高三数学平面向量学习知识重点与题型情况总结(文科).doc

,. 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设，则+== （1）；（2）向量加法满足交换律与结合律； ，但这时必须“首尾相连”． 3、向量的减法： ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 ②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得= 6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若，则 (2) 若，则 (3) 若=(x,y)，则=(x, y) (4) 若，则 (5) 若，则 若，则 三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=︱︱︱︱cos 叫做与的数量积（或内积） 规定 2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系： 5乘法公式成立： ； 6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： ②对实数的结合律成立： ③分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立：； （2）消去律不成立不能得到 （3）=0不能得到=或= 7两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量，则= 8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角 cos== 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥ 10两个非零向量垂直的充要条件： ⊥＝O平面向量数量积的性质 【练习题】 1、给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3、设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 4、已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是(　　) A. B. C. D. 5、在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D．1 6、已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1b2＝________. 7、已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为(　　) A．150　　　　　　　 　 B．90 C．60 D．30 8、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________. 9、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a(a－b)＝0，则|2a＋b|＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．4 10、已知向量a＝(sin x,1)，b＝. (1)当a⊥b时，求|a＋b|的值； (2)求函数f(x)＝a(b－a)的最小正周期． 11、已知f(x)＝ab，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)(x∈R)． (1)求f(x)的周期和单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，＝3，求边长b和c的值(b>c)． A O M N P B 12、如图，在中，a，b,M为OB的中点，N为AB的中点，P为ON、AM的交点，则等（ ） A ab B ab C ab D ab 13．△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，ab＝0， |a|＝1，|b|＝2，则＝(　　) A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b 14．(2012郑州质检)若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为(　　) A．12 B．2 C．3 D．6 15．(2012山西省四校联考)在△OAB(O为原点)中，＝(2cos α，2sin α)，＝(5cos β，5sin β)，若＝－5，则△OAB的面积S＝(　　) A. B. C．5 D. 16、若a，b，c均为单位向量，且ab＝0，(a－c)(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)． A.－1 B．1 C. D．2 17、已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若＝－，则λ＝(　　)． A. B. C. D. 18如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)． (1)求顶点D的坐标； (2)若＝2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标． ． 【课后练习题】 1．下列等式：①0a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是(　　) A．2　　　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析：选C　 2．(2012福州模拟)若a＋b＋c＝0，则a，b，c(　　) A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B．一定不可能构成三角形 C．都是非零向量时能构成三角形 D．一定可构成三角形 解析：选A　 3．(2012威海质检)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　 4．(2012海淀期末)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近B)，那么＝(　　) A. －　　　　 B. ＋ C. ＋ D. － 解析：选D　 5．(2013揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 解析：选A　 6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为(　　) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在AB边所在直线上 D．P是AC边的一个三等分点 解析：选D　 7．(2012郑州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________. 答案：2 8．(2013大庆模拟)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________． 答案：平行四边形 9．设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________． 答案：④ 10．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝n i＋j，＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值． 或 7．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________. 答案：4 8． P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________． 答案： 9．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________． 答案：k≠1 10．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式； (2)若＝2，求点C的坐标． (5，－3)． 11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求： (1)|a＋3b|； (2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？ 方向相反． 12．已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求点M在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线． 8．已知向量a，b夹角为45，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________. 答案：3 9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________． 答案：8 10．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45. (1)求b； (2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c. c＝b＝(－1,3)． 11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)? 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直． 12．设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<360)，b＝. (1)求证：向量a＋b与a－b垂直； (2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小． α＝30或α＝210.