bsin Cabc；(2)2R；(3)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(4)sin A，sin B，sin C知识点二对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三

2、角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：(1)代数角度由正弦定理得sin B，若1，则满足条件的三角形个数为0，即无解若1，则满足条件的三角形个数为1，即一解若1，则满足条件的三角形个数为1或2，即一解或两解(2)几何角度图形关系式解的个数A为锐角absin A；ab一解bsin Aab两解ab一解ab无解知识点三三角形面积公式任意三角形的面积公式为：(1)SABCbcsin Aacsin Babsin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半(2)SABCah，其中a为ABC的一边长，而h为该边上的高的长(3)SABCr(abc)rl，其

3、中r，l分别为ABC的内切圆半径及ABC的周长(4)SABC(其中p)题型一三角形解的个数的判断例1已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2，b6，A30.解(1)a10，b20，ab，A8020sin 6010，absin A，本题无解(2)a2，b6，ab，A30bsin A，bsin Aab，本题有两解由正弦定理得sin B，又B(0，180)，B160，B2120.当B160时，C190，c14；当B2120时，C230，c22.B160时，C190，c14；B2120时，C230，c22.反思与感悟已知三角形两

4、边和其中一边的对角时，利用正弦定理求出另一边对角的正弦值后，需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐角、直角还是钝角，从而确定三角形有两解还是只有一解也可以用几何法来判断，即比较已知角的对边与另一边和该角正弦值乘积的大小来确定解的个数跟踪训练1(1)满足a4，b3，A45的三角形ABC的个数为_(2)ABC中，ax，b2，B45.若该三角形有两解，则x的取值范围是_答案(1)1(2)2x2解析(1)因为A453b，所以ABC的个数为一个(2)由asin Bba，得x2x，2x2.题型二三角形的面积例2在ABC中，若a2，C，cos ，求ABC的面积S.解cos ，cos B2cos21.B(

5、0，)，sin B.C，sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.，c.Sacsin B2.反思与感悟求三角形的面积关键在于选择适当的公式，因此，要认真分析题目中的条件，结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角恒等变换等知识的应用跟踪训练2(1)在ABC中，若a3，cos C，SABC4，则b_(2)在ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积等于_答案(1)2(2)或解析(1)cos C，C，sin C ，又SABCabsin C3b4，b2.(2)由正弦定理得sin C，又C(0，180)，C60或120，A90或30，SABCABACsin A或.题型三正

6、弦定理与三角恒等变换的综合应用例3在ABC中，ABc，BCa，ACb，若c，C30，求ab的取值范围解由正弦定理得，c，C30，AB18030150.sin(150A)sin cos cos sin ，sin Asin cos cos sin ，由得sin Asin(150A)2sin 75cos(75A)，ab2()sin Asin(150A)2()2sin 75cos(75A)2()2cos(75A)()2cos(75A)当A75时，(ab)max84.AB150，0A150，150A0.7575A()2，ab84.综上所述，ab(，84 反思与感悟(1)求某个式子的取值范围，可以将其转化

7、为一个角的三角函数，再求范围注意不要因为忽略相应自变量的取值范围而导致错误(2)三角形的内角和等于180，这一特殊性质为三角恒等变换在三角形中的应用提供了一些特殊的式子，如sin Asin(BC)，cos Acos(BC)等，解题中应注意应用跟踪训练3在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2Asin2Bcos2Csin Asin B.(1)求角C的大小；(2)若c，求ABC周长的取值范围解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C可得cos C，所以

8、C.(2)由已知，absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.例4在ABC中，已知c，A，a2，则b_错解由正弦定理，得sin C，C，B，b1.答案1错因分析求得sin C之后，去求角C的值时，认为C为锐角，而忽略了C的情况，导致漏解正解因为sin 2，所以本题有两解因为，所以sin C.所以C或.当C时，B，b1.当C时，B，b1.答案1或1误区警示已知两边和其中一边的对角解三角形时可先由正弦定理求出另一边的对角，该角可能有两解、一解、无解三种情况，故解题时应注意讨论，防止漏解1在ABC中，A，

9、BC3，AB，则角C等于()A.或 B.C. D.答案C解析由正弦定理得sin C，C或.又ABBC，C1，此三角形无解3根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是()Aa8，b16，A30，有两解Ba18，b20，A60，有一解Ca5，b2，A90，无解Da30，b25，A150，有一解答案D解析对A.absin A，故有一解；对B.bsin Aabsin A，故有一解；对D.A为钝角，且ab，故有一解4在ABC中，ABc，BCa，ACb，若b1，c，C，则a_答案1解析由正弦定理得.sin Csin ，sin B.C，B为锐角，B，A，故ab1.5在ABC中，lg(sin Asin C

10、)2lg sin Blg(sin Csin A)，则此三角形的形状是_答案直角三角形解析lg(sin Asin C)lg ，sin2Csin2Asin2B，结合正弦定理得c2a2b2，ABC为直角三角形6在ABC中，AB，D为BC的中点，AD1，BAD30，则ABC的面积SABC_答案解析AB，AD1，BAD30，SABD1sin 30，又D是BC边中点，SABC2SABD. 1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值2判断三角形的形状，一般情况是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式