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凌源市2017～2018学年第一学期高二年级期末考试
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，,
所以.
故选C.
2. “”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由解得x>2，或x<−4.
∴“x>2“是“ “成立的充分不必要条件。
故选：B.
3. 函数的最大值是（ ）
A. -1 B. 1 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】根据题意得：，所以.
又，为减函数，为增函数，
所以函数为减函数，当时取得最大值1.
故选B.
4. 已知双曲线的中心为原点，是双曲线的一个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵双曲线的中心为原点，F(3,0)是双曲线的−个焦点，
∴设双曲线方程为，a>0，
∵是双曲线的一条渐近线，
∴，解得a2=4，
∴双曲线方程为.
故选D.
5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线的方向向量为，平面的法向量为，则使，只需即可.
四个选项中，只有D，满足.
故选D.
6. 已知为抛物线上一点，则到其焦点的距离为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】把代入抛物线方程得：2=2p，
∴p=1.
∴抛物线的焦点为F(0,).
∴抛物线的准线方程为y=−.
∴A到准线的距离为1+=.
∴AF=.
故选：A.
7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的值为3，则输入的值可以是（ ）
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
【答案】A
【解析】由题意，模拟执行程序，可得
k=0，S=0，
满足条件S⩽a，S=20+3=3，k=0+1=1
满足条件S⩽a，S=23+3=9，k=1+1=2
满足条件S⩽a，S=29+3=21，k=2+1=3
由题意，此时，应该不满足条件21⩽a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20.
故选：A.
8. 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】因为
所以只需要将函数的图象向右平移个单位长度即可.
故选C.
点睛：本题考查三角函数的图象变换和三角函数的性质；本题的易错点是“向右平移时，平移单位错误”，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量而言，如：将的图象将左平移个单位时得到函数的图象，而不是的图象.
9. 若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
即.
又，所以，所以，
于是 ，所以 ，
故选A.
10. 若满足约束条件，则的最大值是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】做出不等式组表示的可行域，如图所示：
设,则.
据图分析知当直线经过直线和的交点A(1,2)时，取得最大值2，
故选C.
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
11. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体。
圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1.
所以几何体的表面积为π12+2π13+4π12+π12+π12=9π.
故选B.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
12. 函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】试题分析：注意到，有个根，有个根，有个根，故.注意到，，有个根，故，所以.
考点：函数的零点，复合函数.
.....................
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，且，则的最小值是__________．
【答案】4
【解析】由，得.
当且仅当，即时，等号成立.
答案为：4.
14. 已知向量，，且，则的值为__________．
【答案】12
【解析】向量，，
.
由，得.
解得.
点睛：本题主要考查了奇函数的性质及基本不等式的应用，基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
15. 已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是__________．
【答案】
【解析】试题分析：因为圆的方程可化为，圆心，半径为，依题作出草图，可知,所以四边形面积的最小值就是的最小值,而,本题要求出最小的的值,即为圆心到直线的最短距离,所以，即四边形面积的最小值是.
考点：1.点到直线的距离；2.切线的性质；3.转换的思想.
16. 椭圆上的任意一点(短轴端点除外)与短轴上、下两个端点的连线交轴于点和，则的最小值是__________．
【答案】
可得,同理可求,
所以 .
所以.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数在区间上有1个零点；函数图象与轴交于不同的两点.若“”是假命题，“”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：对于命题p，设y=f（x），知道该函数为二次函数，对称轴为x=1，从而有，解该不等式组即可得到0
0，从而可解得或．并且根据条件可知p真q假，或p假q真，求出这两种情况的a的取值范围再求并集即可．
试题解析：
对于设.
该二次函数图象开向上，对称轴为直线，
所以，所以；
对于函数与轴交于不同的两点，
所以，即，
解得或.
因为“”是假命题，“”是真命题，所以一真一假.
①当真假时，有，所以；
②当假真时，有，所以或.
所以实数的取值范围是.
点睛：（1）当命题p与q的关系不好判断时，我们可以考虑写出命题p,q的否定，即与，分析出与的关系，再根据互为逆否命题同真同假进行判断。
为真，即p与q同时为真。）为假，即p与q中至少有一个为假。
为真，即p与q至少有一个为真。为假，即p与q同时为假。
（4）与的真假性相反。
18. 在数列中，，，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】试题分析：（1）要证明数列为等比数列，应证明为常数，设法对进行代数变形即可得证；（2）在（1）证明的基础上可求得，利用乘公比错位相减法即可实现求和．
试题解析：（1）由题意所以数列为等比数列．
（2）得
考点：数列的递推公式、等比数列定义的应用及其前项和公式．
19. 已知顶点在单位圆上的中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinA•cosA=sinA，又0
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