高一数学同步练习进步(必修4第一章三角函数的图象及性质).doc

^` 高一数学同步练习 必修4　第一章三角函数的图象及性质 一、　三角函数的图象与性质 A.基础梳理 1．“五点法”描图 (1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 函数性质　　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z) 对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心： 无对称轴 对称中心：(k∈Z) 周期 2π 2π π 单调性 单调增区间 ，2kπ＋(k∈Z)； 单调减区间 ，2kπ＋(k∈Z) 单调增区间 [2kπ－π，2kπ](k∈Z)； 单调减区间 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间，kπ＋(k∈Z) 奇偶性 奇 偶 奇 B.方法与要点 1、两条性质 (1)周期性 函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． 2、三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． C.双基自测 1．函数y＝cos，x∈R(　　)． A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 2．函数y＝tan的定义域为(　　)． A. B. C. D. 3．已知k＜－4，则函数的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k＋1 (D) －2k＋1 4．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)． A．(－π，0) B. C. D. 5．函数f(x)＝cos的最小正周期为________． D.考点解析 考点一　三角函数的定义域与值域 【例1－1】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域． (2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值． (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①，设化为一次函数在闭区间上的最值求之； ②形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； ③形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； ④形如y＝asin xcos x＋b(sin xcos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 【训练1】（1）求函数y＝的定义域． （2）（辽宁卷）已知函数,则的值域是 (A) (B) (C) (D) (3) （广东卷）当时,函数的最小值是 ( ) A. 4 B. C.2 D. 考点二　三角函数的奇偶性与周期性 【例2－1】►判断下列函数的奇偶性及周期性，若具有周期性，则求出其周期. （1）　（2）　（3）　（4） 求三角函数的最小正周期的一般方法： ①先化为，在由公式求之； ②由周期函数的定义：求得 ③ 一般地，或的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半 【例2－2】►设有函数和，若它们的最小正周期的和为，且，，求和的解析式。 【例2－3】►已知函数． （1）求它的定义域，值域；（2）判定它的奇偶性和周期性；（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性． 【训练2】 1、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 A. B. C. D. 2、函数的最小正周期是 A B C 2 D 4 x x x x O O O O y y y y A B C D 3、函数的部分图象是 4、给定性质：①最小正周期为，②图象关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 （ ） A．　　B．　　C． D． 考点三　三角函数的单调性 【例3－1】►已知，求的单调递增区间． 【例3－2】►(2011年高考安徽卷理科9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 （A） （B） （C） （D）[来源: （1）求三角函数的单调区间的一般方法是：①首先化为；②再解不等式： （增函数区间）或（减函数区间）（也可先解（增）或，然后再在区间端点前面加上周期的倍） （2）如果题目中还限制了自变量的取值范围，还应在规定范围下求单调区间的子区间。 【训练3】 1、的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 2、（2011年全国新课标卷）设函数的最小正周期为，且 ，则 A.在单调递减　　　　　　B. 在单调递减 C. 在单调递增　　　　　D. 在单调递增 考点四　三角函数的对称性 【例4－1】► (1)函数y＝cos图象的对称轴方程可能是(　　)． A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ (2)若0＜α＜，g(x)＝sin是偶函数，则α的值为________． （3）（全国卷Ⅰ文）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 (A) (B) (C) (D) 【例4－2】►已知函数，若，则与的大小关系是 A、> B、< C、= D大小与a、有关 （1）正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记住它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． （2）三角函数的对称性及其应用：①对称中心图象上的平衡点，对称轴图象上的极值点；②三角函数的对称性也符合对称中心及对称轴的一般公式。 【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________. (2)如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 （A） （B） （C） (D) （3）的图象关于x＝对称，它的周期是，则（ ） A、f（x）的图象过点（0， B、f（x）在区间上是减函数 C、f（x）的图象的一个对称中心是点（ D、f（x）的最大值是A （4）已知,且在区间有最小值,无最大值,则__________. 二、　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 A.基础梳理 1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示 x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形． (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形． B.方法与要点 1、一种方法 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定． 2、一个区别 由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 3、两个注意 作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域； (2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时先作一个周期的图象，再由周期性作整个函数的图象． C.双基自测 1．y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　)． A．2，，－ B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－ 2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示， 则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)． A．T＝6π，φ＝ B．T＝6π，φ＝ C．T＝6，φ＝ D．T＝6，φ＝ 3．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为(　　)． A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x 解析　由图象的平移得g(x)＝cos＝－sin x. 4．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)． A. B. C. D．3 5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________. D.考点解析 考点一　函数的图象 题型1：给出函数作图象 【例1－1】►设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝. (1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ； (2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]． (1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可． (2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位． 【训练1－1】 已知函数f(x)＝3sin，x∈R. (1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 题型2：给出图象求函数 【例1－2】►（1）已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜，ω＞0) 的图象的一部分如图所示． (1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程． （2）（07年江西卷）如图，函数的图象与轴 相交于点，且该函数的最小正周期为． （1）求和的值； （2）已知点A，点P是该函数图象上的一点，点Q是PA的中点，当时，求的值。 给出图象求函数一般有两种方法，方法1：待定系数法，即找出图象上两个已知点的坐标，代入函数式中联解方程组求出、的值； 方法2：先由函数图象上的三个平衡点及两个极值点求出函数的周期（三个平衡点和两个极值点把函数的一个周期分为四等分，所以只要知道这五个点其中的两个就可以求出周期T）再由求出；再找出图象其中一个周期中的起始点的坐标（注意，这里的不一定是）然后用代入函数 中得整理即得。（特别注意：是而不是）。 至于振幅A的值则有图象上的最高点或最低点的纵坐标而求得。（如果最高点和最低点的纵坐标不关于轴对称，则函数式应是的形式） 【训练1－2】 1、（四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A） （B） （C） （D） 2、（天津卷文）函数 的部分图象如图所示，则函数表达式为 （A） （B） （C） （D） 1 o -1 3、（宁夏海南卷理）已知函数y=sin（x+） （>0, -<）的图像如图所示，则 =________________ . 4、（辽宁卷理）已知函数=Acos() 的图象如图所示，，则= （A） (B) (C)－ (D) 21世纪教育网 考点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换 题型1：给定原函数和变换过程求变换后的函数 【例2－1】►（1）（2009全国卷Ⅱ理）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 A． B. C. D. 【例2－1】►（2）函数y=cosx的图象向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为 ( ) (A) y=3cos(x+) (B) y=3cos(2x+) (C) y=3cos(2x+) (D) y=cos(x+) （3）若改为：“把函数y=cosx的图象先横坐标缩小到原来的，再向左平移个单位”其他不变呢？ 给定原函数和变换过程求变换后的函数时， ①左右平移变换：用替换，得，其中，左移用“＋”，右移用“－”； ②横坐标伸缩变换：用替换，得； ③纵坐标伸缩变换（即振幅变换）：； ④注意先后顺序：若先平移再左右伸缩，则； 若先左右伸缩再平移，则 ⑤振幅变换无需考虑顺序（但须看其最大值与最小值是否关于x轴对称） 【训练2－1】 （1）(2012年高考浙江卷理科4)把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 （2）先将函数y＝f（x）的图象向右移个单位，再将所得的图象作关于直线x＝的对称变换，得到的函数图象，则f（x）的解析式是（ ） A、 B、 C、 D、 （3）把函数y = sin(2x+)的图象向右平移个单位, 再将横坐标缩小为原来的, 则其解析式为 . 题型2：给定变换前后函数求变换过程 【例2－2】►（1）其图象可以由y=sinx的图象经过怎样的变换得到? 【例2－2】►（2）（天津卷）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（C） (A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 (C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 给定变换前后函数求变换过程，一般用待定系数法，即设左右平移了个单位及横坐标伸长或缩短到原来的倍 （1）若仅有初相位不同而相同，则只作平移变化；例如：把经过怎样的变化得到 的图象？解：设左右平移了，则函数变为 ∵，∴，解得，∴向右平移 （2）若仅有频率不同而初相位相同；则只作周期变化。例如：把经过怎样的变化得到的图象？解：设横坐标伸长或缩短到原来的倍，由变为， ∵，∴由解得，∴横坐标缩短到原来的倍 （3）若频率和初相位均不同，例如：把经过怎样的变化得到的图象？则又分两种情况： ①若先平移再伸缩，则先设平移了，得，由解得；然后在设伸缩到原来的倍，由解得； 结论：先向左平移，然后横坐标在伸长到原来的倍。 ②若先伸缩再平移，则先设伸缩到原来的倍，由解得，函数式变为；然后再设平移了，函数式变为，由解得， 结论：先横坐标在伸长到原来的倍，然后向左平移。 （4）若所给的原函数与变化后的新函数不是同名函数；则需用诱导公式先化为同名函数： ，或 （5）仔细审题，分清楚那个是原函数，那个是变化后的函数。 【训练2－2】 （1）要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（　　） A、向左平移个单位 B、向右平移个单位　　C、向左平移个单位 D、向右平移个单位 2）将的图象变为，其变换方法是______________________ （3）已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象 A．向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度 （4）有下列四种变换方式: ①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移； ③横坐标变为原来的，再向左平移； ④向左平移，再将横坐标变为原来的； 其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是（ ） A．①和② B．①和③ C． ②和③ D． ②和④ （5、）写出函数y=4sin2x (x∈R)的图像可以由函数y=cosx通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换) 2m 8m h P 考点三　三角函数模型的简单应用 【例3】►一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点 离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h(米)与时间 t(分钟)之间的函数关系式. 【训练3】 设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系. t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象. 根据上述数据，函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 自我检测题 一，选择题 1、（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ ）． A．一定是奇函数 　　　　B．一定是偶函数 C．一定是奇函数 　　　　 D．一定是偶函 2、函数y=tg（）在一个周期内的图象（　　） 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　 A、　　　　　　　　　　B、　　　　　　　　　　C、　　　　　　　　　D、 3、（2005福建卷理）函数的部分图象如图，则 A． B． C． D． 4、函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A、0 B、－1 C、2＋2 D、2－2 5、函数，给出下列三个命题： ①函数在区间上是减函数；②直线是函数的图象的一条对称； ③函数的图象可以由函数的图象向左平移而得到。 其中正确的是 （ ） A．①③ B①② C．②③ D．①②③ 6、函数的部分图象如图所示，，则函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7、（江苏卷江苏卷）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） （B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） （C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 8、（2009浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是 ( ) 9．函数在区间内的图象是 10、02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的 面积为1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值是 ( ) (A) 1 (B) (C) (D) - 二填空题 11、.函数y=cos(sinx)的奇偶性是 ；最小正周期是________________ 12、已知函数y= f(x)的定义域是[0, ]，则函数y=f(sin2x) 的定义域.是____________________ 13、对于下列四个命题：①；②； ③；④。其中正确命题的序号是_________________ 14、已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)，则ω的值为________． 15、曲线和直线在轴右侧有无数个交点，把交点的横坐标从小到大依次记为则等于____． 三、解答题 16、已知函数（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为 （1）求的解析式；（2）当时，求的值域. 17、函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=的性质，并在此基础上，作出其在 （提示： ） 18、已知，是否存在常数，使得f（x）的值域为？若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由。 19、已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称， x y o -π 1 当时，函数， 其图象如图3所示 （1）求函数在的表达式； （2）求方程的解．