2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题一 第五讲　导数的简单应用 .doc

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1、专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第五讲导数的简单应用高考导航导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点2利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用.1(2017福州质检)函数f(x)x3ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()Aa0 Ba0解析函数f(x)x3ax为R上增函数的一个充分不必要条件是f (x)3x2a0在R上恒成立，所以a(3x2)min.因为(3x2)min0，所以a0，f(x)单调递增；x(2,1)时，f (x)0)；(4)(logax)(a0，且a1)2导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，

2、f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf (x0)，相应的切线方程为yf(x0)f (x0)(xx0)3微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)对点训练1(2017大同模拟)过点(1，1)且与曲线yx32x相切的切线方程为()Axy20或5x4y10Bxy20Cxy20Dxy20或4x5y10解析设切点坐标为(x0，y0)，y0x2x0，则曲线在(x0，y0)处的切线斜率为y3x2，当x01时斜率为1，切线方程为xy20，当x01时，过(1，1)点的切线的斜率为xx013x2，解得x0，其斜率为，切

3、线方程为5x4y10，所以A正确答案A2(2017北京卷改编)已知函数f(x)excosxx.则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为_解析因为f(x)excosxx，所以f (x)ex(cosxsinx)1，f (0)0.又f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y1.答案y13(2017安徽示范高中二模)计算：(x)dx_.解析由定积分的几何意义知dx是由y与直线x0，x1所围成的图形的面积，即是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的，故dx，(x)dxx2，x)dx.答案4(2017宁夏二模)曲线yx2和直线x0，x1，y所围成的图形(如图中阴影部分所

4、示)的面积为_ 解析令x2，得x或x(舍去)，所以所答案(1)求曲线yf(x)的切线方程的3种类型及方法已知切点P(x0，y0)，求yf(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程(2)求定积分的2种方法利用微积分基本定理求定积分；利用定积分的几何意义求定积分【易错提醒】求曲线的

5、切线方程时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标考点二利用导数研究函数的单调性1若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解(或证明)不等式f (x)0或f (x)0即可2若已知函数的单调性，则转化为不等式f (x)0或f (x)0在单调区间上恒成立问题来求解角度1：根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围A(，2B(，4C(，8D2,4解析f(x)x2(2c)xc5ex，函数f(x)在区间上单调递增，等价于x2(2c)xc50对任意x恒成立，即(x1)cx22x5，c对任意x恒成立，x，(x1)4，当且仅当x1时等

6、号成立，c4.答案B探究追问例11中若f(x)(x2cx5)ex在上存在减区间，则实数c的取值范围是_解析f(x)x2(2c)xc5ex，函数f(x)在上存在减区间，所以f (x)0在上有解，即x2(2c)xc5在上有解x，(x1)的最小值为4，c4.答案(4，)角度2：利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性思维流程解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0时，f(x).(1)0a1，当x(0,1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)2时，00，f(x)单调递增，当x时

7、，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递增利用导数研究函数单调性的3个关注点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论(3)在不能通过因式分解求出根时，根据一元二次不等式对应方程的判别式或特殊值进行分类讨论 对点训练1角度1若函数f(x)xmlnx在1,2上为减函数，则m的最小值为()A. B. C. D.解析因为f(x)xmlnx在1,2上为减函数，所以

8、f (x)10在1,2上恒成立，所以x2mx4m0在1,2上恒成立令g(x)x2mx4m，所以所以m，故m的最小值为，选C.答案C2角度2已知函数f(x)ax2xlnx(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)mn0，1恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f (x)2ax1.当a0时， f (x).显然，当x(0,1)时， f (x)0，函数f(x)单调递增；当x(1，)时， f (x)0，所以2ax2x10恒成立，即f (x)0恒成立，所以函数f(x)在(0，)上单调递增若0，即0a或a0，方程2ax2x10的两根为x1，x2.当a0，x20, f (x)0

9、，函数f(x)单调递增；当x时，2ax2x10, f (x)0，函数f(x)单调递减当0ax10.当x时，2ax2x10, f (x)0，函数f(x)单调递增；当x时，2ax2x10, f (x)0, f (x)0，函数f(x)单调递增综上，当a0时， f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)；当a时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当0a时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；当a1，即10，也就是0.记g(x)f(x)x，则不等式等价于0，即函数g(x)f(x)x在(0，)上单调递增由g(x)f(x)xax22xlnx，可得g(x)2ax2

10、0.因为x0，所以a.记h(x)(x0)，则h(x)(2).显然，当x(0,1)时，h(x)0，函数f(x)单调递增；当x(1，)时，h(x)0，右侧f (x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f (x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得角度1：根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围A.4，)B.2，)C.(2，) D.(4，)解析f (x)x，由f (x)0得(xm)0，xm或x.显然m0.当且仅当0m2或02m时，函数f(x)在区间(0,

11、2)内有且仅有一个极值点若0m2，即00，当x(m,2)时，f (x)0，函数f(x)有极大值点xm.若00，当x时， f (x)4.(2)不等式f(x1)f(x2)恒成立f(x1)f(x2)alnx1xax1alnx2xax2.由(1)可知x1x2a，x1x2a，f(x1)f(x2)a(lnx1lnx2)(xx)a(x1x2)aln(x1x2)(x1x2)22x1x2a(x1x2)alna(a22a)a2a，lnaa1，令ylnaa1，则y.a4，y0，ylnaa1在(4，)上单调递减，yln43，ln43.的最小值是ln43.研究极值、最值问题的3个关注点(1)求函数f(x)的极值，则先求

12、方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值 对点训练1角度1已知函数f(x)ax32x2xc在R上有极值点，则a的取值范围是()A. B(，0)C. D.解析由f(x)ax32x2xc，得f (x)3ax24x1，要使f(x)ax32x2xc在R上有极值点，需使f (x)3ax24x1的值在R上有正有负当a0时， f (x)4x1，显然满足条件；当a0时，

13、可得解得a0或0a.综上所述，a的取值范围是.故选D.答案D2角度2(2017贵阳模拟)已知常数a0，f(x)alnx2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围解(1)由已知得f(x)的定义域为x(0，)，f (x)2.当a4时，f (x).当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)单调递增f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln2.(2)f(x)，当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，f(x)在上单调递增；由f(x)0得，x，f(x)在上单调递减当a0时

14、，f(x)的最小值为faln2.根据题意得faln2a，即aln(a)ln20.a0，ln(a)ln20，解得a2，实数a的取值范围是2,0)热点课题5导数与函数的单调性与最值 感悟体验(2017厦门模拟)已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解(1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex.依题意对任意x(0,1)，有f(x)0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a

15、0，所以有f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对任意x(0,1)有f(x)(x21)ex0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x(0,1)，f(x)xex0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex.()当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.()当a1时，对于任意x(0,1)有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.()当0a0.若1，即0a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，则当a时，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a1时，g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.