初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含规范标准答案解析).doc

\\ 初三数学九上压轴题难题提高题培优题　 一．解答题（共8小题） 1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； （3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结OM，求∠AOM的大小； （3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长； （3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？ 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值； （3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求tan∠ABO的值； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标． 6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为　 　，点C的坐标为　 　（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值． 　  初三数学九上压轴题难题提高题培优题 参考答案与试题解析　 一．解答题（共8小题） 1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标； （3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：由题意可知．解得． ∴抛物线的表达式为y=﹣． （2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）． 设直线MA的表达式为y=kx+b，则． 解得． ∴直线MA的表达式为y=x+1． 设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）． DF= =． 当时，DF的最大值为． 此时，即点D的坐标为（）． （3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）． 在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限． ①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN， ∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在． ②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN， ∴，即m2+11m+24=0． 解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）． ③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0． 解得m=﹣3（舍去）或m=2． 当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）． 若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0． 解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）． 综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）． 　 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结OM，求∠AOM的大小； （3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D， ∵AO=OB=4， ∴B（4，0）． ∵∠AOB=120， ∴∠AOD=30， ∴AD=OA=2，OD=OA=2． ∴A（﹣2，2）． 将A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得： ，解得：， ∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x； （2）过点M作ME⊥x轴于点E， ∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣， ∴M（2，﹣），即OE=2，EM=． ∴tan∠EOM==． ∴∠EOM=30． ∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150． （3）过点A作AH⊥x轴于点H， ∵AH=2，HB=HO+OB=6， ∴tan∠ABH==． ∴∠ABH=30， ∵∠AOM=150， ∴∠OAM＜30， ∴∠OMA＜30， ∴点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧． ∴∠ABC=180﹣∠ABH=150， ∵∠AOM=150， ∴∠AOM=∠ABC． ∴△ABC与△AOM相似，有如下两种可能： ①△BAC与∽△OAM，②△BAC与∽△OMA ∵OD=2，ME=， ∴OM=， ∵AH=2，BH=6， ∴AB=4． ①当△BAC与∽△OAM时， 由=得，解得BC=4． ∴C1（8，0）． ②当△BAC与∽△OMA时， 由=得，解得BC=12． ∴C2（16，0）． 综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似， 则点C的坐标为（8，0）或（16，0）． 　 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长； （3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？ 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），； ∴， 解得； ∴抛物线的解析式为：； （2）易知抛物线的对称轴是x=4， 把x=4代入y=2x，得y=8， ∴点D的坐标为（4，8）； ∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8； 连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M； 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4， ∴cos∠MDF=； ∴∠MDF=60， ∴∠EDF=120； ∴劣弧EF的长为：； （3）设直线AC的解析式为y=kx+b； ∵直线AC经过点， ∴， 解得； ∴直线AC的解析式为：； 设点，PG交直线AC于N， 则点N坐标为， ∵S△PNA：S△GNA=PN：GN； ∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN； 即=； 解得：m1=﹣3，m2=2（舍去）； 当m=﹣3时，=； ∴此时点P的坐标为； ②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN； 即=； 解得：m1=﹣12，m2=2（舍去）； 当m=﹣12时，=； ∴此时点P的坐标为； 综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分． 　 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值； （3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0）， 将A（﹣2，﹣4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c， 得 解得： ∴抛物线的函数表达式为． 答：抛物线的函数表达式为． （2）由， 可得，抛物线的对称轴为直线x=1， 且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线， 连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求． ∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB 作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB= ∴MO+MA的最小值为． 答：MO+MA的最小值为． （3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称， 由A（﹣2，﹣4），得P（4，﹣4），则得梯形OAPB． ②若OA∥BP， 设直线OA的表达式为y=kx，由A（﹣2，﹣4）得，y=2x． 设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=﹣4， ∴直线BP的表达式为y=2x﹣4 由，解得x1=﹣4，x2=2（不合题意，舍去） 当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P（﹣4，﹣12），则得梯形OAPB． ③若AB∥OP， 设直线AB的表达式为y=kx+m，则， 解得，∴AB的表达式为y=x﹣2． ∵AB∥OP， ∴直线OP的表达式为y=x． 由，得 x2=0，解得x=0， （不合题意，舍去），此时点P不存在． 综上所述，存在两点P（4，﹣4）或P（﹣4，﹣12） 使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形． 答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，﹣4）或（﹣4，﹣12）． 　 5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求tan∠ABO的值； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）， ∴， 解得， 所以，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1； （2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D， ∵A（0，1），B （4，3）， ∴OA=1，OC=4，BC=3， 根据勾股定理，OB===5， ∵∠OAD+∠AOD=90，∠AOD+∠BOC=90， ∴∠OAD=∠BOC， 又∵∠ADO=∠OCB=90， ∴△AOD∽△OBC， ∴==， 即==， 解得OD=，AD=， ∴BD=OB﹣OD=5﹣=， ∴tan∠ABO===； （3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）， 则， 解得， 所以，直线AB的解析式为y=x+1， 设点M（a，﹣a2+a+1），N（a，a+1）， 则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a， ∵四边形MNCB为平行四边形， ∴MN=BC， ∴﹣a2+4a=3， 整理得，a2﹣4a+3=0， 解得a1=1，a2=3， ∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣=， ∴a=1， ∴﹣12+1+1=， ∴点M的坐标为（1，）． 　 6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：﹣4（2﹣m）=2， 解得：m=4， 经检验：m=4是分式方程的解． ∴m的值为4． （2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m），解得x=﹣2或x=m， ∴B（﹣2，0），C（m，0）． 由（1）得：m=4， ∴C（4，0）． 将x=0代入得：y=﹣2（﹣m）=2， ∴E（0，2）． ∴BC=6，OE=2． ∴S△BCE=BC•OE=62=6． （3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x轴的交点为P． ∵x=﹣， ∴抛物线的对称轴是直线x=1． ∴CP=3． ∵点B与点C关于x=1对称， ∴BH=CH． ∴BH+EH=EH+HC． ∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小． ∵HP∥OE， ∴△PHC∽△EOC． ∴，即．解得HP=． ∴点H的坐标为（1，）． （4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′． ∵BF∥EC， ∴∠BCE=∠FBC． ∴当，即BC2=CE•BF时，△BCE∽△FBC． 设点F的坐标为（x，﹣（x+2）（x﹣m）），由，得． 解得x=m+2． ∴F′（m+2，0）． ∵∠BCE=∠FBC． ∴，得，解得：． 又∵BC2=CE•BF， ∴，整理得：0=16．此方程无解． ②如图3，作∠CBF=45交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′， ∵OE=OB，∠EOB=90， ∴∠EBO=45． ∵∵∠CBF=45， ∴∠EBC=∠CBF， ∴当，即BC2=BE•BF时，△BCE∽△BFC． 在Rt△BFF′中，由FF′=BF′，得（x+2）（x﹣m）=x+2，解得x=2m． ∴F′（2m，0）． ∴BF′=2m+2， ∴BF=2m+2． 由BC2=BE•BF，得（m+2）2=2（2m+2）．解得． ∵m＞0， ∴m=2+2． 综上所述，点m的值为2+2． 　 7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为　（b，0）　，点C的坐标为　（0，）　（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0， 解得：x=1或b， ∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧， ∴点B的坐标为（b，0）， 令x=0， 解得：y=， ∴点C的坐标为（0，）， 故答案为：（b，0），（0，）； （2）存在， 假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形． 设点P的坐标为（x，y），连接OP． 则S四边形PCOB=S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b， ∴x+4y=16． 过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E， ∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90． ∴四边形PEOD是矩形． ∴∠EPD=90． ∴∠EPC=∠DPB． ∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y． 由解得 由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣， 解得b=＞2符合题意． ∴P的坐标为（，）； （3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似． ∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO， ∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO． ∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90，即QA⊥x轴． ∵b＞2， ∴AB＞OA， ∴∠Q0A＞∠ABQ． ∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90， 由QA⊥x轴知QA∥y轴． ∴∠COQ=∠OQA． ∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90或∠OQC=90． （I）当∠OCQ=90时，△CQO≌△QOA． ∴AQ=CO=． 由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1． 解得：b=84． ∵b＞2， ∴b=8+4． ∴点Q的坐标是（1，2+）． （II）当∠OQC=90时，△OCQ∽△QOA， ∴=，即OQ2=OC•AQ． 又OQ2=OA•OB， ∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1b． 解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意， ∴点Q的坐标是（1，4）． ∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似． 　 8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值． 【解答】解：（1）A（1，4）． 由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4 ∵抛物线过点C（3，0）， ∴0=a（3﹣1）2+4， 解得，a=﹣1， ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3． （2）∵A（1，4），C（3，0）， ∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6． ∵点P（1，4﹣t）． ∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+． ∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣． ∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣． 又∵点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣， 即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣） =•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1． 当t=2时，S△ACG的最大值为1． （3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t， 根据△APE∽△ABC，知 =，即=，解得t=20﹣8； 第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t． 则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2， 解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）． 综上所述，t=20﹣8或t=．