高等数学公式定理资料汇总.doc

,. 第七章 考点1. 向量的运算： 1）设求 解： 考点2.旋转曲面方程：绕y轴旋转一周得：，其它旋转类似 2）曲线绕x轴（或者y轴）旋转一周的方程 解：绕x得到：。绕y轴得到： 考点3 平面方程：点法式方程，截距式： 3）一个平面过点p(1,-3,2), 且垂直于点A(0,0,3)和点B(1,-3,-4)的连线，求该平面方程 解：法向量 平面方程为 总复习：p40页 习题A全做。 考点4. 求直线方程：点向式直线方程为 4）求通过点(1,2,-4)垂直于平面的直线方程 解：直线方程为 5）求通过A(1,-1,1)和B（2，3，2）两点的直线方程 解：直线方程 第八章 考点5、二元函数的极限： 1）（2010级）2。 2）4 3） 考点6、二元复合函数的一阶偏导数： 4）求偏导数 解：， 考点7、隐函数求微分： 5）（2004级）（2010级）2）求函数z=，其中具有一阶连续偏导数，求 解：， ，dz=。 ,. 6）设函数，且是由方程确定的隐函数，求du 解：du=，而 补）6-1）求 解： 考点8、多元函数条件极值（两个考点）： （2010级）7）在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。 解：椭圆上点到直线的距离为故设拉格朗日函数： 解 得 驻点；，故点为所求。 考点9、多元函数无条件极值（两个考点）： 设(1)当，在取得极值，且当时取得极大值，时取得极小值。（2）当，在没有极值。（3）当时，不能确定。 （2009级）8）、求函数的极值。 解：由又 第九章 二重积分： 考点10、交换积分次序： 直角坐标系：X型积分，两竖线夹区域定，另一竖线定y的值。类似Y型区域。 （2005级）9）、交换二次积分次序，则. 10)交换积分次序 = 考点11、极坐标计算二重积分： 极坐标系：两射线夹区域，另一射线定大小，，。 11）计算积分 解：D={} 12) ，其中D是由 围成的区域。 解：D={} === 三重积分： 直角坐标系：区域投影在xoy面定，另一投影线定z的范围。。 考点12、柱面坐标系：区域投影在xoy面定,将化为极坐标,另一投影线定z的范围 （只考柱面坐标计算） （2009级）13）求由球面与圆锥面所围成的立体的体积。其中立体满足： 解：由，消去得，故立体在面的投影域为， 用柱面坐标 （2004级）14）求由曲面及所围成的立体的体积. 解：,由交线 ,由极面坐标公式 考点13 球面坐标系： 区域投影定，再求与z正半轴的夹角，射线交定。，，。注释：当为柱体或球体时，采用柱面坐标积分。 （2010级）15）在球面坐标下将化为三次积分，其中是由曲面所围成的闭区域，则 （2008级）16）计算三重积分 。 解： 第十章 考点14、对弧长的曲线积分： （1）直角坐标系：将直角坐标代入积分= （2006级）17）设有曲线：的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分： 。 (2013级)18) 求，其中L是x+y=1与x轴及y轴所围成的整个边界。 （2）参数方程：将参数坐标代入积分= （2004级） 19）设L为圆弧：，则曲线积分= （3）极坐标方程：将参数坐标代入积分= 考点15、对面积的曲面积分：口诀：曲面投影定，替换ds=和z。 （2008级）20）计算，其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面. 解：，ds==，化极坐标 （2010级）21）计算其中是上介于的部分。 解：曲面在的投影为记，则： 考点16、格林公式计算：（对坐标的曲线积分：直角坐标系，参数方程，极坐标方程直接代入积分，若L是封闭曲线，则用格林公式=。） （2006级）22）利用格林公式，计算曲线积分：为三顶点分别为 （0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向边界. 解： 由格林公式，得 解法2: (2010级) 23)计算曲线积分其中L为逆时针方向的上半圆周 解： 补直线从点到点则由格林公式 考点17、积分与路径无关：全微分函数求法（折线法）。积分与路径无关（），则 =+。 （2007）24）当 2 时，曲线积分 与路径无关. (2010)2)证明曲线积分在xoy面内与路径无关，并计算 的值。 解：， 故曲线积分与路径无关， 取路径 则 (2013级）25)求对坐标的曲线积分 解：原式==50 考点18、全微分函数求法（折线法）： 若积分与路径无关（），则u(x,y)是某个的全微分， , +.。 26)证明是u(x,y)的全微分，并计算u(x,y)的值。 解：， 故曲线积分与路径无关，是u(x,y)的全微分， 取路径 则 27）判别下列方程是不是全微分方程，并求其通解u(x,y) 证明：P=，Q=显然，则通解u(x,y) 考点19、高斯公式计算三重积分： （非封闭区域，请补全成一个封闭区域，一般补一个z=a的面） 注意：高斯积分的是区域外侧.。 （2007级）1）利用高斯公式计算曲面积分： ，其中是曲面的上侧. 解：补：取下侧 = 2）利用高斯公式计算曲面积分其中是曲面（）的下侧.为常数）. 解： 补取上侧 =。 考点是必考！！！