2022年相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结 .pdf

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1、名师总结优秀知识点板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1相似形具有相同形状的图形叫做相似形相似形仅是形状相同，大小不一定相同相似图形之间的互相变换称为相似变换2相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等3相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例二、相似三角形的概念1相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形如图，ABC与A B C相似，记作ABCA B C，符号 读作 “ 相似于 ” 2相似比相似三角形对应边的比叫做相似比全

2、等三角形的相似比是1“ 全等三角形 ” 一定是 “ 相似形 ” ，“ 相似形 ” 不一定是 “ 全等形 ” 三、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等如图，ABC与A B C相似，则有AABBCC，ABCCBA知识点睛中考要求相似三角形的性质及判定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页名师总结优秀知识点2相似三角形的对应边成比例ABC与A B C相似，则有ABBCACkA BB CA C（ k 为相似比）3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比如图 1，ABC与A B C相似，AM是AB

3、C中 BC 边上的中线，A M是A B C中 B C 边上的中线，则有ABBCACAMkA BB CA CA M（ k 为相似比）图 1 如图2，ABC与A B C相似，AH是ABC中 BC 边上的高线，A H是A B C中 B C 边上的高线，则有ABBCACAHkA BB CA CA H（ k 为相似比）图 2 如图3，ABC与A B C相似，AD是ABC中BAC 的角平分线，A D是A B C中B A C 的角平分线，则有ABBCACADkA BB CA CA D（ k 为相似比）图 3 4相似三角形周长的比等于相似比如图 4，ABC与A B C相似，则有ABBCACkA BB CA C

4、（ k 为相似比）应用比例的等比性质有ABBCACABBCACkA BB CA CA BB CA CABCCBAMMABCCBAHHABCCBADDABCCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页名师总结优秀知识点图 45相似三角形面积的比等于相似比的平方如图 5，ABC与A B C相似，AH是ABC中 BC 边上的高线，A H是A B C中 B C 边上的高线，则有ABBCACAHkA BB CA CA H（ k 为相似比）进而可得21212ABCA B CBCAHSBCAHkSB CA HB CA H图 5 四、

5、相似三角形的判定1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7

6、如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“ 三点定形法 ” 1横向定型法欲证ABBCBEBF，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和 BC ，三个字母ABC，恰为ABC的顶点； 分母的两条线段是BE和BF， 三个字母 BEF，恰为BEF的三个顶点 因此只需证ABCEBF2纵向定型法欲证ABDEBCEF，纵向观察，比例式左边的比AB和 BC 中的三个字母ABC，恰为ABC的顶点；右边的比两条线段是DE和E

7、F中的三个字母DEF， ，恰为DEF的三个顶点因此只需证ABCDEFABCCBAHHABCCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页名师总结优秀知识点3中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式时，常用到中间比比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1

8、，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等如图：AD平分BAC 交 BC 于D，求证：BDABDCAC证法一：过C 作 CEAD，交BA的延长线于E1E，2312，3E ACAE ADCE， BDBABADCBEAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图

9、的基本模型证法二；过B作 AC 的平行线，交AD的延长线于E12E，ABBE BEAC， BDBEABDCACAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X” 型图的基本模型七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法基本模型如下：如图：1212ABCACDBC AHSBCSCDCDAH如图：1212ABCBCDBC AHSAHAOSDGODBC DG如图：ABDABDAEDACEAEDACESSSABADAB ADSSSAEACAE AC321EDCABBACDE12图1：“ 山字 ” 型HDCBA图2：“ 田字 ” 型GHODCBA图3：“ 燕尾

10、 ” 型CDEBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页名师总结优秀知识点八、相似证明中的基本模型一、与三角形有关的相似问题【例 1】 如图，在ABC中， ACAB ，点D在 AC 边上，若在增加一个条件就能使ABCACB，则这个IHGFEDCBAGFEDCBAEDCBAEDCBAEFDCBAFEDCBAODCBAODCBAHEDCBAEDCBAEDCBAODCBADCBDBACAEDCBADCBAGFEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBAHPMNFEDCBAGHGFEDCBAEFDCBAFEDCBA例题精

11、讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页名师总结优秀知识点条件可以是【巩固】如图，D、E是ABC 的边 AC 、AB上的点，且ADACAE AB，求证：ADEB. 【巩固】 如图， 在ABC 中， ADBC 于D，CEAB 于E， ABC 的面积是BDE面积的 4 倍，6AC，求DE的长 . 【例 2】 如图，ABC中，60ABC， 点P是ABC内一点，使得APBBPCCPA ，86PAPC，则PB【巩固】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBFEBG 【例 3】 如图， 已知ABC 中，:1:3AE EB，:

12、2:1BC CD，AD与 CE 相交于F，则AFE FFCFD的值为（）A.52B.1 C.32D.2 CDBAEDCBAEDCBAPCBAHGFEDCBAADEFCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页名师总结优秀知识点【巩固】在ABC 中， BDCE ，DE的延长线交BC 的延长线于P， 求证： ADBPAE CP . 【巩固】 如图，M、N为ABC边BC上的两点， 且满足BMMNNC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和 AN 的延长线于点D、E和F. 求证：3EFDE . 【例 4】 如图，已知/ / /A

13、BEFCD ，若 ABa ， CDb ， EFc，求证：111cab. 【巩固】 如图，ABBD，CDBD ，垂足分别为B、D， AC 和BD相交于点E，EFBD，垂足为F.证明：111ABCDEF. PEDCBAFNMEDCBADCFEBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页名师总结优秀知识点【巩固】如图，已知/ / /ABEFCD ，找出ABDS、BEDS、BCDS之间的关系，并证明你的结论. 【例 5】 如图，在四边形ABCD 中， AC 与BD相交于点 O ，直线 l 平行于BD，且与AB、 DC 、 BC

14、、AD及 AC 的延长线分别相交于点M、 N 、R、 S和P.求证： PMPNPR PS【巩固】已知，如图，四边形 ABCD ， 两组对边延长后交于E、F， 对角线BDEF，AC 的延长线交EF于 G 求证： EGGF 【考点】相似三角形的性质与判定【难度】 5 星【题型】解答【关键词】【例 6】 如图，ABC 中， BCa ，若11DE，分别是 ABAC，的中点，则1112D Ea ；FDCEABNMHDCFEBAlSRPNMODCBAGFECDBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页名师总结优秀知识点若22DE、

15、分别是11D BEC、的中点，则2213224aD Eaa；若33DE、分别是22D BE C、的中点，则331372 48D Eaaa；若nnDE、分别是-1-1nnDBE C、的中点，则nnD E_. 【例 7】 如图，ABC内有一点P，过P作各边的平行线，把ABC分成三个三角形和三个平行四边形若三个三角形的面积123SSS，分别为 112， ， ，则ABC的面积是【例 8】 如图，梯形ABCD 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为22pq，则梯形的面积是（）A222 pqB2pqC22pqpqD222222p qPqpq【巩固】如图，梯形ABCD 中， ADBC，两条对角线A

16、C 、BD相交于O ，若:1: 9AODCOBSS，那么PS3S2S1IHGFEDCBAEnDnE3D3E2D2E1D1CBAq2p2OABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页名师总结优秀知识点:BOCDOCSS二、与平行四边形有关的相似问题【例 9】 如图， 已知平行四边形ABCD 中，过点B的直线顺次与AC 、AD及 CD 的延长线相交于点E、F、G ，若5BE，2EF，则 FG 的长是【巩固】如图，已知DEAB，2OAOC OE ，求证：ADBC. 【例 10】 如 图，ABCD 的对角线相交于点O ，在A

17、B的延长线上任取一点E，连接OE 交 BC 于点F，若ABaADcBEb，,求BF的值【巩固】如图： 矩形 ABCD 的面积是36，在 ABAD，边上分别取点EF，使得3AEEB ，2DFAF，且DE与 CF 的交点为点O ，求FOD 的面积。OABCDEFGDCABDOECBAOFEDCBAKOFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页名师总结优秀知识点三、与梯形有关的相似问题【例 11】 已 知：如图，在梯形ABCD 中，/ /ABCD ，M是AB的中点，分别连接AC 、BD、MD、 MC ，且 AC与M

18、D交于点E，DB与 MC 交于F. （1）求证：/ /EFCD（2）若 ABa , CDb，求EF的长 .【巩固】 如图， 在梯形 ABCD 中， ADBC， ADaBCbEF，分别是 ADBC，的中点，AF交BE于P，CE 交DF于 Q ，求 PQ 的长【例 12】如图，已知梯形ABCD 中，/ADBC ，90A， ABa , ADb ,2BCb ( ab ), DEDC ,DE交ABKABCDEFOOFEDCBAFEMDCBAOQPBFCDEA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页名师总结优秀知识点于点E，连接

19、EC . （1）判断DCE 与ADE，DCE 与BCE 是否分别一定相似，若相似，请加以证明. （2）如果不一定相似，请指出a、 b 满足什么关系时，它们就能相似. 四、与内接矩形有关的相似问题【例 13】ABC 中，正方形 EFGH 的两个顶点E、F在 BC 上，另两个顶点G 、H分别在 AC 、AB上，15BC,BC 边上的高10AD,求EFGHS. 【巩固】如图，已知ABC 中，3490ACBCC，四边形 DEGF 为正方形，其中DE，在边 ACBC，上， FG，在AB上，求正方形的边长【例 14】如 图，已知ABC 中，四边形DEGF 为正方形，DE，在线段ACBC，上， FG，在AB

20、上，如果1ADFCDESS，3BEGS，求ABC 的面积EDCBAHGFEDCBADMFECBAGFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页名师总结优秀知识点【巩固】如图，在ABC 中，5AB，3BC，4AC，动点E(与点A， C 不重合 )在 AC 边上，EFAB交BC 于F点当ECF 的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE 的长当ECF 的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE 的长试问在AB上是否存在点P，使得EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长GFEDCBAF

21、ECBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页名师总结优秀知识点1.直线DE与ABC的AB边相交于点D， 与 AC 边相交于点E， 下列条件： DEBC； AEDB； AE ACADAB ；AEEDACBC中，能使ADE与ABC相似的条件有（）A1 个B2 个C3 个D4 个2.如图，在ABC 的边AB上取一点D， 在 AC 取一点E， 使A D A E， 直线DE和 BC 的延长线相交于P，求证：BPBDCPCE3.已知：P为ABC 的中位线 MN 上任意一点，BP、CP 的延长线分别交对边AC 、AB于D、E，求

22、证：1ADAEDCEBPEDCBAPNMEDCBA课后作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页名师总结优秀知识点4.如图，已知在矩形ABCD 中，E为AD的中点，EFEC 交AB于F，连接 FC （ABAE）. （1）AEF与ECF 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由. （2）设ABkBC是否存在这样的k 值，使得AEFBCF ，若存在，证明你的结论并求出k 值；若不存在，说明理由. 5.如图，在梯形ABCD 中， ADBC，396ADBCAB，,4CD，若 EFBC，且梯形AEFD与梯形 EBCF 的周长相等，求EF的长6.如图， 已知ABC 中，5114 5ACABBC，四边形 DEGF 为正方形， 其中 DE，在边 ACBC，上， FG，在AB上，求正方形的边长FEDCBAFEDCBAGFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页