习题课　空间向量的应用.doc

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1、习题课空间向量的应用一、根底过关1 如下图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设ABBE，证明：平面ADE平面CDE.2 如下图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角(1)假设AEPD，E为垂足，求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值3 如下图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，A

2、BC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小二、能力提升4如下图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长5 等边ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，沿DE将ADE折起，使平面ADE平面BCDE(如下图)(1)求证：平面ABC平面ABE；(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值三、探究与拓展6 如图，四棱锥SABCD的底面是

3、正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)假设SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.假设存在，求SEEC的值；假设不存在，试说明理由答案1 (1)证明由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系设ABa，BCb，BEc，那么由题设得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)所以(0，b,0)，(

4、0，b,0)，于是.又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形(2)解C、D、F、E四点共面理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以(a,0，c)，(a,0，c)，.又CEF，HFD，故C、D、F、E四点共面(3)证明由ABBE，得ca，所以(a,0，a)，(a,0，a)又(0,2b,0)，因此0，0，即CHAE，CHAD.又ADAEA，所以CH平面ADE.由CH平面CDE，得平面ADE平面CDE.2 (1)证明PA底面ABCD，PAAB.又ABAD，AB平面PAD.ABPD.又AEPD，PD平面ABE.故BEPD.(2)解如下图，以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建

5、立空间直角坐标系，那么点C、D的坐标分别为(a，a,0)、(0,2a,0)PA底面ABCD，PDA是PD与底面ABCD所成的角，PDA30.于是，在RtAED中，由AD2a，得AEa.过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AEa，EAF60，得AFa，EFa.E.于是，(a，a,0)设异面直线AE与CD所成角为，那么cos .AE与CD所成角的余弦值为.3 (1)证明作APCD于点P，连结OP.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.，.设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，

6、那么n0，n0.即取z，解得n(0,4，)n(0,4，)0，又MN平面OCD，MN平面OCD.(2)解设AB与MD所成角为.(1,0,0)，cos ，.AB与MD所成角的大小为.4 (1)证明如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以PCAD.(2)解(0,1，2)，(2，1,0)设平面PCD的法向量n(x，y，z)，那么即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面PAC的法向量m(1,0,0)于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角APCD的正弦值为.(3)解设点

7、E的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得.由(2，1,0)，故cos，所以cos 30，解得h，即AE.5 (1)证明取DE的中点O，取BC的中点G，连结AO，OG，那么AODE，OGDE.平面ADE平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE，AO平面BCDE，AOOG.建立如下图的空间直角坐标系，设BC4，那么DE2，AOOG.所以A(0,0，)，D(1,0,0)，E(1,0,0)，B(2，0)，C(2，0)设平面ABE的法向量为m(x1，y1，z1)，(1,0，)，(1，0)，由，得令y11，得m(，1，1)，设平面ABC的法向量为n(x2，y2，z2)，(4,0,0)，(2，)，由得令

8、y21，得n(0,1,1)，mn(，1，1)(0,1,1)0，平面ABC平面ABE.(2)解由(1)得cos，m.直线AC与平面ABE所成角的正弦值为.6 (1)证明连结BD，设AC交BD于点O，由题意知SO平面ABCD，以O点为坐标原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如下图设底面边长为a，那么高SOa.于是S(0,0，a)，D，C，B，OCSD，因此ACSD.(2)解由题意知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量，设所求二面角为，那么cos ，故所求二面角PACD的大小为30.(3)解在棱SC上存在一点E使BE平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，且，设t，那么t.由0，得t，即当SEEC21时，.而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.