最新北京大学高等数学GS14ppt课件.ppt

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1、1.4 函数的极限函数的极限序列的极限是函数极限的特殊情形.( ),(0,),( ),1,2,nyf x xaf n n下面考虑一般函数的极限,即在自变量x的某一变化过程中,函数 的变化情况.这时,自变量的变化有下面这些可能:( )yf x(1),0;xaaxa从 的右侧趋向记作(2),0;xaaxa从 的左侧趋向记作a xx a(3),;xaaxa同时从 的两侧趋向记作(4),;xx 无限制地增大 记作(5),;xx 无限制地减小 记作a xo xx o(6),xxx无限制地增大 即 沿 轴的正向与负向同时无限,.x 远离原点 记作o x0,0,0,( ).xaf xl 使当时 恒有 ( )

2、( ) ,0,0,0,limrrxayfxaUaUaaar aa arlfxlxaxafxlfxlfxl xa 设是定义在一点 的空心邻域 上,若存在一个实数对于任意给定的(无论它多么小)都存在一个使得 只要 则称当时,以 为极限,记作 或 定义定义此时也称当xa时,f (x)的极限存在.此定义也可表达为:或0,0,( ),( )( ).xUaf xUl使当时 恒有00,lim( )lim( )lim( ).xaxaxaf xlf xf xl 显然:,由此得 若左侧或右侧极限中有一个不存在 或虽都存在但不相,.等 则双侧极限不存在 axOy)(xfy l0给定llaa 目的：对任意的0, 要找

3、0，使得0|x-x0| 时，有|f(x)-l|.即 l f (x) l+.哈哈, 找到了!yyx111yx1xO. 0, 1, 0, 0, 0, 1)(xxxxxxf 例7 函数当x0时f(x)的极限不存在 因为f(x)在 x = 0 的左极限为0 00 0lim( )lim (1)1,xxf xx 右极限为0 00 0lim( )lim (1)1,xxf xx 所以极限 不存在)(lim0 xfx0 00 0lim sgn1, lim sgn1,xxxx 又如sgn0.xx 故在处的双侧极限不存在因此对于任意给定的正数 ，任意取一正数 ， 当0|xx0| 时，都有|f (x)c|=|cc|=

4、00, 0, 当0|xx0| 时, 都有|f(x)l| . 证明： 因为 0 ， 0 ，所以只需 |x1| ，即取 |f(x) 2|=|x1| ，使当0|x1| ，有112xx |f (x) 2|= | 2|=|x12|=|x1|，要使|f (x)2|0(或 A0(或f(x)0)注注:这样的邻域不唯一这样的邻域不唯一. 定理定理6 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)，而且 证明： 设f(x)0 假设上述论断不成立，即设l0， 那么由上面的定理5就有 x0 的某一去心邻域, 在该邻域内 f(x)0， X 0， x : x X，有 | f (x)l|X的一切 x，对应的函数数值

5、f(x) 都满足不等式| f(x) l | ， 则常数 l 叫做函数f (x)当x +时的极限记作( )( );f xlf xl表示任意小0,.XxXx 表示的过程lim( ).xf xl例10 证明lim0.xxe证 0,0,ln .xxeex 为使只要即故取ln ,0,xXxXe 则当时 必有从而lim0.xxe1.当x+函数极限精确定义：02 .:x 情形0,0,( ).XxXf xl使当时 恒有01 .:x 情形lim( )xf xl 0,0,( ).XxXf xl 使当时 恒有lim( ),xf xl2、另两种情形:lim( )xf xl 定理lim( )lim( ).xxf xlf

6、 xl且,lim( )lim( ),xxf xf x因此 若与中有一个不存在 或两个都存在但不lim( ).xf x相等,则不存在lim0.lim,lim.xxxxxxeee例 已证但不存在 故不存在,lim( )lim(1).xyf xlfyl又 显然有存在关于极限的夹逼定理,极限不等式,极限四则运算,对无穷取限情形也都同样成立.yf (x)O xyXXlll极限xlimf (x)A 的定义的几何意义：l例 6. 证明01limxx. 例11 证明 |1| 01|)(|xxAxf , 所以01limxx. 因为 0, 0, 01X, 当|x|X 时, 有 01X, 当|x|X 时, 有 分析

7、 |1| 01|)(|xxAxf. 0, 要使|f(x)A| , 只要 0, 要使|f(x)A| , 只要1|x. lll例例12 证明证明21121lim xxx证证|12|12321121 xxxx 因故不妨设故不妨设|x|1， 而当而当|x|1时时|1|2|12|xxx |12|12321121 xxx|3|123xx 0 21121xx要要使使同同时时成成立立和和只只须须 3|1| xx3, 1max X令令时，便有时，便有则当则当Xx |12|12321121 xxx |3x11lim.212nxx即例例13 求证1lim 1.xxex1lim 1.nnen注:已证,1,xx 证先考

8、虑任取 1111111, 1 xxxxxx 11lim 1lim 1 11xnxnxn 1111lim 1lim 1 xnnxxn1111lim 11.11nnenn11lim 11.nnenn 由夹逼定理即得1lim 1.xxex,.xyxy 现在考虑令则于是11lim 1lim 1yxxyxylim1yyyy111lim 11.11yyeyy1lim 11yyy11lim 1lim 1,xxxxexx由即得1lim 1.xxx推论 10lim 1.yyye在此极限中令 即得1,yx11,!x yxy和和互为倒数例14 设k为正整数,证明101(1) lim 1;(2)lim 1.kxkkx

9、xxekxex证 (1) 由 11lim 1lim1kkxxxxxx111lim 1lim 1lim 1xxxxxxkxxx 个;ke1101(2) lim 1lim 1k yykxxxykxy.ke证毕 设 在 的一个空心邻域内有定义,若对于任意给定的正数 ,不论它多么大,总存在一个 使得 时,就有 则称当 时， 为无穷大量, 记作五、无穷大量五、无穷大量M f x0,00 xx f xM0 xx f x0 x 0lim,xxf x 0fxxx 或 0f xxx 0f xxx 及类似地可定义注：无穷大量是极限不存在的一种特殊情况.作业 习题1.4: 1(1), 3(2)(4)(8)(11)(12)(13),4(2)(4)(6)(7).