2022年相似三角形知识点与习题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形强调 ：当一个三角形的三个角与另一个(或几个 )三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个 )三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例2、相似三角形对应边的比叫做相似比强调 ：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如 ABC ABC的对应边的比， 即相似

2、比为k，则 ABC ABC 的相似比，当它们全等时，才有k=k=1 相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似强调 ：定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DEBC， ABC ADE ；（双 A 型）这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“

3、 预备定理 ” ；有了预备定理后，在解题时不但要想到“ 见平行，想比例” ，还要想到 “ 见平行，想相似” (二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。例1、已知：如图，1= 2=3，求证： ABC ADE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页学习必备欢迎下载例 2、如图， E、F 分别是 ABC 的边 BC 上的点， DE AB,DF AC , 求证： ABC DEF. 判定定理 2：如果

4、三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似例1、 ABC 中，点 D 在AB 上，如果 AC2=AD ?AB ，那么 ACD 与 ABC 相似吗？说说你的理由例 2、如图，点C、D在线段 AB上， PCD是等边三角形。（1）当 AC 、CD 、DB满足怎样的关系时，ACP PDB ？（2）当 ACP PDB时，求 APB的度数。判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。简单说成：三边对应成比例，两三角形相似强调：有平行线时，用预备定理；已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利

5、用判定定理1 或判定定理 2；已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2 或判定定理3但是，在选择利用判定定理 2 时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等2、直角三角形相似的判定：A B C D E F 第 4 题不相似，请说明理由。，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111ACBACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页学习必备欢迎下载斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似例 1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点求证：ADQ

6、QCP例2 、 如 图 ,AB BD,CD BD,P为BD上 一 动 点 ,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm, 当 P点在 BD 上由 B 点向 D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由 . 例 3、如图AD AB于 D， CEAB于 E 交 AB于 F，则图中相似三角形的对数有对。例 4、已知： AD 是 RtABC 中 A 的平分线，C=90，EF 是 AD 的垂直平分线交AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点N。求证： (1) AME NMD(2)ND2=NCNB强调 ：由于直角三角形有一个角为直角，因此， 在判定两个直角三角

7、形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理 3 判定两个直角三角形相似；如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“ 母子相似三角形 ” ，其应用较为广泛 （直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似）如图，可简单记为：在RtABC 中， CDAB ，则 ABC CBD ACD 补充射影定理。特殊情况 ：第一 ：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。EDFABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页学习必备欢迎下载第二 ：腰

8、和底对应成比例的两个等腰三角形相似。第三 ：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。第四 ：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。第五 ： 如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一 条 直 角 边与 斜 边 对 应成比例二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角

9、形问题的一项基本功通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角 (或最小的角 )一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中， 一对最长的边 (或最短的边 )一定是对应边； 对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角（3）对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形

10、的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如：（1）平行型：（A 型， X 型）（2）交错型：（ 3 ） 旋 转 型 ：（4）母子三角形：(1) “平行线型 ” 相似三角形， 基本图形见前图 “ 见平行， 想相似 ” 是解这类题的基本思路；(2) “相交线型 ” 相似三角形，如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角“ 见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例” 是解这类题的基本思路；(3) “旋转型 ” 相似三角形，如图若图中1=2， B=D( 或 C= E)，则 ADE ABC ，该图可看成把第一个图中的ADE 绕点 A 旋转某一角度而形成的强调 ：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题

11、的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线以上“ 平行线型 ” 是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“ 相交线ABCDEABCDDABCABCDEDABCE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页学习必备欢迎下载型” 识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形练习： 1、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据。2、如图 27-2-1-12,在大小为4 4 的正方形方格中,ABC 的顶点 A,B,C 在单位正方形的顶点上 ,

12、请在图中画一个A1B1C1,使 A1B1C1 ABC( 相似比不为1),且点 A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上. 图 27-2-1-12 练习题相似三角形的判定1.如图，锐角ABC的高 CD 和 BE 相交于点 O，图中与ODB相似的三角形有（）A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个A E D C B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页学习必备欢迎下载2.如图，在ABC中，CABC2，BD 平分ABC，试说明： AB BC = AC CD 3.已知： ACB为等腰直角三角形，ACB=900延长 BA至

13、E，延长 AB至 F， ECF=1350 求证： EAC CBF 4.已知 : 如图, ABC中,AD=DB,1=2. 求证 : ABC EAD. 5.、如图，点C、D 在线段 AB 上，且 PCD 是等边三角形 . (1)当 AC，CD，DB 满足怎样的关系时，ACPPDB；(2)当PDBACP 时，试求 APB 的度数 . 6.如图，4531BCDEABDB，（1）ABCADE吗？说明理由。（2）求 AD的长。7.已知 : 如图,CE 是 RtABC的斜边 AB 上的高 ,BGAP. 求证 :CE2=ED EP. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

14、- - - -第 6 页，共 30 页学习必备欢迎下载8.如图，四边形ABCD 是平行四边形， AEBC 于 E，AFCD 于 F. (1)ABE 与ADF 相似吗？说明理由. (2)AEF 与 ABC 相似吗？说说你的理由. 9.如图， D 为ABC 内一点， E 为ABC 外一点，且 1=2， 3=4. (1)ABD 与CBE 相似吗？请说明理由. (2)ABC 与DBE 相似吗？请说明理由. 10.已知: 如图 ,CE 是 RtABC的斜边 AB上的高 ,BGAP. 求证 :CE2=ED EP. 相似三角形提高训练一填空题（共2 小题）1如图所示，已知AB EF CD，若 AB=6 厘米

15、， CD=9 厘米求EF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页学习必备欢迎下载2如图， ? ABCD 的对角线相交于点O，在 AB 的延长线上任取一点E，连接 OE 交 BC 于点 F若 AB=a ，AD=c ，BE=b，则 BF=_二解答题（共17 小题）3如图所示 在ABC 中，BAC=120，AD 平分 BAC 交 BC 于 D求证：4如图所示，? ABCD 中， AC 与 BD 交于 O 点， E为 AD 延长线上一点，OE 交 CD 于 F，EO 延长线交AB 于 G求证：5 一条直线截 ABC 的边 BC、

16、 CA 、 AB （或它们的延长线） 于点 D、 E、 F 求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页学习必备欢迎下载6如图所示 P为 ABC 内一点，过P 点作线段DE，FG，HI 分别平行于AB，BC 和 CA ，且 DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 求 d7如图所示梯形ABCD 中，AD BC，BD ，AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交AB ，CD于 E，F，且 EFBCAD=12 厘米， BC=20 厘米求EF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

17、结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页学习必备欢迎下载8已知： P 为? ABCD 边 BC 上任意一点， DP 交 AB 的延长线于Q 点，求证：9 如图所示，梯形 ABCD 中， AD BC， MN BC， 且 MN 与对角线 BD 交于 O 若 AD=DO=a ，BC=BO=b ，求 MN 10 P 为ABC 内一点，过P 点作 DE， FG，IH 分别平行于AB， BC，CA （如图所示）求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页学习必备欢迎下载11如图所示在梯形ABCD 中，AB CD，A

18、B CD一条直线交BA 延长线于E，交 DC延长线于 J，交 AD 于 F，交 BD 于 G，交 AC 于 H，交 BC 于 I已知 EF=FG=GH=HI=IJ ，求 DC：AB 12已知 P 为ABC 内任意一点，连AP，BP，CP 并延长分别交对边于D，E，F求证： （1）（ 2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于213如图所示在ABC 中， AM 是 BC 边上的中线， AE 平分 BAC ， BDAE 的延长线于 D，且交 AM 延长线于F求证： EFAB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页

19、学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页学习必备欢迎下载14如图所示P，Q 分别是正方形ABCD 的边 AB ，BC 上的点，且BP=BQ ，BH PC 于H求证： QHDH 15已知 M 是 RtABC 中斜边 BC 的中点， P、Q 分别在 AB 、AC 上，且 PMQM 求证：PQ2=PB2+QC216 如图所示在 ABC 中， ACB=90， CDAB 于 D， AE 平分 CAB ， CF 平分 BCD 求证： EFBC17如图所示在ABC 内有一点P，满足 APB= BPC=CPA若 2B=

20、 A+ C，求证： PB2=PA?PC（提示：设法证明PAB PBC ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页学习必备欢迎下载18已知：如图， ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边BC 的中点， E 在 AB 上，且 AE：EB=2：1求证： CEAD 19如图所示， ABC 中， M、N 是边 BC 的三等分点， BE 是 AC 边上的中线，连接AM 、AN ，分别交BE 于 F、G

21、，求 BF： FG：GE 的值20.在 ABC 中， A B C=124求证提示：要证明如几何题的常用方法：比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b 为边且与 a、c 所在三角形相似的三角形。通分法：将原等式变为，利用相关定理将两个个比通分即：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页学习必备欢迎下载2013初中相似三角形难题易错题参考答案与解析一填空题（共2 小题）1如图所示，已知AB EF CD，若 AB=6 厘米， CD=9 厘米求EF考点 ： 平行线分线段成比例专题 ： 计算题分析：由于 BC 是ABC 与DB

22、C 的公共边，且AB EFCD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF解答：解：在 ABC 中，因为EFAB ，所以 EF：AB=CF ： CB，同样，在 DBC 中有 EF：CD=BF ：CB，+得 EF：AB+EF ：CD=CF ：CB+BF ：CB=1 设 EF=x 厘米，又已知AB=6 厘米， CD=9 厘米，代入得x：6+x：9=1，解得 x=故 EF=厘米点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算2如图， ? ABCD 的对角线相交于点O，在 AB 的延长线上任取一点E，连接 OE 交 BC 于点 F若 AB=a ，AD=c ，BE=b，则 BF=考点 ： 相似

23、三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ： 计算题分析：首先作辅助线：取AB 的中点 M，连接 OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：EFB EOM 与 OM 的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF 的值解答：解：取 AB 的中点 M，连接 OM，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC，OB=OD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页学习必备欢迎下载OM AD BC，OM=AD=c， EFB EOM ，AB=a ，AD=c ，BE=b，ME=MB+BE=AB+BE=a+b，BF=故答

24、案为：点评：此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题二解答题（共17 小题）3如图所示 在ABC 中，BAC=120，AD 平分 BAC 交 BC 于 D求证：考点 ： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定专题 ： 证明题分析：过 D 引 DEAB ，交 AC 于 E，因为 AD 平分 BAC （=120 ） ，所以 BAD= EAD=60 若引 DEAB交 AC 于 E，则 ADE 为正三角形，从而AE=DE=AD ，利用 CED CAB ，可实现求证的目标解答：证明：过D 引 DEAB，交 AC 于 EAD 是 BA

25、C 的平分线， BAC=120 ， BAD= CAD=60 又 BAD= EDA=60 ，所以 ADE 是正三角形，EA=ED=AD 由于 DEAB，所以 CED CAB ，=1由，得=1，从而+=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页学习必备欢迎下载点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证CED CAB 是解题的关键4如图所示，? ABCD 中， AC 与 BD 交于 O 点， E为 AD 延长线上一点，OE 交 CD 于 F，

26、EO 延长线交AB 于 G求证：考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ： 证明题分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“ 集中 ” 到一个三角形中来求证解答：证明：延长CB 与 EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB 在EIH 中，由于DFIH，=IH=AB ，=，从而，=1+在OED 与OBH 中，DOE=BOH， OED=OHB，OD=OB ， OED OBH（AAS） 从而 DE=BH=AI ，=1由，得=2点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB 与 EG其延长线交于H，如虚线所示，

27、构造平行四边形AIHB 这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一难题5一条直线截ABC 的边 BC、CA、 AB（或它们的延长线）于点D、E、F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 30 页学习必备欢迎下载求证：考点 ： 三角形的面积专题 ： 证明题分析：连接 BE、AD ，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证解答：证明：如图，连接BE、AD ， BDE 与DCE 等高，=， DCE 与ADE 等高，=， ADF 与BDF 等高，=， AEF 与 BEF 等高，=，=，?=?=1点评：此题考查学生对三角形面

28、积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD ，并把线段之比转化为两三角形面积之比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页学习必备欢迎下载6如图所示 P为 ABC 内一点，过P 点作线段DE，FG，HI 分别平行于AB，BC 和 CA ，且 DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 求 d考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质专题 ： 计算题分析：由 FGBC，HI CA， EDAB ，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形 CGPH 均是平行四边形，利平行线分线段成比

29、例定理的推论可得IHB AFG ABC ，于是=，=，再结合=，计算式子右边的和，易求+=2， 从而有+=2， 再把 DE=FG=HI=d ， AB=510 ， BC=45CA=425 代入此式，解即可解答：解： FGBC，HI CA，EDAB ，四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH 均是平行四边形， IHB AFG ABC ，=，=，+=，又 DE=PE+PD=AI+FB ，AF=AI+FI ，BI=IF+FB ，DE+AF+BI=2 （AI+IF+FB ）=2AB ，+=2，DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450 ，CA=425 ，+=+=2，+=2，解得 d=30

30、6点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质7如图所示梯形ABCD 中，AD BC，BD ，AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交AB ，CD于 E，F，且 EFBCAD=12 厘米， BC=20 厘米求EF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页学习必备欢迎下载考点 ： 平行线分线段成比例分析：由平行线的性质可得=，得出 OE 与 BC，OF 与 AD 的关系，进而即可求解EF 的长解答：解： AD BC， EFBC，=，又=，=，OE=BC=，OF=AD=，EF=

31、OE+OF=15 点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题8已知： P 为? ABCD 边 BC 上任意一点， DP 交 AB 的延长线于Q 点，求证：考点 ： 相似三角形的判定与性质专题 ： 证明题分析：由于 AB=CD ，所以将转化为，再由平行线的性质可得=，进而求解即可解答：证明：在平行四边形ABCD 中，则 AD BC，AB CD，=1点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握9 如图所示，梯形 ABCD 中， AD BC， MN BC， 且 MN 与对角线 BD 交于 O 若 AD=DO=a ，BC=BO=b ，

32、求 MN 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页学习必备欢迎下载考点 ： 相似三角形的判定与性质；梯形专题 ： 计算题分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN 的长解答：解： MN BC，在 ABD 中，=，即 OM=，同理 ON=，MN=OM+ON=点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握10 P 为ABC 内一点，过P 点作 DE， FG，IH 分别平行于AB， BC，CA （如图所示）求证：考点 ： 平行线分线段成比例专题 ： 证明题分析：（1）由平行线

33、可得PIF CAB ，得出对应线段成比例，即=，同理得出=，即可证明结论；（2）证明方法与（1）相同解答：证明：（1） DEAB ，IH AC ，FGBC，可得 PIF CAB ，=，同理=，+=+=1（2）仿（ 1）可得=，=，+=+=1点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页学习必备欢迎下载11如图所示在梯形ABCD 中，AB CD，AB CD一条直线交BA 延长线于E，交 DC延长线于 J，交 AD 于 F，交 BD 于 G

34、，交 AC 于 H，交 BC 于 I已知 EF=FG=GH=HI=IJ ，求 DC：AB 考点 ： 相似三角形的判定与性质；梯形专题 ： 计算题分析：由平行线可得对应线段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ ，可分别求出线段AB、CD 与 AE、CJ 的关系进而可求解结论解答：解： AB CD， EF=FG=CH=HI=IJ ，=，=，=，DJ=4AE ，又=，解得 AB=AE，又 AE=CJ，AB=CJ，EB=4CJ，=，CD=5CJ，AB： CD=：5=1：2点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握12已知 P 为ABC 内任意一点，连A

35、P，BP，CP 并延长分别交对边于D，E，F求证： （1）（ 2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页学习必备欢迎下载考点 ： 平行线分线段成比例专题 ： 证明题分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即 PBC+ PAC+PAB=ABC ，通过化简可得面积与线段之间的系，进而即可求解（2）由（1）中得出，则其中至少有一个不大于，可设 ，即 3AD PD，而 AD=AP+P进而通过证明即可得出结论解答：解： （ 1）由面积概念得：SPBC+SPAC+SPAB=SABC

36、整理等式得：+=1，由面积概念得：=，=，=，即=同理得：=把式、代入式得：；（2）由，知，中至少有一个不大于，不妨设 即 3AD PD而 AD=AP+PD ，AP 2PD，2 ，即不小于 2，同理可证三式中至少有一个不大于2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页学习必备欢迎下载点评：本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题13如图所示在ABC 中， AM 是 BC 边上的中线， AE 平分 BAC ， BDAE 的延长线于 D，且交 AM 延长线于F求

37、证： EFAB 考点 ： 相似三角形的判定与性质；角平分线的性质专题 ： 证明题分析：利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明MEF MAB ，从而 EFAB 解答：证明：过B 作 BGAC 交 AE 的延长线于G，交 AM 的延长线于HAE 是 BAC 的平分线， BAE= CAE BG AC， CAE= G， BAE= G，BA=BG 又 BD AG ， ABG 是等腰三角形，ABF= HBF ，F 到 AB 与 BH 的距离相等，SABF：SHBF=AB ：BH，SABF：SHBF=AF ：FH，AB： BH=AF ：FH又 M 是 BC 边的中点，且BH AC，易知

38、 ABHC 是平行四边形，从而BH=AC ，AB： AC=AF ：FHAE 是ABC 中 BAC 的平分线，AB： AC=BE ：EC，AF： FH=BE ：EC，即（AM+MF ） ： （AM MF）=（BM+ME ） ： （BM ME）（这是因为ABHC 是平行四边形，所以AM=MH及 BM=MC ） 由合分比定理，上式变为AM ： MB=FM ：ME在MEF 与MAB 中， EMF= AMB ， MEF MAB ABM= FEM ，所以 EFAB 点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的理解和掌握，证明此题的关键是过B 引 BGACAE 的延长线于G，交 AM 的延长线于H

39、和利用合分比定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 30 页学习必备欢迎下载14如图所示P，Q 分别是正方形ABCD 的边 AB ，BC 上的点，且BP=BQ ，BH PC 于H求证： QHDH 考点 ： 相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质专题 ： 证明题分析：要证 QHDH ，只要证明BHQ= CHD 由于 PBC 是直角三角形，且BHPC，熟知 PBH= PCB从而 HBQ= HCD ，因而 BHQ 与DHC 相似解答：证明：在RtPBC 中， BHPC， PBC=PHB=90 ， PBH=PCB显

40、然， RtPBCRtBHC ，=，由已知， BP=BQ ，BC=DC ，=，= ABC= BCD=90 ， PBH=PCB， HBQ= HCD 在HBQ 与HCD 中，=， HBQ= HCD ， HBQ HCD， BHQ= DHC ，BHQ+ QHC=DHC+ QHC又 BHQ+ QHC=90 ， QHD= QHC+DHC=90，即 DH HQ点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法15已知 M 是 RtABC 中斜边 BC 的中点， P、Q 分别在 AB 、AC 上，且 PMQM 求证：PQ2=PB2+QC2精选学习资料 - - - -

41、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 30 页学习必备欢迎下载考点 ： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理专题 ： 证明题分析：以 M 点为中心， MCQ 顺时针旋转180 至 MBN ，根据旋转的旋转可得MCQ 与MBN 全等，根据等三角形对应边相等可得BN=QC ， MN=MQ ，全等三角形对应角相等可得，MBN= C，再连接 PN，以证明 PM 垂直平分NQ，所以 PN=PQ，然后证明 PBN 为直角三角形，根据勾股定理即可证明解答：证明：如图，以M 点为中心， MCQ 顺时针旋转180 至 MBN ， MCQ MBN ，BN=QC ，MN=MQ ，

42、 MBN= C，连接 PN， PMQM，PM 垂直平分NQ，PN=PQ， ABC 是直角三角形，BC 是斜边， ABC+ C=90 ， ABC+ MBN=90 ，即PBN 是直角三角形，根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，PQ2=PB2+QC2点评：本题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把构造出以PQ、PB、QC 转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键16 如图所示在 ABC 中， ACB=90， CDAB 于 D， AE 平分 CAB ， CF 平分 BCD 求证： EFBC考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行线的判定专题 ： 证明题分析：由题中条

43、件可得AC=AF ，即 ACF 是等腰三角形，所以EC=EF ，进而得出 ECF= EFC，结论得证解答：证明： ACB=90 ，CD AB， CAD= BCD ，又 AE 平分 CAB ，CF 平分 BCD， BCF= CAE ， B=ACD ， B+ ECF=B+BCF，即 ACF= AFC ，又 AE 平分 CAB ， AC=AF ， CE=EF，即 ECF=EFC， EFC=BCF，即 EFBC点评：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应熟练掌握17如图所示在ABC 内有一点P，满足 APB= BPC=CPA若 2B= A+ C，求证： PB2=PA?PC精选学习资料

44、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 30 页学习必备欢迎下载（提示：设法证明PAB PBC ）考点 ： 相似三角形的判定与性质专题 ： 证明题分析：用 APB= APC=120 ，CBP=BAP 两个对应角相等证明PAB PBC，根据相似比可证到结论解答：证明： APB=120 ， ABP+ BAP=60 ，又 ABC=60 ， ABP+ CBP=60 ， CBP=BAP，又 APB= APC=120 ， ABP BCP，=，BP2=PA?PC点评：本题考查相似三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相似，然后根据相似对应边成比例证明结

45、论18已知：如图， ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边BC 的中点， E 在 AB 上，且 AE：EB=2：1求证： CEAD 考点 ： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题 ： 证明题分析：过 B 作 BC 的垂线交CE 的延长线于点F，从而可推出AC BF，根据平行线的性质可得到两组对应角相从而可判定 ACE BFE，根据相似三角形的对应边对应成比例可得到AC=2BF ，进而得到CD=BF ，再利用 HL 判定 ACD CBF，由全等三角形的性质得其对应角相等，再根据等角的性质不难证得结论解答：证明：过B 作 BC 的垂线交CE 的延长线于点F， （1 分

46、） FBC= ACB=90 AC BF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 30 页学习必备欢迎下载 ACE BFE （3 分）AC=2BF （4 分）AC=BC ，CD=BF （5 分）在ACD 和CBF 中， ACD CBF （ 6 分） 1=2 2+3=1+3=90 4=90 CEAD （7 分）点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质及相似三角形的判定及性质的综合运用19 （巧解妙解） 如图所示， ABC 中，M、N 是边 BC 的三等分点， BE 是 AC 边上的中线，连接 AM 、AN ，分别交 BE 于

47、F、G，求 BF：FG：GE 的值考点 ： 平行线分线段成比例专题 ： 应用题分析：作已知图形的中心对称图形，如图所示，设BF=a，FG=b，GE=c，由平行线的性质分别求出a，b 与 c 之的关系，即可得出其比值解答：解：如答图所示作已知图形的中心对称图形，以E 为对称中心令BF=a，FG=b，GE=cM CAM ，NC AN a： （2b+2c）=BM ：MC=1 ：2 a=b+c，而（ a+b） ：2c=BN ：NC=2：1 a+b=4c，所以 a= c，b=cBF：FG：GE=5：3：2点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，要求线段的比，通过作平行线构造比例线段是一种重要的

48、方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 30 页学习必备欢迎下载20.在 ABC 中， A B C=124求证提示：要证明如将原等式变为，为此若能设法利用长度分别为AB ，BC，CA 及 AB AC 这4 条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决注意到，原ABC 中，已含上述4 条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC 为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与ABC 相似，期望能解决问题证 延长 AB至 D， 使 BD=AC( 此时，AD=AB AC)， 又延长 BC至 E， 使 AE=AC ， 连结 ED 下面证明， ADE ABC 设 A=， B=2， C=4，则 : A+B+C=7=180由作图知， ACB是等腰三角形ACE的外角，所以ACE=180 -43，所以 CAE=180 -3-3=7-6=从而EAB=2 EBA ，AE BE AE=AC ，AE=BD ， BE=BD ， BDE是等腰三角形，D BED CAB ，ABC DAE ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 30 页