高一数学必修1学习知识重点情况总结.doc

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编号:2629374    类型:共享资源    大小:822.10KB    格式:DOC    上传时间:2020-04-25
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数学 必修 学习 知识 重点 情况 总结
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-! 高中数学必修1知识点 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 (Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (Ⅱ)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(文氏图): 4、常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 aA 6、集合的分类: 1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集 对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作AB 注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n. 2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集. 记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A,A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A , A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 S CsA A (2)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即AS),由S中 所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。 记作: CSA ,即 CSA ={x | xS且 xA} (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U (4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充: 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。 (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法:①定义域一致;②表达式相同 (两点必须同时具备) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法: A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法: 常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换 Ⅰ、对称变换: (1)将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:书上P21例5 (2) y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。如 (3) y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。如 Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(xa) 左加右减; 由f(x)得到f(x)a 上加下减 (3)作用:A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发现解题中的错误。 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 5.映射 定义:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB” 给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的; ③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6、函数的表示法: 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据:作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。 2 解析法:必须注明函数的定义域; 3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征; 4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f是g的复合函数。 7.函数单调性 (1).增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 0(C为常数)时,与的单调性相同; 当C < 0(C为常数)时,与的单调性相反; ⑤函数、都是增(减)函数,则仍是增(减)函数; ⑥若且与都是增(减)函数,则也是增(减)函数; 若且与都是增(减)函数,则也是减(增)函数; ⑦设,若在定义域上是增函数,则、、都是增函数,而是减函数. 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 函数奇偶性的性质 ① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称. ③若为偶函数,则. ④若奇函数定义域中含有0,则必有. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”.如设是定义域为R的任一函数, 则,. ⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个(,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 9、函数的解析表达式 (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本p30页) (1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; (2) 利用图象求函数的最大(小)值; (3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作=0。 注意:(1) (2)当 n是奇数时, ,当 n是偶数时, 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义,规定: 正数的正分数指数幂的意义: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) (2) (3) 注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如 (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.即 a>0且a≠1 2、指数函数的图象和性质 01 图 像 性质 定义域R , 值域(0,+∞) (1)过定点(0,1),即x=0时,y=1 (2)在R上是减函数 (2)在R上是增函数 (3)当x>0时,01 (3)当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,01 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快, 到了某一值后减小速度较慢; a>1 自左向右看,图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,00时,a,N在1的同侧;当b<0时,a,N在1的 异侧。 (2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用(1)的知识。 (3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用a1=a,用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数:y=N(1+p)x 简写:y=kax 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作: ( a— 底数, N— 真数,— 对数式) 说明:1. 注意底数的限制,a>0且a≠1;2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数: (1)常用对数:以10为底的对数, ; (2)自然对数:以无理数e 为底的对数的对数 , . 3、对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论:(1)负数和零没有对数 (2)logaa=1, loga1=0 特别地, lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式: (二)对数的运算性质 如果 a > 0,a 1,M > 0, N > 0 有: 1、 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 3 、 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍 说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式 3) 真数的取值必须是(0,+∞) 4) 特别注意: 注意:换底公式 利用换底公式推导下面的结论 ① ②③ (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 (a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:(1) 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如:, 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. (2) 对数函数对底数的限制:a>0,且a≠1 2、对数函数的图像与性质:对数函数(a>0,且a≠1) 0 < a < 1 a > 1 图像 y x 0 (1,0) y x 0 (1,0) 性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1 ,0), 即当x =1时,y=0 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数 当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当00 当x>1时,y>0 当x=1时,y=0 当00; 当a,b不同在(0,1) 内,或不同在(1,+∞) 内时,有logab<0. 口诀:底真同大于0(底真不同小于0). (其中,底指底数,真指真数,大于0指logab的值) 3、如图,底数 a对函数 的影响。 规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 4考点: Ⅰ、logab, 当a,b在1的同侧时, logab >0;当a,b在1的异侧时, logab <0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小,同底找对应的对数函数,底数不同真数也不同利用(1)的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递。 Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0,值域求法用单调性。 Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ,用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax(a>0且a ≠1) 与y=logax(a>0且a ≠1) 互为反函数,图象关于y=x对称。 5 比较两个幂的形式的数大小的方法: (1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. (3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0. 6 比较大小的方法 (1) 利用函数单调性(同底数);(2) 利用中间值(如:0,1.);(3) 变形后比较;(4) 作差比较 (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)α>0 时,幂函数的图象通过原点,并且在[0,+ ∞)上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸; (3)α<0 时,幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。(实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标) 2、函数零点的意义:方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点 3、零点定理:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)至少有一个零点c,使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法:求函数y=f(x)的零点: (1) (代数法)求方程f(x)=0 的实数根; (2) (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 5、二次函数的零点:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 1)△>0,方程f(x)=0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程f(x)=0有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程f(x)=0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点. 二、二分法 1、概念:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精确度ε; ⑵求区间(a,b)的中点c; ⑶计算f(c), ①若f(c)=0,则c就是函数的零点; ②若f(a)f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)) ③若f(c)f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)) (4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷ 三、函数的应用: (1)评价模型: 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。 (2)几个增长函数模型:一次函数:y=ax+b(a>0) 指数函数:y=ax(a>1) 指数型函数: y=kax(k>0,a>1) 幂函数: y=xn( n∊N*) 对数函数:y=logax(a>1) 二次函数:y=ax2+bx+c(a>0) 增长快慢:V(ax)>V(xn)>V(logax) 解不等式 (1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x (3)分段函数的应用:注意端点不能重复取,求函数值先判断自变量所在的区间。 (4)二次函数模型: y=ax2+bx+c(a≠0) 先求函数的定义域,在求函数的对称轴,看它在不在定义域内,在的话代进求出最值,不在的话,将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。 (5)数学建模: (6)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布 两个根都在(m,n )内 两个有且仅有一个在(m,n)内 x1∈(m,n) x2∈(p,q) y x n m m n m n p q f(m)f(n)<0 两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K,一个根大于K y x k k k f(k)<0
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