2022年相似三角形培优训练 .pdf

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1、个性化辅导精品一对一讲义学生1 相似三角形分类提高训练一、相似三角形中的动点问题1.如图，在RtABC中， ACB=90 ，AC=3，BC=4，过点 B作射线 BB1AC动点 D 从点 A 出发沿射线AC方向以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E从点 C沿射线 AC方向以每秒3 个单位的速度运动过点D 作 DHAB于 H，过点 E作EF AC交射线 BB1于 F，G 是 EF中点，连接DG设点 D 运动的时间为t 秒（1）当 t 为何值时， AD=AB，并求出此时DE 的长度；（2）当 DEG与ACB相似时，求t 的值2.如图，在 ABC中，ABC 90 ，AB=6m，BC=8m，动点 P以

2、2m/s 的速度从 A点出发，沿AC向点 C移动同时，动点Q 以 1m/s 的速度从C 点出发，沿CB向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t 秒（1） 当 t=2.5s 时，求 CPQ的面积； 求 CPQ的面积 S （平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在 P，Q 移动的过程中，当 CPQ为等腰三角形时，求出t 的值3.如图 1，在 RtABC中，ACB90 ， AC6，BC8，点 D 在边 AB上运动， DE平分CDB交边 BC于点 E，EMBD，垂足为M，ENCD，垂足为N（1）当 ADCD时，求证： DEAC；（2）探究： AD 为何值时， BME与

3、 CNE相似？4.如图所示，在ABC中， BABC20cm，AC 30cm，点 P 从 A 点出发，沿着AB 以每秒 4cm 的速度向B点运动；同时点Q 从 C点出发，沿CA以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，当P 点到达 B点时， Q 点随之停止运动设运动的时间为x（1）当 x 为何值时， PQBC？（2）APQ与CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生2 5.如图，在矩形ABCD中， AB=12cm，BC=6cm，点 P沿 AB边从 A

4、开始向点B以 2cm/s 的速度移动；点Q 沿 DA边从点 D 开始向点A 以 1cm/s 的速度移动如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6） 。（1）当 t 为何值时， QAP为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？二、构造相似辅助线双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy 中，点 A 的坐标为 (2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段 OA的夹角是45 ，求这个正比例函数的表达式7.在ABC中， AB=，AC=4，BC=2，以 AB为边在 C 点的异侧作 ABD，使ABD为等腰直角三角形，求线段 CD的长8.在ABC中， AC=B

5、C ，ACB=90 ，点 M 是 AC上的一点，点N 是 BC上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点C恰好落在边AB上的 P点求证： MC：NC=AP：PB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生3 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边 OA在 x 轴上，边 OC在 y 轴上，点B 的坐标为（ 1，3） ，将矩形沿对角线AC翻折 B 点落在 D 点的位置，且AD 交y 轴于点 E 那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10.已知，如图，直线y= 2x2 与坐标轴交于A、B两点以AB 为

6、短边在第一象限做一个矩形ABCD ，使得矩形的两边之比为1 2。求 C、D 两点的坐标。三、 构造相似辅助线A、X字型11.如图： ABC中， D 是 AB 上一点， AD=AC ， BC边上的中线AE交 CD于 F。求证：12.四边形 ABCD中， AC为 AB、AD 的比例中项，且AC平分 DAB。求证：13.在梯形 ABCD中， ABCD，ABb，CDa，E为 AD 边上的任意一点，EF AB，且EF交 BC于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时， EF=；(2)当时， EF=；(3)当时，EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b 和 k表示 EF的一般结论，并

7、给出证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生4 14.已知：如图，在ABC中， M 是 AC的中点， E、F是 BC上的两点，且BEEF FC。求 BN：NQ：QM15.证明： （1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 （注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角平分线定理： 三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例四、 相似类定值问题16.如图，在等边 ABC中，M、N 分别是边AB，AC的中点， D 为 MN 上任意一点， BD、CD 的

8、延长线分别交 AC、AB 于点 E、F求证：17.已知：如图，梯形ABCD中， AB/DC，对角线 AC、BD交于 O，过 O 作 EF/AB分别交 AD、BC于 E、F。求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生5 18.如图，在ABC中，已知 CD为边 AB上的高， 正方形 EFGH的四个顶点分别在ABC上。求证：19.已知，在 ABC中作内接菱形CDEF ，设菱形的边长为a求证：五、 相似之共线线段的比例问题20.（1）如图 1，点在平行四边形ABCD的对角线BD 上，一直线过点P分

9、别交 BA，BC的延长线于点Q，S，交于点求证：（2）如图 2，图 3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍 然成立？若成立，试给出证明；若不成立 ，试说明理 由（要求仅 以图 2 为例 进行证明或 说明） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生6 21.已知：如图，ABC中， ABAC，AD 是中线， P是 AD 上一点，过C作 CF AB，延长BP 交 AC于 E，交 CF于 F求证： BP2PE PF 22.如图，已知ABC中， AD，BF分别为 BC，AC边上的高

10、，过D 作 AB的垂线交 AB 于 E，交 BF于 G，交 AC延长线于H。求证：DE2=EG?EH23.已知如图， P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与 AD、BC、CD的延长线、 AB的延长线分别相交于点E、F、G、H. 求证：24.已知，如图，锐角ABC中， ADBC于 D，H 为垂心（三角形三条高线的交点）；在 AD 上有一点P，且BPC为直角 求证： PD2AD DH 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生7 六、 相似之等积式类型综合25.已知如图， CD 是

11、 RtABC斜边 AB 上的高， E为 BC的中点， ED的延长线交CA于 F。求证：26 如图，在 RtABC中， CD是斜边 AB 上的高，点M 在 CD上， DHBM 且与 AC的延长线交于点E. 求证： （1） AEDCBM；（ 2）27.如图， ABC是直角三角形，ACB=90 ，CDAB 于 D，E是 AC的中点， ED的延长线与CB 的延长线交于点F. （1）求证：. （2）若 G 是 BC的中点，连接GD，GD 与 EF垂直吗？并说明理由. 28.如图，四边形 ABCD、DEFG都是正方形， 连接 AE 、CG,AE与 CG相交于点M，CG与 AD 相交于点 N 求证：精选学习

12、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生8 29.如图， BD、CE分别是 ABC的两边上的高，过D 作DG BC于 G，分别交 CE及 BA的延长线于F、H。 求证： （1）DG2BG CG ； （2）BG CG GF GH七、相似基本模型应用30.ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A= D=90 ， DEF的顶点 E 位于边 BC的中点上（1）如图 1，设 DE与 AB交于点 M，EF与 AC交于点 N，求证： BEMCNE ；（2）如图 2，将 DEF绕点 E旋转，使得DE与 BA的延长线交于

13、点M，EF与 AC交于点N，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论31.如图，四边形ABCD和四边形 ACED都是平行四边形，点R为 DE的中点， BR分别交 AC、CD于点 P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1 除外） ；（2）求 BP：PQ：QR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生9 32.如图，在 ABC中， ADBC于 D，DE AB于 E，DF AC于 F。求证：答案： 1.答案： 解： （1） ACB=90 ，AC=3，BC=4

14、 AB=5 又AD=AB，AD=5t t=1，此时 CE=3 ，DE=3+3-5=1 （2）如图当点D 在点 E左侧，即： 0t时，DE=3t+3-5t=3-2t 若DEG与ACB相似，有两种情况： DEG ACB，此时，即：，求得： t=； DEG BCA，此时，即：，求得： t=；如图，当点D 在点 E右侧，即： t时， DE=5t-(3t+3)=2t-3若DEG与ACB相似，有两种情况： DEG ACB，此时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生10即：，求得： t=； DEG BC

15、A，此时，即：，求得： t=综上， t 的值为或或或3.答案： 解： （1）证明： AD=CD A=ACD DE 平分CDB交边 BC于点 E CDE= BDE CDB为CDB的一个外角CDB= A+ACD=2ACD CDB= CDE+ BDE=2 CDE ACD=CDE DEAC （2） NCE= MBE EMBD，ENCD，BMECNE，如图NCE= MBE BD=CD 又 NCE+ ACD=MBE+A=90 ACD=A AD=CD AD=BD=AB 在 RtABC中，ACB90 ，AC6， BC8 AB=10 AD=5 NCE= MEB EMBD，ENCD，BMEENC，如图NCE= M

16、EB EMCD CDAB 在 RtABC中，ACB90 ，AC6， BC8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生11AB=10 A=A， ADC= ACB ACD ABC 综上： AD=5或时， BME 与 CNE相似4.答案： 解（ 1）由题意： AP=4x，CQ=3x ，AQ=30-3x，当 PQBC时，即：解得：（2）能， AP=cm 或 AP=20cm APQCBQ ，则，即解得：或（舍）此时： AP=cm APQCQB ，则，即解得：（符合题意）此时： AP=cm 故 AP=c

17、m 或 20cm 时， APQ与CQB能相似5.答案： 解：设运动时间为t，则 DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t（1）若 QAP 为等腰直角三角形，则AQ=AP，即： 6-t=2t ，t=2（符合题意）t=2 时， QAP为等腰直角三角形（2）B=QAP=90 当QAPABC时，即：，解得：（符合题意） ； 当PAQ ABC时，即：，解得：（符合题意） 当或时，以点Q、 A、P为顶点的三角形与ABC相似6.答案： 解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页

18、个性化辅导精品一对一讲义学生12过点 A 作 ABOA，交待求直线于点B，过点 A 作平行于y 轴的直线交x 轴于点 C，过点 B作 BDAC 则由上可知：90由双垂直模型知：OCA ADB A（2，1） ，45 OC2，AC1， AOAB ADOC 2，BDAC1 D 点坐标为（ 2，3）B 点坐标为（ 1， 3）此时正比例函数表达式为：y3x 第二种情况，图象经过第二、四象限过点 A 作 ABOA，交待求直线于点B，过点 A 作平行于x 轴的直线交y 轴于点 C，过点 B作 BDAC 则由上可知：90由双垂直模型知：OCA ADB A（2，1） ，45 OC1，AC2， AOAB ADOC

19、 1，BDAC2 D 点坐标为（ 3，1）B 点坐标为（ 3， 1）此时正比例函数表达式为：yx 7.答案： 解：情形一：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生13情形二：情形三：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生148.答案： 证明：方法一：连接 PC ，过点 P作 PDAC于 D，则 PD/BC 根据折叠可知MNCP 2+PCN=90 ，PCN+ CNM=90 2=CNM CD

20、P= NCM=90 PDC MCN MC：CN=PD ：DC PD=DA MC：CN=DA ：DC PD/BC DA：DC=PA ：PB MC：CN=PA ：PB 方法二：如图，过 M 作 MDAB 于 D，过 N 作 NEAB 于 E 由双垂直模型，可以推知PMDNPE，则，根据等比性质可知，而 MD=DA，NE=EB ，PM=CM，PN=CN ， MC：CN=PA ： PB 9.答案： A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生15解题思路： 如图过点 D 作 AB 的平行线交BC的延

21、长线于点M，交 x 轴于点 N，则 M=DNA=90 ，由于折叠，可以得到 ABC ADC，又由 B（1，3）BC=DC=1 ，AB=AD=MN=3， CDA= B=90 1+2=90 DNA=90 3+2=90 1=3 DMCAND，设 CM=x，则 DN=3x，AN=1x，DM3x3 x，则。答案为A 10.答案： 解：过点 C作 x 轴的平行线交y 轴于 G，过点 D 作 y 轴的平行线交x 轴于 F，交 GC的延长线于E。直线 y=2x2 与坐标轴交于A、B 两点A（1,0） ，B（0,2）OA=1，OB=2， AB=AB：BC=1:2 BC=AD=ABO+CBG=90 ，ABO+BA

22、O=90 CBG= BAO 又 CGB= BOA=90 OAB GBC GB=2，GC=4 GO=4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生16C（4,4）同理可得 ADFBAO，得DF=2，AF=4OF=5D（5,2）11.答案： 证明： （方法一）如图延长 AE到 M 使得 EM=AE，连接 CM BE=CE ，AEB=MEC BEA CEM CM=AB，1=B ABCM M=MAD， MCF=ADF MCF ADF CM=AB，AD=AC （方法二）过 D 作 DG BC交 AE于

23、G 则ABE ADG，CEF DGF ，AD=AC ， BE=CE 12.答案： 证明：过点 D 作 DFAB 交 AC 的延长线于点F，则 2=3 AC 平分 DAB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生171=2 1=3 AD=DF DEF=BEA ，2=3 BEA DEF AD=DF AC 为 AB、AD的比例中项即又 1=2 ACD ABC 13.答案： 解：证明：过点 E作 PQBC分别交 BA延长线和DC于点 P和点 Q ABCD，PQ BC 四边形 PQCB和四边形EQCF

24、是平行四边形PBEFCQ，又ABb， CDa APPB-AB EF-b，DQDC-QC a-EF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生1814.答案： 解：连接 MF M 是 AC的中点， EF FC MFAE 且 MFAEBENBFMBN：BMBE：BF NE：MFBEEF BN： BMNE：MF1:2BN：NM1:1 设 NEx，则 MF2x，AE4xAN 3xMFAENAQMFQNQ：QMAN：MF3:2BN： NM1:1，NQ：QM 3:2BN：NQ：QM5:3:2 15.答案：

25、 证明： （1）如图 1，AD、BE为 ABC的中线，且AD、BE交于点 O 过点 C作 CFBE，交 AD 的延长线于点F CF BE且 E为 AC中点AEO ACF ， OBDFCD ，AC 2AE EAO CAF AEO ACF D 为 BC的中点， ODBFDC BODCFD BOCF 同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生19（2）如图 2，AD 为ABC的角平分线过点 C作 AB 的平行线 CE交 AD 的延长

26、线于E 则BAD=E AD 为ABC的角平分线BAD=CAD E=CAD ACCE CE AB BAD CED 16.答案： 证明：如图，作DPAB，DQ AC 则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且DPQ是等边三角形BP+CQ MN，DPDQPQ M、N 分别是边AB，AC的中点MNBCPQ DPAB，DQAC CDP CFB ， BDQBEC ，DPDQPQBCAB AB（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生2017.答案： 证明： EF/AB，AB/DC EF/DC A

27、OE ACD，DOEDBA ，18.答案： 证明： EF CD，EHAB ，AFE ADC， CEH CAB ，EF EH 19.答案： 证明： EF AC，DE BC ，BFE BCA， AEDABC ，EF DEa 20.答案： （ 1）证明：在平行四边形ABCD中， AD BC，DRP= S，RDB= DBS DRP BSP 同理由 ABCD可证 PTD PQB （2）证明：成立，理由如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生21在平行四边形ABCD中， ADBC，PRD= S，R

28、DP= DBS DRP BSP 同理由 ABCD可证 PTD PQB 21.答案： 证明 :ABAC，AD 是中线，ADBC,BP=CP 1=2 又 ABC= ACB 3=4 CF AB 3=F, 4=F 又 EPC= CPF EPC CPF BP2PE PF即证所求22.答案： 证明： DEAB 90 90 ADEDBE DE2=BF AC 90 90 且BEG HEA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生22DE2=EG•EH 23.答案： 证明：四边形 ABCD为平行四边

29、形ABCD，AD BC 1=2，G=H，5=6 PAH PCG 又 3=4 APE CPF 24.答案： 证明：如图，连接BH 交 AC于点 E ，H 为垂心BE AC EBC+ BCA=90 ADBC于 D DAC+BCA=90 EBC= DAC 又BDH=ADC=90 BDH ADC ，即BPC为直角， AD BCPD2BD·DC PD2AD·DH 25.答案： 证明： CD是 RtABC斜边 AB上的高， E为 BC的中点CE=EB=DE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页个性化

30、辅导精品一对一讲义学生23B=BDE= FDA B+CAB=90 ，ACD+CAB=90 B=ACD FDA=ACD F= F FDAFCD ADC=CDB=90 ，B=ACD ACD CBD 即26.答案： 证明： （1）ACBADC90AACD90 BCM ACD90 ABCM 同理可得： MDH MBD CMBCDBMBD 90 MBD ADEADC MDH90 MDH ADECMB AEDCBM （2）由上问可知：，即故只需证明即可AA，ACD ABC ACD ABC ，即27.答案： （1）将结论写成比例的形式，可以考虑证明FDBFCD （已经有一个公共角F）RtACD中， E是 A

31、C的中点DE=AE A=ADE ADE=FDB A=FDB 而A+ACD=90 FCD+ ACD=90 A=FCD FCD= FDB 而F= F FBD FDC （2）判断： GD与 EF垂直 RtCDB中， G 是 BC的中点， GDGBGDB=GBD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生24而GBD+FCD=90 又FCD= FDB（1 的结论） GDB+ FDB=90 GDEF 28.答案：证明：由四边形 ABCD 、 DEFG都是正方形可知， ADC= GDE=90 ， 则CDG=

32、 ADE=ADG+90 在和中则DAM=DCN 又 ANM= CND ANMCND 则29.答案： 证明：找模型。（1）BCD 、BDG， CDG构成母子型相似。BDGDCG DG2BG·CG （2）分析：将等积式转化为比例式。BG·CGGF·GHGFC= EFH ，而 EFH+H=90 ，GFC+ FCG=90 H=FCG 而HGB=CGF=90 HBG CFG BG·CG GF·GH30. 答案： （ 1）证明：MEB NEC 180 45 135 MEB EMB NEC EMB 又B=CBEMCNE （ 2 ） COE

33、 EON证明 ： OEN= C 45 ， COE EON COE EON 31. 答案： 解： （1）BCP BER ， CQP DQR，ABPCQP ，DQRABP （2）AC DE BCP BER 四边形 ABCD和四边形ACED都是平行四边形AD=BC ， AD=CE BC=CE ，即点 C 为 BE的中点又ACDE CQP DQR 点 R为 DE 的中点DR=RE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页个性化辅导精品一对一讲义学生25综上： BP： PQ：QR3：1：2 32.答案： 证明： ADBC，DEAB ADB AED AD2 AE AB 同理可证： AD2 AF AC AE ABAF AC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页