复变函数在通信项目工程中的应用.doc

.- 学校代码：_ 11059___ 学 号：0907022036 Hefei University 毕毕业业论论文文（（设设计计）） BACHELOR DISSERTATION 论文题目：______ 复变函数在通信工程中的应用复变函数在通信工程中的应用______________ 学位类别：________________理学学士理学学士____________________________________ 学科专业：____________数学与应用数学数学与应用数学_________________ 作者姓名：_______ 易顺易顺__________________________ 导师姓名：___________ 王贵霞王贵霞_________________________ 完成时间：________ 20132013 年年 4 4 月月 1212 日日_________________ .- .- 复变函数在通信工程中的应用复变函数在通信工程中的应用 中中 文文 摘摘 要要 随着现代科学技术理论的发展，学科间的联系越来越密，通过相互协助， 为了使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷地解决，因此本论文研究 的目的是使物理学中（本文指通信工程）的问题得到简化并建立一定的模型和 一整套思路. 复变函数作为处理信号与系统的处理工具，在通信工程中起着极大的作用， 本文在对复变函数及通信工程的有关定理研究的基础之上，得出了复变函数中 的 Fourier 变换和 Laplace 变换及其逆变换在对处理通讯信号的表现形式上的 运用方法.使物理中复杂抽象的信号转变为可以精确描述的数学函数，从而大大 弱化了人们从事物理研究的难度. 关键词：关键词：FourierFourier 变换；变换；LaplaceLaplace 变换；积分；信号变换；积分；信号 .- The Application of Complex Function in Communication Engineering ABSTRACT With the development of modern scientific and technological theories, the relations among disciplines have become closer and closer. Mutual assistance can simplify the complex problems so as to solve them quickly and conveniently. Therefore, this paper here aims to simplify those problems in physics to build a certain model and construct a systematical way of thinking. As a tool in dealing with signals and systems, complex function plays an exceedingly significant role in communication engineering. Based on the theorem research related to complex function and communication engineering, this paper has concluded the methods used in dealing with forms of communication signals through Fourier transformation，Laplace transformation and its inverse transformation in complex function. Thus, complicated and abstract signals in physics can be converted to precisely descriptive mathematical function, which will lower the difficulty in physical researches to a large extent. KEY WORD:Fourier transformation;Laplace transformation;integration; signal .- 第一章 引 言................................................................................................................................1 1.1 复变函数的应用以及发展史..............................................................................................1 1.1.1 复变函数的简介......................................................................................................1 1.1.2 复变函数的应用.......................................................................................................1 1.2 复变函数在通信工程方面的研究现状............................................................................2 1.2.1 函数的应用...............................................................................................................2 1.2.2 信号的分类...............................................................................................................3 1.2.3 信号的简单处理.......................................................................................................3 1.2.4 通信中常用的基本函数...........................................................................................4 1.3 本文研究的主要内容和结构安排....................................................................................5 第二章 Fourier 积分和 Fourier 变换.........................................................................................6 2.1 Fourier 积分.....................................................................................................................6 2.2 Fourier 变换.....................................................................................................................7 第三章 Fourier 变换在信号分析中的应用.................................................................................9 3.1 确知信号的频域特征.........................................................................................................9 3.1.1 周期信号的频谱分析..............................................................................................9 3.1.2 非周期信号的频谱分析........................................................................................13 3.2 信号的能量谱..................................................................................................................15 第四章 Laplace 变换及其简单应用.............................................................................................20 4.1 问题的提出......................................................................................................................20 4.2 问题的解答......................................................................................................................20 4.3 Laplace 变换在信号系统中的简单应用.......................................................................21 第五章 总结..................................................................................................................................26 参考文献..........................................................................................................................................27 致 谢............................................................................................................................................28 .- 第一章第一章 引引 言言 1.1 复变函数的应用以及发展史复变函数的应用以及发展史 1.1.1 复变函数的简介 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了 负数开平方的情况,它的一般形式是：，其中是虚数单位.abjj 多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科， 它和单复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重 点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别.因为多复变全纯函数的性质在很 大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一 个由局部性质到整体性质的逐步的转移.它广泛地使用着微分几何学、代数几何、 拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新 和拓展研究的内容和领域. 就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数论的全面发 展是在十九世纪，这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变 函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是 抽象科学中最和谐的理论之一.为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、 达朗贝尔，法国的 Laplace 也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门 学科的先驱. 1.1.2 复变函数的应用 近代有些函数论研究工作是考虑把具有某种性质的一族函数合在一起研究.事 实上，P蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究，并且显示了其威 力.从这种观点出发的研究有了很大发展.它与其他数学分支产生了较密切的联 系. 复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分 析.但是多变数时，定义域的复杂性大大增加了，函数的性质较之单变数时也有 显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具. 从柯西算起，复变函数论已有了 150 年的历史.它以其完美的理论与精湛的 技巧成为数学的一个重要组成部分.它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作 为一个有力的工具被应用在实际问题中.它的基础内容已成为理工科很多专业的 必修课程.复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展， 并将取得更多应用. [1] .- 物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而且在数学 领域的许多分支也都应用了它的理论.复变函数论已经深入到微积分方程，数论 等学科，对它们的发展很有影响.现如今.复变函数论中仍有不少尚待研究的课 题，它将在更多数学家们的不懈努力下，继续向前发展，并将取得更多应用.比 如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的 结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做 出了贡献. 复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成 部分.它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它 的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程. 1.21.2 复变函数在通信工程方面的研究现状复变函数在通信工程方面的研究现状 人类的生活离不开信息交流，尤其在信息化高度发达的今天，信息传输与 人们的生产和生活更是密切相关.通信目前已成为学术界研究的热门课题，然而 在对通信研究的同时，大家不能忽视一个重要的部分---数学在通信中的应用. 数学推动着通信的发展，它将抽象的信息、信号等概念具体化，便于人类研究. 信号是信息传输技术的工作对象，而信号主要是用函数表示，这使得信号的各 种变换更加形象化.另外，数学中的极限、微积分（方程） ，数理逻辑，Fourier 变换，Laplace 变换，线性代数等知识以及数形结合、分类讨论等数学思想在 通信中都起到了至关重要的作用，因此数学与通信息息相关. 复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广.可以解决一些复杂的 计算问题.在物理领域的应用更是显而易见的，诸如流体力学、电磁学等领域. 在通信工程中，复变函数目前更多地体现在信号与系统的学习过程中.连续时间 信号的实频域分析和连续时间系统的实频域分析便是是运用 Fourier 级数及 Fourier 变换.而连续时间信号与连续时间系统的复频域分析便是运用到了 Laplace 变换的性质.作为复变函数中重要的 Fourier 变换和 Laplace 变换，我 们足以看到复变函数在信号即通信中的实用性和研究深度. 1.2.1 函数的应用 在信号传输系统中传输的主体是信号，系统所包含的各种电路、设备则是 为实施这种传输的各种手段.信号是随着时间变化的物理量，一般可以表示为一 个以时间为自变量的函数.所以在信号分析中，信号与函数二词常相通用. .- 1.2.2 信号的分类 信号可按照不同的函数形式进行分类：当信号是一确定的时间函数时，给 定某一时间值，就可以确定一相应的函数值.这样的信号是确定信号，反之称为 随机信号.如果在某一时间间隔内，对于一切时间值，除了若干不连续点外，该 函数都能给出确定的函数值，这信号就称为连续信号.和连续信号相对应的是离 散信号.离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值.用确定的 时间函数表示的信号，又可分为周期信号和非周期信号. 1.2.3 信号的简单处理 所谓对信号的处理，从数学意义来说，就是将信号经过一定的数学运算转 变为另一信号.基本的处理有叠加、相乘、平移，反褶、尺度变换微分与积分等.用 函数图形表示如下： (1) 相加与相乘 (2) 自变量的变换（波形变换） a、平移（时移或移位） b、压缩与扩展 -1 1 x(t) O O x(t+t0) t t 1 t01+t0 -1+t0 -1-t0 -t01-t0 1 1 Ot x(t-t0) .- (3) 微分与积分 微分 积分 1.2.4 通信中常用的基本函数. 在通信中，基本的信号知识是分析信号与系统的基础.而基本信号大都可用 .- 数学的函数来表示，以下例举几个常见信号及其函数： （1）直流信号：( )()f tAt    (2) 正弦信号：( )sin()f tAt （3）有始信号：又称因果信号，指的是对某一时间点，当时，其值为零 0 t 0 tt 的信号. （4）单位阶跃信号：  10 ( ) 00 t t t     （5）单位冲激信号： ( )00,( )1ttt dt     （6）斜坡信号：  0 ( ) 00 tt r t t    （7）实指数信号：( ),(0,0) t f tAet     （8）复指数信号：  ( ) tjt f tAe   （9）矩形脉冲信号： 1 2 ( ) 0 2 t g t t                  （10）取样信号： sin ( ) t Sa t t  1.31.3 本文研究的主要内容和结构安排本文研究的主要内容和结构安排 本文通过将复变函数中的两个重要变换——Fourier 变换和 Laplace 变换 以及通信工程原理中的信号处理结合起来，探讨复变函数在通信工程中的应用. 首先，引入 Fourier 积分和 Fourier 变换公式的来源，并结合数学函数实例体 现其用法.然后再根据通信工程中的周期信号与非周期信号形式，将 Fourier 变 换的用法体现在其实际应用中.除此之外，又由 Fourier 变换导出 Laplace 变换， 并按照上述写作思路，继续描述 Laplace 在处理通讯信号中的应用. .- 第二章第二章 FourierFourier 积分和积分和 FourierFourier 变换变换 2.12.1 FourierFourier 积分积分 在学习 Fourier 级数的时候，我们已经知道，一个以为周期的函数 [2] T 如果在上满足 Dirichlet 条件（即函数在上满足：1，连( ) T ft[,] 2 2 T T [,] 2 2 T T  续或只有有限个第一类间断点；2，只有有限个极值点） ，那么在上就可[,] 2 2 T T  以展成 Fourier 级数.在的连续点处，级数的三角形式为( ) T ft =+. ( ) T ft 0 2 a 1 (cossin) nn n an tbn t     (2.1） 其中 ，， 2 T   2 0 2 2 ( ) T TT aft dt T    ， 2 2 2 ( )cos T TnT aftn tdt T     (1,2,3,)n  . 2 2 2 ( )sin T TnT bftn tdt T     (1,2,3,)n  而对于 Fourier 级数的复指数形式为 . 2 2 1 ( )[( )] nn T jtjt TTT n ftfede T          事实上，利用欧拉公式 ，，cos 2 jj ee     sin 2 jj ee j      此时， （2.1）式可写为 =+( ) T ft 0 2 a 1 [] 22 jn tjn tjn tjn t nn n eeee ab j       =， 0 1 [] 222 jn tjn t nnnn n aajbajb ee        .- 如果令, 0 2 0 2 1 ( ) 2 T TT a cft dt T    22 22 1 [( )cos( )sin] TT TTTT ftn tdtjftn tdt T     2 2 1 [( )[cossin] T TT ftn tdtjn t dt T     ， 2 2 1 ( ) T jn t TT ftdt T e     (1,2,3,)n  ， 2 2 1 ( ) 2 T jn t nn TnT ajb cft edt T       (1,2,3,)n  而它们可以合写成一个式子 . 2 2 1 ( ) T jn t TnT cft edt T     (0, 1, 2, 3,)n    若令 ,则（2.1）式可写为 0 n(0, 1, 2, 3,)n    ， 0 1 ( )[] nn jtjt Tnn n ftcc ec e        n jt n n c e     也即 . (2.2) 2 2 1 ( )[( )] nn T jtjt TTT n ftfede T          对于非周期函数的展开问题，将在后文在通信工程中的应用给出. 2.22.2 FourierFourier 变换变换 FourierFourier 积分定理积分定理 若在上满足下列条件： [2] ( )f t(,)  1.在任一有限区间上满足 Dirichlet 条件；( )f t 2.在无限区间上绝对可积（即积分收敛） ，则有( )f t(,) |( )|f t dt    1 ( )[( )] 2 j tj t f tfed ed         （2.3） .- 成立，则左端的在它的间断点 处，应以来代替.这个定理( )f tt (0)(0) 2 f tf t 的条件是充分的. 我们已经知道，若函数满足 Fourier 积分定理中的条件，则在的( )f t( )f t 连续点处，便有（2.1)式，即成立. 1 ( )[( )] 2 j tj t f tfed ed         从（2.1）式出发，设 （2.4） ( )( ) j t Ff t edt       则 （2.5） 1 ( )( ) 2 j t f tFed        从上面两式可以看出，和通过指定的积分运算可以相互表达.（2.4）( )f t( )F 式叫做的 Fourier 变换式，可记为( )f t .( )[ ( )]Ff t F 叫做的象函数.（2.5）式叫做的 Fourier 逆变换式，可记为( )F( )f t( )F . 1 ( )[ ( )]f tF   F 叫做的象函数.( )f t( )F .- 第三章第三章 FourierFourier 变换在信号分析中的应用变换在信号分析中的应用 通信系统中所用到的信号是信息的载体和表达形式，也是传输、处理的 ]3[ 对象.根据信号参数的确知程度，可将其分为确知信号和随机信号两大类.确知 信号的特征是:无论是过去、现在还是未来的任何时间，其取值总是唯一确定的， 如一个正弦波形，当幅度，角频和初相均为确定值时，它就属于确知信号们就 是一个完全确定的时间函数，其变换规律可以用确知的函数表达式进行描述.反 之就是随机信号. 本章对常见确知信号及其变换进行介绍，将前述章节的数学理论运用于物 理实践中. 3.13.1 确知信号的频域特征确知信号的频域特征 频域是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系.对任何一个事物的描 述都需要从多个方面进行，每一方面的描述仅为我们认识这个事物提供部分的 信息.例如，眼前有一辆汽车，我可以这样描述它方面 1：颜色，长度，高度. 方面 2：排量，品牌，价格.而对于一个信号来说，它也有很多方面的特性.如 信号强度随时间的变化规律（时域特性） ，信号是由哪些单一频率的信号合成的 （频域特性）. 频域（频率域）——自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的 幅度，也就是通常说的频谱图.频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信 号幅度的关系. 对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信 号就完全相同.因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需 要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进行描述.动态信号从时间 域变换到频率域主要通过 Fourier 级数和 Fourier 变换实现.周期信号靠 Fourier 级数，非周期信号靠 Fourier 变换. 3.1.1 周期信号的频谱分析 在复变函数理论中，任何一个非周期函数都可以看成是由某个周期函( )f t 数当是转化而来的.为了说明这一点，我们作周期为函数，( ) T ftT  T( ) T ft .- 使其在之内等于，而在之外按周期延拓到整个数轴上,如[,) 2 2 T T ( )f t[,) 2 2 T T T 图 1 所示，很明显，当越大，与相等的范围也越大，这表明当T( ) T ft( )f t 时，周期函数便可转化为，即有T  ( ) T ft( )f t( )( ) limT T ftf t   t图 1 这样，在(2.2)式中令时，结果就可以看成是的展开式，即T  ( )f t 2 2 1 ( )lim[( )] nn T jtjt TT T n f tfede T          当取一切整数时，所对应的点便均匀地分布在整个数轴上.若相邻点的距离n n  以表示，即,或,则当时，有,所以 n  1nnn    2 n T     T  0 n  上式又可以写为 . 2 0 2 1 ( )lim[( )] 2 nn n T jtjt TTn n f tfede            （3.1） 当 固定时，是参数的函数，记为，即t 2 2 1 [( )] 2 nn T jjt TT fede        n () Tn  2 2 1 ()[( )] 2 nn T jjt TTnT fede         利用可将（3.1）式写成() Tn  0 0 ( )lim() Tnn n f t        很明显，当，即时，，这里0 n T  ()() Tnn   . 1 ()[( )] 2 nn jjt n fede          ( )f t .- 从而可以看做是在上的积分( )f t() n (,)  .( )() nn f td     即 .( )( )f td     亦即 . 1 ( )[( )] 2 j tj t f tfeed         这个公式称为函数的 Fourier 积分公式.( )f t 对于在通信工程中，任何一个周期信号（周期为） ，只要满足 DirichletT 条件，就可以展开为正交序列之和，即 Fourier 级数.周期信号的 Fourier 级数 有三角形式和指数形式两种表达式，三角形式的 Fourier 级数表达式为 0 11 1 ( )(cossin) 2 nn n a f tantbnt     （3.2） 式中，是信号基波分量的角频率，简称基频；和称为 Fourier 系 1 2 T   n a n b 数；代表直流分量.由级数理论知，Fourier 级数为 0 a 0 0 1 0 1 0 2 ( ) 2 ( )cos 2 ( )sin T T n T n af t dt T af tntdt T bf tntdt T                  1,2,3,n  （3.3） 式（3.2）和式（3.3）表明任何满足 Dirichlet 条件的周期信号都可以分解为 直流分量和一系列谐波分量的叠加，而各次谐波的分量的频率均为基频的整 1  数倍.实际工程中遇到的周期函数大多满足 Dirichlet 条件. 指数形式的 Fourier 级数表达式为 1 ( ) jnt n n f tF e     .- 式中，复系数为 n F 12 2 1 ( ) T jnt Tn Ff t edt T     显然，是的函数，即.实际上反 - 22 ( ) At f t t        0 他他 为 1 n 1 () nn FF n n F 映了周期信号的 Fourier 级数表示式中频率为的信号分量的幅度与相( )f t 1 n 位，通常称之为频谱.其大小描述了幅度随时间变化的关系，称为幅度谱；其相 位描述了相位随时间变化的关系，称为相位谱.指数形式的 Fourier 级数表明， 任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数( )f t 幅度（或相量）就是.由于指数形式表达简洁，便于计算，且物理概念清楚， n F 在通信中广泛应用. ]2[ 例例 1 1 已知一周期矩形信号，幅度为，脉宽为，周期为，如图 2( )f tAT 所示.求的频谱及其指数形式的 Fourier 级数.( )f t n F 解：解：在一个周期内，(,) 2 2 T T  - 22 ( ) At f t      2 t G t       Fourier 变换的定义式(4.4)求得矩形脉冲信号的频谱为 22 2 2 2sin() 2 ( )1() 2 jj j tj t ee FG edtedtSa j                 即 ( )() 2 G tSa    由以上得出的函数表达式即可绘出非周期矩形信号的频谱.并可知道非周期矩形 信号的频谱是一个连续谱. Fourier 变换是信号时域分析和频域分析的桥梁，在理论分析和工程实际 中都有着广泛的应用. 例例 3 3 试求取样函数频谱密度. t 图 3 ( )f t .- 解：解：取样函数的定义是： ( )sinSa tt t 采样函数的频谱密度为( )Sa t ,-1 sin ( ) 0, j t t Fedt t           1 他他 可见，时域中的的 Fourier 变换是一个门脉冲函数.反之，时域中的门脉( )Sa t 冲函数的 Fourier 变换一定是个函数.也即例 2 中的结果，其实这不是巧( )Sa 合，而是由于 Fourier 变换与频域的对称性而具有的结果. [4] 例例 4 4 正弦信号的频谱. 正弦信号可以用指数函数来表示，下面来研究指数信号 的傅氏变换.仿照前面的积分方法，可以求得它的傅氏变换 0 () jt Aet      为 00 () 0 0 0 ( ) sin() 22() limlim lim jtjtj t FAeedtAedt AA                      即 0 0 2() jt AeA     同样的方法可以得到 0 0 2() jt AeA       因为 00 -j 0 11 cos+ 22 jtt AtAeAe   根据傅氏变换的叠加性质得到 000 cos[ ()()]AtA   所以，正弦信号的傅氏变换在频谱图上表示为在正负频率轴位置上的冲激 0  函数. [5] .- 3.23.2 信号的能量谱信号的能量谱 设有电流信号流经电阻,在该电阻消耗的瞬时功率为.若( )f tR 2( ) ft R 为电压信号，则瞬时功率为.为了讨论方便，令.则代( )f t 2( ) ftR1R   2( ) ft 表了电流或者是电压信号在电阻上消耗的瞬时功率.它在的时间内1t    消耗的能量为 (3.6) 2( ) Eft dt    式中称作信号的归一化能量，简称为能量.当为有限值时，称E( )f tE   为能量信号.( )f t 下面我们介绍 Fourier 变换的理论应用之一，即帕斯瓦定理. [6] 设能量信号的傅氏变换为,即.则( )f t( )F( )( )f tF . (3.7) 222 1 ( )|( )||( )| 2 Eft dtFdFdf      这定理表明，信号的能量可以在时域计算也可以在频域计算. 其次，利用 Fourier 变换及其在通信工程理论中的应用，可描述能量在各 个频率分量的分布情况，定义了能量频谱密度函数；对能量为的能量信号E ，若频率函数满足( )f t( )E (3.8) 1 ( )( ) 2 EEdEdf      则称为的能量频谱密度函数，简称能量谱.比较式(3.7)和式(3.8)可( )E( )f t 以看出: 2 ( ) |( )|EF 即，能量信号的能量谱等于信号傅氏变换的模平方.能量谱反映了信号的能量在 频