高级中学函数图像全套汇编.doc

.* 指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 　　 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 　　 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a＞0，a≠1). 因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草图 由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表. 图 象 a＞1 a＜1 性 质 (1)x＞0 (2)当x=1时，y=0 (3)当x＞1时，y＞0 0＜x＜1时，y＜0 (3)当x＞1时，y＜0 0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数 (4)在(0，+∞)上是减函数 补充 性质 设y1=logax y2=logbx其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2 当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2 比较对数大小的常用方法有： (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较. 3.指数函数与对数函数对比 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=ax(a＞0，a≠1) y=logax(a＞0，a≠1) 定义域 (-∞，+∞) (0，+∞) 值域 (0，+∞) (-∞，+∞) 函 数 值 变 化 情 况 当a＞1时， 当0＜a＜1时， 当a＞1时 当0＜a＜1时， 单调性 当a＞1时，ax是增函数； 当0＜a＜1时，ax是减函数. 当a＞1时，logax是增函数； 当0＜a＜1时，logax是减函数. 图像 y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称. 幂函数 幂函数的图像与性质 幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 时，幂函数图像过原点且在上是增函数． ③ 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y 定义域 R R R 奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减 幂函数（R，是常数）的图像在第一象限的分布规律是： ①所有幂函数（R，是常数）的图像都过点； ②当时函数的图像都过原点； ③当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）； ④当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如） ⑤当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如） ⑥当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如） 当时，幂函数有下列性质： （1）图象都通过点； （2）在第一象限内都是增函数； （3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。 当时，幂函数有下列性质： （1）图象都通过点； （2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的； （3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近； （4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。 无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。 对号函数 函数（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，（当且仅当即时取等号），由此可得函数（a>0,b>0,x∈R+）的性质: 当时，函数（a>0,b>0,x∈R+）有最小值，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。函数（a>0,b>0）在区间（0，）上是减函数，在区间（，+∞）上是增函数。 因为函数（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数（a>0,b>0,x∈R-）的性质： 当时，函数（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数（a>0,b>0）在区间（-∞，-）上是增函数，在区间（-，0）上是减函 奇函数和偶函数 （1）如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数． 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数． 说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇 　(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x) 是不易的．为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数．用这个方法判断此函数较为方便：f(x) 　(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值， 当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数． 　(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形． 　(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证． 　例 如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性． 　解 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0 　　则有－x1＞－x2＞0， 　　∵f(x)在(0，+∞)上是增函数， 　　∴f(－x1)＞f(－x2) 　　又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立， 　　∴=－f(x1)＞－f(x2) 　　∴f(x1)＜f(x2)． 　　∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数． 　　由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同． 　　类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反． 时，f(x)的解析式 　　解 ∵x＜0，∴－x＞0． 　　又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)． 偶函数图象对称性的拓广与应用 　　 我们知道，如果对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真．由此可拓广如下： 　　 如果存在常数a，b，对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x，a+x，b-x仍在 　　 　　 　　 (a+b-x，f(x))，而f(a＋b－x)＝f[a＋(b－x)]＝f[b－(b－x)]＝f(x)，对称点P(a+b-x， 　　 　　 　　 　　 　　称；