高等数学第七章定积分的应用.doc

.* 第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数f(x)在区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量必须满足条件： （1）与变量x和x的变化区间以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）在上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如），并确定积分变量的变化区间； （2）取近似找微分：在内任取一代表性区间，当很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式≈（为量在小区间上所分布的部分量的近似值）； （3）对微元进行积分得 ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取为积分变量，其变化区间为，分割区间成若干个小区间，其代表性小区间所对应的面积微元 ， 于是 =． 解二 选取如图所示的坐标系， 取 为积分变量，其变化区间为．分割区间成若干个小区间，其代表性小区 间所对应的面积微元，于是 ． 解三 选取r为积分变量， 其变化区间为，如图，分割成若干个小区间，其代表性小区间所对应的面积微元，于是 ． 问题2 如何理解连续函数f(x) 在闭区间上的平均值是有限个数的算术平均值的推广． 解析 首先，我们知道几个数 的算术平均值为 ， 对于函数，我们把区间 n等分，设分点为a =．区间的长度，各分点所对应的函数值为，其算术平均值 可近似地表达函数在上取得一切值的平均值．显然，越大，分点越多，这个平均值就越接近函数在上取得一切值的平均值． 因此，称极限 为函数在闭区间上的平均值，记为． 下面用定积分表示函数在上的平均值．在定积分定义中，若取 ，，则 ， 这里． 因此 ， 即 ． 在生产实践和科学研究中，有许多连续量的平均值需要计算，如平均电流强度、平均电压、平均功率等等． 例2 求从0到T这段时间内自由落体运动的平均速度． 解 因为自由落体运动的速度，所以 ． 三、例题精解 例3 求纯电阻电路中正弦电流 在一个周期上的平均功率（其中及均为常数）． 解 设电阻为（为常数），则电路中的电压 ， 而功率 ， 因此p 在上的平均功率（功率的平均值） ， 这说明纯电阻电路中正弦电流的平均功率等于电流、电压的峰值之积的一半． 对一般的周期为T的交变电流，它在R上消耗的功率为，在上的平均功率为． 通常交流电器上标明的功率就是平均功率． 例4 当交变电流在其一个周期内在负载电阻R上消耗的平均功率等于取固定值电流I的直流电在R上消耗的功率时，称I为的有效值，即电流的有效值为I ，试求的有效值． 解 固定值为I的电流在电阻R上消耗的功率为． 对于交变电流在其一个周期内在负载电阻R上消耗的平均功率为 ， 于是 ， 得 为交变电流的有效值． 通常在交流电的电器上所标明的电流即为交变电流的有效值． 一般地，把 称为连续函数在上的均方根．因此，周期性电流的有效值就是它的一个周期上的均方根． 例5 由力学知道，位于平面上点处的质量为的几个质点所构成的质点系的质心（也叫质点系的重心）坐标计算公式为 ， ， 其中(质点系中全部质点的质量之和)，（质点系中，各质点关于y轴的静力矩mixi之和，称其为质点系对y 轴的静力矩），（质点系对轴的静力矩）． 由此可见，质点系mi（ ）的质心坐标（）满足：质量为，坐标为（）的质点M关于y 轴和x轴的静力矩分别与质点系关于y轴和x 轴的静力矩相等． 按上述关于质点系之质心的概念，用定积分的微元法讨论均匀薄片的质心． 解 设均匀薄片由曲线≥，直线x=a，x=b及x 轴所围成，其面密度为常数，其质心坐标（）． 为研究该薄片的质心，首先要将该薄片分成若干个小部分，每一小部分近似看成一个质点，于是该薄片就可近似看成质点系．具体做法如下： 将区间分成若干个小区间，代表性小区间所对应的窄长条薄片的质量微元 ， 由于很小，这小窄条的质量可近似看作均匀分布在窄条的左面一条边上，由于质量是均匀分布的，故该窄条薄片又可看作质量集中在点处且质量为的质点，所以这窄条薄片关于x轴及y轴的静力矩微元与分别为 ， ， 把它们分别在上作定积分，便得到静力矩 ， ， 又因为均匀薄片的总质量 ， 所以该薄片的质心坐标为 ， ． 上面关于质心（）的计算公式适用于求均匀薄片的质心，有关非均匀薄片质心的计算将在二重积分应用中予以介绍． 例6 求密度均匀，半径为的半圆形薄片的质心． 解 如图所示建立坐标系， R - R y O x 上半圆周方程，由对称性知，质心在轴上，即，利用例5中的质心计算公式得 故所求质心为． 四． 练习题 判断正误 (1) 由轴，轴及所围平面图形的面积为定积分； （√ ） 解析 轴、y轴及所围成的曲边三角形位于轴的上方，由定积分的几何意义可知，其面积正是． （2）闭区间上的连续函数在该区间上的平均值为 ； （ ） 解析 由定积分中值定理可知，闭区间上的连续函数在该区间上的平均值为． （3）由曲边梯形D：≤≤，0≤≤ 绕x轴旋转一周所产生的旋转体的体积 ； （ √ ） 解析 如图，对任意的，旋转体的截面积=．由平行截面物体的体积得 ==． （4）若变量y关于x的变化率为，则 ． （ ） 解析 关于的变化率为，则，积分得 ==． 2．填空题 (1) 设一平面曲线方程为，其中在上具有一阶连续导数，则此曲线对应于到的弧长L=；若曲线的参数方程为（≤≤），在上有连续导数，则此曲线弧长L= ； (2) 设一平面图形由所围成，其中，在上连续，则该平面图形的面积S= ； 解 如图， 因为， 取为积分变量，于是得 ，故平面图形的面积 =． (3) 周期为的矩形脉冲电流 的有效值为 ； 解 一般地，把称为连续函数在上的均方根．周期性电流的有效值就是它的一个周期上的均方根， 则 =+=， 所以此脉冲电流的有效值 ===． (4) 若某产品的总产量的变化率为，那么从到这段时间内的总产量为 ． 解 设总产量为， 则 =， 积分得 ===． 3. 解答题 （1）抛物线把图形分成两部分，求这两部分面积之比； 解 曲线围成的区域如图中阴影部分． 联立方程 或 得到两条曲线相交的交点为 （2，2），（2，）． 从而 =2=2()， 其中 = ===2+， ==， 所以 =2（2+）=2+， 而 +==8， 于是 =， 所以，两部分面积比为 ：=（9-2）：（3+2）． （2）计算与直线之间位于第一象限内的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积； 解 如图， 当时，=，我们可以把未封闭的区域看作当时的闭区域， 则其绕轴旋转一周的体积 ====， 所以，所得旋转体体积为． y O （3）一密度均匀的薄片，其边界由抛物线与直线围成，求此薄片的质心坐标； 解 如图， 由对称性知，质心在轴上，即=0，利用质心计算公式，有 ===， 所以，薄片的质心坐标为(，0)． （4）半径为m的半球形水池灌满了水，要把池内的水全部抽出需作多少功； 解 如图， 设水池的上边缘为轴，原点在半球形水池的圆心位置，轴竖直向下．球面方程为 =，则水深处所对应的截面半径为，截面面积．将到这层水抽出需克服的重力为 == =， 因为 == ==()， 所以，把水全部抽出需做功()． （5）一直径为6m的半圆形闸门，铅直地浸入水内，其直径恰位于水表面（水的密度为 103 kg/m3 ），求闸门一侧受到水的压力； 解 如图， 设水面为轴，原点在圆心位置，轴竖直向下．半圆形闸门的方程为 ，则到这层闸门的截面面积=2，所受到的压强=，压力==，闸门所受到的压力 == == ()， 所以，闸门的一侧受到水的压力为 ()． （6）某石油公司经营的一块油田的边际收入和边际成本分别为 ， 求该油田的最佳经营时间，以及在经营终止时获得的总利润（已知固定成本为4百万元，为实数）； 解 由最大利润原理，令 ，则 ，得 =， 总利润 == ==[ =（百万元）， 所以，油田的最佳经营时间为 年，经营终止时获得的总利润为 百万元． （7）有一弹簧，用5N的力可以把它拉长0. 01m，求把它拉长0. 1m，力所作的功； 解 已知 ， ， 所以 ， 即 ， , 所以 ==250=2.5() 所以，力所做的功为2.5()． （8）求心形线（a为常数）的全长． 解一 将极坐标转换为直角坐标，有 于是 =， =， 弧长微元 = = = ===， 所以，心形线的全长 ====8． 解二 将极坐标转换为直角坐标，有 则 弧长微元 == ==， 心形线的全长 = =2==8， 所以，心形线的全长为8．