2022年电磁场与电磁波电子教案 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载第三章静态电磁场及其边值问题的解31 真空中静电场的基本方程3.1.1场的基本方程由亥姆霍兹定理， 矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。一、真空中静电场的散度高斯定理1、真空中静电场的散度可以证明，真空中静电场的散度为）（处 电 荷 密 度 为）（处 无 电 荷rrrrE0/0静电场高斯定理微分形式说明： 1）电场散度仅与电荷分布有关，其大小)(r；2）对于真空中点电荷，有()0(0 )E rr0/(0 )E rqr或（ ）2、高斯定理高 斯 定 理 的 积 分 形 式0000)()(1)(/)()(QsdrEQdvrsdrEdvrd

2、vrEsvsvv讨论： 1）物理意义：静电场E穿过闭合面 S 的通量只与闭合面内所包围电荷量有关（场与所有电荷有关） ；2）静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场；3）无电荷处，源的散度为零，但电场不一定为零。二、真空中静电场的旋度环路定理BARRlrlRRqRdRqRl deql dEBA1144?402020当 A 点和 B 点重合时，0cl dE静电场环路定理的积分形式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载由斯托克斯公式，0E环路定理的微分形式讨论： 1）物理意义：在静电场中将单位电荷

3、沿任一闭合路径移动一周，静电场力做功为零静电场为保守场；2）静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡场，电力线不构成闭合回路。三、真空中静电场性质小结1、微分形式积分形式lsldrEQsdrEErE0)(/)(0/)(002、静电场性质：有源无旋场，是保守场3、静电场的源：电荷讨论：对于静电场，恒有0E，而0)()(rE为标量辅助函数静电场可以由一标量函数的梯度表示。补充内容：利用高斯定理求解静电场00)(1)(QdvvsdrEvs1、 求解关键：高斯面的选择2、高斯面的选择原则：1） 场点位于高斯面上2）高斯面为闭合面3） 在整个或分段高斯面上，E或sdE为恒定值。3、 适用范围：呈对程分布的

4、电荷系统。3.1.2 电位函数一、电位函数与电位差1、电位函数0)(0EE可用一标量函数表示E讨论： 1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数2） “-”号表示电场指向电位减小最快的方向3）在直角坐标系中，zyxezeyexE?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载2、电位差（电压）电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。电位差的计算：?lllBBABABAAeelEedEdllEdlEdl为增加最快的方向电场空间中两点间电位差为：ABABldE说明：1）意义：A、B 两点间的电位差等于将单

5、位点电荷从B 点移动到 A 点过程中电场力所做的功；2）两点间的电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与路径无关。3、电位参考点电位函数不唯一，导致电场分布具有不确定性设)(cEc为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值。选择电位参考点的原则：1）应使电位表达式有意义；2）应使电位表达式最简单；3）同一个问题只能有一个参考点；4）电位参考点的电位值一般为零。二、电位函数的求解1、点电荷的电位Q pq p )11(4?4)(020QpQprppQpQpQPrrqrdreql dEl dE选取

6、 Q 点为电位参考点，则0QQpprrq1140若参考点 Q 在无穷远处，即Qr，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载rqr04)(点电荷在空间产生的电位说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点。2、无限长线电荷的电位EpQ p )ln(ln2?200pQlQprlrrerE电位参考点不能位于无穷远点， 否则表达式无意义， 根据表达式最简原则，选取1r柱面为电位参考点，即1Qr，得plprln20无限长线电流在空间产生的电位3、分布电荷在空间产生的电位体电荷：vcdvRrr)(41)

7、(0面电荷：sscdsRrr)(41)(0线电荷：llcdlRrr)(41)(0说明：若参考点在无穷远处，则0c。综上所述，电位是一标量电位是一相对量，与参考点的选取有关电位差是绝对的引入电位函数的意义：简化电场的求解间接求解法在某些情况下， 直接求解电场强度很困难， 但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求解电位函数，再由关系E得到电场解。三、电位的微分方程1、方程的建立有源区精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载00EE即20电位的泊松方程无源区020电位的拉普拉斯方程（不同坐标系下方程的表示略）

8、电位的边界条件10l120Edl212nnsDDDE而有1212snn若0s有2121120nn3.1.3 电容一、电容1、孤立导体的电容定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即UQC电容 C 只与导体几何性质和周围介质有关，与q 和无关；例： 空气中半径为 a的孤立导体球aQCaQ00442、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容）21QC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载C 只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关；例： 平行板电容器电容（导体球、圆柱等）dsdsEdsQCsss00213.

9、1.4 电场能量一、空间总电场能量1、分布电荷总能量空间电荷分布)(r，在空间中产生的电位为)(r，空间总电场能量为：vedvrrW)()(21说明： 1）此公式只适用于静电场能量求解；2）21不表示能量密度；3）)(r为空间中自由电荷分布；4）积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。2、带电导体系统总能量若电量为 q的电荷分布在导体上， 导体电位为)(r，空间总静电场能量为qWe21i导体所带电量N 个导体，iiieqW21i导体电位二、 电场能量密度vsvvvedvEDsdDdvDDdvrDdvrrW212121)(21)()(21第一项：22111,DdsrDdsrrr,0srDd

10、s1( )( )2eevvWD rE r dVw dV精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载21122ewDEE电场能量密度例 3.1.6 P102 三、静电力 ( 虚位移法 ) 虚功原理如下：设空间一定位形结构的带电体系，静电能为。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作用下发生小的虚位移，静电力作的虚功为： (力为广义力 ) 该虚功等于电荷体系能量的减少若系统与外界电源相连，外界电源供给的能量为sdW，则该系统的能量关系为siiedWF dgdW3.2 恒定电场分析（恒定电流空间中存在的电场）一、恒定

11、电场基本方程基本量JE、基本方程：有源无旋场00cl dEE恒定电场空间中电荷分布不变0t由电流连续性方程，vsvsdJdvJdvtJ000)(0J)()(rErJ，有00)(EE均匀导电媒质，=常数由000)(02EEEE二、欧姆定律体积元：电导率，电场E由欧姆定律?/UEd lIJd sJsElRd ld s?()slAFl l leWeWeeeWWWeeeAWWWeW精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载/JEEJ单位矢量讨论： 1）在理想导体)(内，恒定电场为 0；2）恒定电场可以存在于非理想导

12、体内；3）在导电媒质内，恒定电场E和J的方向同。三、焦耳定律在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功，设电荷量V，运动速度为 v ，则电场力在时间t 所做的功为wtvEVldFw功率VEJtwdP电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉。导电媒质中单位体积功率损耗为2EEJVPp焦耳定律的微分形式体积为 V 的导电媒质内的损耗功率为vdvJEP焦耳定律的积分形式四、恒定电场边界条件J的边界条件nnsJJnJJsdJ21210?)(0E的边界条件ttlEEnEnEl dE2121?0电位边界条件0211122nn讨论：21212211tgtgtgtg若2，则01在

13、理想导体表面上，E和J都垂直于边界面。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载静电场和性质的比较：相同点：不同点：1、场性质相同，均为保守场；1、源不同；2、场不随时间改变；2、存在区域不同，静电场只能3、均不能存在于理想导体内部。存在于导体外，恒定电场可以存在于非理想导体内。静电场恒定电场静电比拟EDldEsdDls00EJl dEsdJls00GCEEJD3.3 恒定磁场分析3.3.1 真空中恒定磁场基本方程1、磁场基本方程csHdlJdsHJ00SBdsB恒定磁场性质：1）无源场，磁感应线无头无尾且

14、不相交；2）有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁感应线构成闭合回路。注意：1）空间中任意一点的磁场的旋度只与当地的电流密度有关；2） 定理中，电流为回路所围电流的代数和，H 为回路 C 内外的电流共同产生。2、边界条件12121212?()0?()nnnnsttseBBBBeHHJHHJ若0sJ，则120ttHH3.3.2矢量磁位一、矢量磁位的引入0( )()0BBA rA（ Tm ）二、库仑规范精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载要求： B 与( )A r间满足一一对应关系1、矢量位的任意性设()()()

15、ArA rr( )r为任意标量场()()()ArA rr而( )0r有()()ArA rB而()()()ArA rr2()()()0ArA rr上式表明( )A r和( )A r为性质不同的两种矢量场，这意味着满足( )BA r的( )A r有无限多个。2、库仑规范条件由上所述，必须引入新的条件对( )A r进行限定。由亥姆霍兹定理可知，矢量场的性质由起旋度和散度决定，( )A r的旋度已知，必须对其散度进行限定。令()0A r库仑规范条件注意：规范条件是人为引入的限定条件三、矢量磁位的求解1、矢量磁位满足的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页