2022年相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题 .pdf

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1、精品资料欢迎下载学生：科目：数学教师：知识框架一、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“ 三点定形法 ” 1横向定型法欲证ABBCBEBF，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母ABC，恰为ABC的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母BEF，恰为BEF的三个顶点 因此只需证ABCEBF2纵向定型法欲证ABDEBCEF，纵向观察， 比例式左边的比AB和BC中的三个字母ABC，恰为ABC的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母DEF，恰为DEF的三个顶点因此只需证ABCDEF3中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共

2、线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式时，常用到中间比比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明二、函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个

3、顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。课题相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题教学内容精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页精品资料欢迎下载【例题精讲】“三点定型”法一类：直接利用“左看、右看、上看、下看”加“三点

4、定型”例1，已知： ACB=900， CD AB 。求证： AC2=AD ?AB 分析：要证AC2=AD ?AB ，可先证ACABADAC，这时看等号的左边A、C、D 三点可确定一个三角形，而等号右边A、C、B 三点也可确定一个三角形，即证ACD ABC 。都看上面的分子为A、B、C 及都看下面的分母为A、C、D 也可确定去证ACD ABC 。例2，已知：等边三角形ABC 中，P 为 BC 上任一点， AP 的垂直平分线交AB 、AC 于 M、N 两点。求证： BP?PC=BM ?CN 二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看”加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。例1

5、，已知； AD 平分 BAC ，EF垂直平分AD与 BC的延长线交于F。求证： DF2=BF?CF分析：由已知可得DF=AF ，直接证DF2=BF?CF 找不出相似三角形，可改证AF2=BF?CF，即证AFCFBFAF，这时用“左看、右看”或“上看、下看”定出ABF CAF 例2，已知；在 RtABC中， A=900，四边形 DEFG为正方形。求证：EF2=BE ?FC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页精品资料欢迎下载三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分

6、体现了转化的思想在数学中的应用。例 1，已知：梯形ABCD 中， AD/BC ， AC 与 BD 相交于 O 点，作 BE/CD, 交 CA 的延长线于点 E.求证： OC2=OA.OE分析：要证OC2=OA.OE , 这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”都发现O,C,A,E 在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？这时，我们可以利用转化的数学思想，先证ODOBOAOC，用“上看、 下看” 定出 OBC ODC, 然后再证OCOEODOB, 用同样的方法确定证OBE ODC相似即可。例 2，已知： BD、CE 是 ABC的两个高， DG BC ，与 CE交于 F，GD的延

7、长线与BA的延长线交于H。求证： GD2=GF ?GH一、等积式、比例式的证明：等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页精品资料欢迎下载例 1、 已知：如图，ABC 中， ACB=900，AB 的垂直平分线交AB

8、 于 D，交 BC 延长线于F。求证： CD2=DE DF。（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。例 2如图，已知 ABC 中， AB=AC ，AD 是 BC 边上的中线， CF BA ，BF 交 AD 于 P 点，交 AC于 E 点。求证： BP2=PE PF。例 3如图，已知：在 ABC 中，BAC=900，AD BC， E 是 AC 的中点， ED 交 AB 的延长线于F。求证：。函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图 1，已知抛物线的顶点为A（2，1） ，且经过原点O，与 x

9、 轴的另一个交点为B。求抛物线的解析式； （用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2）若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页精品资料欢迎下载平行四边形，求D 点的坐标；连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与 OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平

10、行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。练习 1、已知抛物线2yaxbxc经过5 3(3 3)02PE，及原点(0 0)O，（1）求抛物线的解析式 （由一般式得抛物线的解析式

11、为225 333yxx）（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC 是否存在点Q， 使得OPC与PQB相似？若存在，例 1 题图图 1 OAByxOAByx图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页精品资料欢迎下载yxEQPCBOA求出Q点的坐标；若不存在，说明理由（3）如果符合（ 2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPC

12、PQBOQPOQA，之间存在怎样的关系？为什么？练习 2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在 x 轴上，点 C 在 y轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线 l，使直线l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线l、直线 CE与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。练 习3 、 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ，

13、已 知 二 次 函 数2(0)yaxbxc a的图象与x轴交于AB，两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为223yxx）（2）若直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似？若存在， 求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；( 1 0)(3 0),(0 3)ABC，（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明） ，

14、并写出此时点P的横坐标px的取值范围O x y 练习 2 图C B E D AC lx y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页精品资料欢迎下载练习 4 (2008 广东湛江市 ) 如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点C（1）求 A、B、C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由练习

15、 5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，90ACB，点AC，的坐标分别为( 3 0)A，(10)C ，3tan4BAC（1）求过点AB，的直线的函数表达式；点( 3 0)A，(10)C ，B(13)，3944yx（ 2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等） ，并求点D的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如PQ，分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设APDQm，问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在， 请求出m的值；如不存在，请说明理由O A C O B x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

16、- - -第 7 页，共 11 页精品资料欢迎下载如图，已知抛物线122xy的图像与x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 左侧），与 y轴交于点C. （1）试判断 AOC 与 COB 是否相似 ; （2）若点 D 是抛物线的顶点，DH 垂直于 x 轴，垂足为H，试判断直角三角形DHA 与直角三角形 COB 是否相似？说明理由变式 1：若点 M 在抛物线上且在x 轴上方，过点M 作 MG 垂直于 x 轴，垂足为点G，是否存在M，使得AMG 与 AOC 相似精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页精品资料欢迎下载变式 2

17、：若点 D 是抛物线的顶点，点M 在抛物线上且在x 轴上方，过点M 做 x 轴的垂线，垂足为点G，是否存在M，使得 AMG 与 DCB 相似已知 : 如图 , 抛物线cbxxy2与 x 轴、 y 轴分别相交于点A （ -1 ，0） 、B（0， 3）两点，其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形 ABDE 的面积；(3) AOB 与 BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax2+bx+c(a 0)的顶点坐标为）课后练习：1. 已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为 (4,-1)，与 y 轴交于点C(0,

18、3) ，O是原点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页精品资料欢迎下载（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x轴的交点为A，B（ A 在 B 的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O ，B，P为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 2.如图，已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与 x 轴的另一交点为B. (1)求抛物线的解析式；(2)若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；(3)连

19、接 OA 、AB ，如图，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与 OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由. 中考链接1 （10四川 ）如图 ,已知 ABC 中， ACB 90 以 AB 所在直线为x 轴，过 c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系此时，A 点坐标为（ -1,0 ） ， B 点坐标为（ 4,0 ）（1）试求点C 的坐标（2）若抛物线2yaxbxc过 ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式（3）点 D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线 y=x1 交（ 2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点 B 的左侧是否存在点P，使以 P、B、D 为顶点的三角形

20、与ABE 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由. 2 （10湖北襄樊）如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB= 4，OB=2，抛物线过A、B、C 三点，AABBOOxxyy图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页精品资料欢迎下载与 x 轴交于另一点D一动点P 以每秒 1 个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点 A 运动，运动到点 A 停止，同时一动点Q 从点 D 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿DC 向点 C 运动，与点P 同时停止（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点 E，与 x 轴交于点F，当点 P 运动时间t 为何值时，四边形 POQE 是等腰梯形？（3）当 t 为何值时，以P、B、O 为顶点的三角形与以点Q、B、O 为顶点的三角形相似？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页