高等数学复旦大学出版社习题集标准答案一.doc

,. 习题一 1. 下列函数是否相等,为什么? 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域 解: (1)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是. (2)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1). (3)要使函数有意义,必须 即 所以函数的定义域是. (4)要使函数有意义,必须 即 即或,(k为整数). 也即 (k为整数). 所以函数的定义域是, k为整数. 3. 求函数的定义域与值域. 解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 没,求 解: , 5.设,求. 解: 6. 设,求和. 解: 7. 证明:和互为反函数. 证:由解得, 故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数. 8. 求下列函数的反函数及其定义域: 解: (1)由解得, 所以函数的反函数为. (2)由得, 所以,函数的反函数为. (3)由解得 所以,函数的反函数为. (4)由得,又,故. 又由得, 即,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数的反函数为. 9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性: 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当时,有,当时,有, 故有.即函数有上界. 又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界. 又由知,当且时,,而 当且时,. 故函数在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞), 且,使. 取,则有, 所以函数在定义域内是无界的. 又当时,有 故. 即当时,恒有,所以函数在内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性: 解: (1) 是偶函数. (2) 函数是奇函数. 11. 设定义在(-∞,+∞)上,证明: (1) 为偶函数; (2)为奇函数. 证: (1)设,则, 有 故为偶函数. (2)设则, 有 故为奇函数. 12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x, 则准备费为103x; 又每批有产品件,库存数为件,库存费为元. 设总费用为,则. 13. 邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20 g按20 g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系. 解: 当x能被20整除,即时,邮资; 当x不能被20整除时,即时,由题意知邮资. 综上所述有 其中,分别表示不超过,的最大整数. 14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域. 图1-1 解: 从而 . 由得定义域为. 15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的? 解: (1)是由复合而成. (2)是由复合而成. (3)是由复合而成. (4)是由复合而成. 16. 证明: 证: (1)由得 解方程得, 因为,所以, 所以的反函数是 (2)由得,得; 又由得, 所以函数的反函数为 17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势: 解: 当时,. , 当n无限增大时,有三种变化趋势:趋向于,趋向于0,趋向于. ,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1. 18. 对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有: 解: ,,要使,只须.取,则当时,必有. 当时,或大于1000的整数. ,,要使 只要即即可. 取,则当时,有. 当时, 或大于108的整数. 19. 根据数列极限的定义证明: 证: ,要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故. (2) ,要使只要,取,则当n>N时,恒有.故. (3) ,要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而. (4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故. 20. 若,证明,并举反例说明反之不一定成立. 证: ,由极限的定义知,,当时,恒有. 而 ,当时,恒有, 由极限的定义知 但这个结论的逆不成立.如但不存在. 21. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值: 证: (1),不妨设,则 . 故对所有正整数n有,即数列有上界. 又 显然有,又由得,从而即, 即数列是单调递增的. 由极限的单调有界准则知,数列有极限. 设,则,于是,(不合题意,舍去),. (2) 因为,且, 所以, 即数列有界 又 由知与同号， 从而可推得与同号， 而 故, 即 所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在. 设, 则， 解得 (不合题意，舍去). 所以 22. 用函数极限定义证明： 证：(1),要使 , 只须,取，则当时，必有 , 故. (2),要使 , 只须,取，则当时，必有 , 故. (3) ,要使 , 只要取，则 当时，必有, 故. (4) ,要使 , 只须，取，则 当时，必有 故. (5) ,要使 , 只要取，则 当时，必有, 故. 23. 求下列极限： (7)若，求a和b. 解：. 由无穷大与无穷小的关系知， . 24. 解:因为 由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是 且 解得 . 25. 利用夹逼定理求下列数列的极限: 其中为给定的正常数; 解: 而,当时, . (2)记 则有 即 而 故 即 . (3) 即 而 故 . (4) 而 故 . 26. 通过恒等变形求下列极限： 解： 而 而 (14)令则当时，. 所以(利用(13)题的结果). (16)令， 则 而 所以 27. 利用重要极限，求下列极限： 解： (6)令，则当时，. 28. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限： 解：(1)令，则 于是： 即 即 即. (2)令，则 于是 即 即 故 即 . (3)令，则 于是 即 从而 故 即 . (4)令，则 于是： 即 即. 29. 当时，与相比，哪个是高阶无穷小量？ 解： ∴当时，是比高阶的无穷小量. 30. 当时，无穷小量与是否同阶？是否等价？ 解： ∴当时，是与同阶的无穷小. ∴当时，是与等价的无穷小. 31. 利用或等价无穷小量求下列极限： 解：(1)因为当时， 所以 (4)因为当时，,所以 (5)因为当时，所以 . (7)因为当时，,所以 (8)因为当时，所以 . (9)因为当时，,所以 (10)因为当时，，所以 (11)因为当时，所以 (12)因为当时，所以 (13)因为 而当时， 故 又当x→0进，所以 (14)因为当时， 故 所以 32. 求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？ 在处; 在处. 解： 因为 所以不存在. (2) 因为不存在，所以不存在. 33. 研究下列函数的连续性，并画出图形： 解：(1)由初等函数的连续性知，在（0，1），（1，2）内连续， 又 而，在处连续， 又，由，知在处右连续， 综上所述，函数在[0，2)内连续. 函数图形如下： 图1-2 (2) 由初等函数的连续性知在内连续，又由 知不存在，于是在处不连续. 又由 及知，从而在x=1处连续， 综上所述，函数在及内连续，在处间断.函数图形如下： 图1-3 (3)∵当x<0时， 当x=0时， 当x>0时， 由初等函数的连续性知在内连续， 又由 知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在处间断.图形如下： 图1-4 (4)当|x|=1时， 当|x|<1时， 当|x|>1时， 即 由初等函数的连续性知在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由 知不存在，从而在处不连续. 又由 知不存在，从而在处不连续. 综上所述，在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在处间断. 图形如下： 图1-5 34. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续： 解： 是函数的可去间断点.因为函数在x=1处无定义，若补充定义，则函数在x=1处连续；x=2是无穷间断点. 当时，. 为可去间断点，分别补充定义f(0)=1,，可使函数在x=0,及处连续.(); 为无穷间断点 (3)∵当时，呈振荡无极限， ∴x=0是函数的振荡间断点.(第二类间断点). (4) ∴x=1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.) 35. 当x=0时，下列函数无定义，试定义的值，使其在x=0处连续: 解： ∴补充定义可使函数在x=0处连续. ∴补充定义可使函数在x=0处连续. ∴补充定义可使函数在x=0处连续. ∴补充定义可使函数在x=0处连续. 36. 怎样选取a, b的值，使f(x)在(－∞,+∞)上连续？ 解：(1)在上显然连续，而 且, ∴当，即时，在处连续，所以，当时，在上连续. (2)在内显然连续.而 ∴当，即时，在处连续，因而在上连续. 37. 试证：方程至少有一个小于1的正根. 证：令，则在[0,1]上连续，且,由零点定理，使即 即方程有一个小于1的正根. 38. 试证：方程至少有一个不超过的正根，其中. 证：令，则在上连续， 且 , 若，则就是方程的根. 若，则由零点定理得. ,使即即，即是方程的根，综上所述，方程至少有一个不超过的正根. 39. 设在上连续，且,证明：方程在[0，a]内至少有一根. 证：令,由在上连续知，在上连续，且 若则都是方程的根， 若，则，由零点定理知，至少,使, 即，即是方程的根， 综上所述，方程在内至少有一根. 40.设在上连续，且，证明：至少存在一点，使. 证：令,则在上连续，且 若，则若,则,若,则,由零点定理，至少存在一点,使即. 综上所述，至少存在一点，使. 41. 若在上连续，,证明:在中必有，使 . 证: 由题设知在上连续，则在上有最大值M和最小值m，于是 , 由介值定理知，必有，使 .