第03讲_分式方程(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第03讲_分式方程知识图谱错题回顾顾题回顾分式方程知识精讲一分式方程1分式方程的概念分式方程：分母中含有未知数的方程2分式方程的解法（1）能化简的先化简；（2）方程两边同乘以最简公分母，化成整式方程；（3）解整式方程；（4）验根二分式方程的实际应用步骤：审题-设未知数-列方程-解方程-检验-解答检验时要从方程本身和实际问题两个方面进行检验三点剖析一考点：分式方程二重难点：分式方程检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为零则整式方程的解就是原方程的解，否则，这个解不是原方程的解三易错点

2、：1解分式方程时，方程两边同时乘以最简公分母时，最简公分母有可能为零，这样就产生了增根因此分式方程一定要检验；2对于列分式方程解决实际问题时，检验时要从方程本身和实际问题两个方面进行检验题模精讲题模一：解分式方程例1.1.1分式方程的解为（ ）Ax=0Bx=5Cx=3Dx=9【答案】D【解析】两边同乘x（x3），得2x=3（x3），整理、解得：x=9检验：将x=9代入x（x3）=540，方程的解为x=9，例1.1.2解分式方程+2=，可知方程（）A解为x=2B解为x=4C解为x=3D无解【答案】D【解析】去分母，得1x+2（x2）=1去括号，得1x+2x4=1移项，得x+2x=11+4合并同类

3、项，得x=2检验：当x=2时，x2=0，x=2不是分式方程的解，原分式方程无解例1.1.3解方程【答案】【解析】原方程可变形为，即，解得，经检验是原方程的实数解例1.1.4解方程：-=【答案】x=-【解析】原方程即：-=，方程两边同时乘以x（x-2）得：2（x+1）（x-2）-x（x+2）=x2-2，化简得：-4x=2，解得：x=-，把x=-代入x（x-2）=0，故方程的解是：x=-题模二：分式方程的实际应用例1.2.1在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的 （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天

4、？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1m2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？【答案】（1）乙队单独完成这项工程需要450天（2）函数关系式（+）40=；乙队的最大工作效率是原来的倍【解析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得 （30+15）+ 15=，得：x=450，经检验x=450是方程的根，答：乙队单独完成这项工程需要450天；（2）根据题意得（+）40= ，a=60m+60，600，a随m的增大增大，当m=1时，最大，=，= 倍，答：乙队的

5、最大工作效率是原来的倍例1.2.2李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟（1）求李老师步行的平均速度；（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由【答案】（1）李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；（2）李老师能按时上班【解析】（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，由题意得，=20，

6、解得：x=76，经检验，x=76是原分式方程的解，且符合题意，则5x=765=380，答：李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；（2）由（1）得，李老师走回家需要的时间为：=12.5（分钟），骑车走到学校的时间为：=5，则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4=21.523，答：李老师能按时上班例1.2.3五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙

7、种物品的件数相同（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？【答案】（1）甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元（2）需筹集资金125000元【解析】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据题意得，=，得：x=60经检验，x=60是原方程的解答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据题意得，m+3m=2000，得m=500，即甲种物品件数为500件，则乙

8、种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70500+601500=125000（元）答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元随堂练习随练1.1分式方程=1的解为（）A1B2C D0【答案】A【解析】去分母得：23x=x2，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解随练1.2若分式=0，则x的值是（）A3或-3B-3C3D9【答案】B【解析】本题主要考查分式的意义，多项式的因式分解，关键在于根据题意确定x的值首先对分式的分子和分母进行因式分解，推出=0，根据分式的意义可推出（x+4）（x-3）0，所以x-4或x3，然后根据题意可推出（x+3）（x-3）=0，推

9、出x=3或x=-3，由于x=3使分式无意义，故x=-3式=0，=0，（x+3）（x-3）=0，x=3或x=-3，x=3时，（x+4）（x-3）=0，分式无意义，x=-3故选B随练1.3解方程-1=【答案】无解【解析】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根观察可得最简公分母是（x+1）（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解两边同时乘以（x+1）（x-2），得x（x-2）-（x+1）（x-2）=3（3分）解这个方程，得x=-1（7分）检验：x=-1时（x+1）（x-2）=0，x=-1不是原分

10、式方程的解，原分式方程无解（8分）随练1.4解方程：【答案】【解析】原方程可变形为，即，两边分别通分得，所以，解得，经检验是原方程的实数解随练1.5某工厂计划在规定时间内生产24000个零件若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数【答案】（1）原计划

11、每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；（2）原计划安排的工人人数为480人【解析】（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有，解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意规定的天数为240002400=10（天）答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有520（1+20%）+2400（102）=24000，解得y=480，经检验，y=480是原方程的根，且符合题意答：原计划安排的工人人数为480人随练1.6为美化小区，物业公司计划对面积为3000m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成已知甲队每天能完成绿化

12、的面积是乙队的1.5倍，如果要独立完成面积为300m2区域的绿化，甲队比乙队少用1天（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若物业公司每天需付给甲队的绿化费用为0.5万元，需付给乙队的费用为0.4万元，要使这次的绿化总费用不超过11万元，至少应安排甲队工作多少天？【答案】（1）甲工程队每天完成绿化的面积是150m2，乙工程队每天完成绿化的面积是100m2(2) 至少应安排甲队工作10天【解析】（1）解：设乙工程队每天完成绿化的面积是xm2，则甲工程队每天完成绿化的面积是1.5xm2，根据题意得1=，解得x=100，经检验x=100是原方程的解，1.5x=1.5100=1

13、50答：甲工程队每天完成绿化的面积是150m2，乙工程队每天完成绿化的面积是100m2（2）设应安排甲队工作a天，根据题意得0.5a+0.411，解得a10答：至少应安排甲队工作10天含参的分式方程知识精讲一增根问题1增根：使分式方程的分母为零的未知数的值，是分式方程去分母后化成的整式方程的根2由增根求参数的值（1）将原方程化成整式方程；（2）确定增根；（3）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值3由分式方程根的情况，求参数的取值范围（1）将原方程化成整式方程；（2）把参数看成常数求解；（3）根据根的情况，确定参数的取值范围（注意要排除增根时参数的值）二整数根问题 利用参数取表示未知数，再针

14、对不同形式的参数表示形式进行分离常量，对分式部分进行整除性讨论，再得到分式方程的整数解三点剖析一考点：含参的分式方程二重难点：含参的分式方程三易错点：讨论整除性问题时一定要注意分式有无意义的问题题模精讲题模一：增根问题例2.1.1关于x的分式方程+3=有增根，则增根为（）Ax=1Bx=-1Cx=3Dx=-3【答案】A【解析】本题考查了分式方程的增根，关于增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程，检验是否符合题意增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x-1）=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方

15、程，检验是否符合题意方程两边都乘（x-1），得7+3（x-1）=m，原方程有增根，最简公分母x-1=0，解得x=1，当x=1时，m=7，这是可能的，符合题意故选A例2.1.2若关于x的方程-1=0有增根，则a的值为_【答案】-1 【解析】增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值方程两边都乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0，原方程有增根最简公分母x-1=0，即增根为x=1，

16、把x=1代入整式方程，得a=-1例2.1.3a为何值时，关于的方程会产生增根？【答案】或6【解析】本题考查的是分式方程原方程可化为此方程的增根，当时，；当时，因此当或时，关于x的方程 会产生增根题模二：整数根问题例2.2.1已知方程-a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（）A-1b3B2b3C8b9D3b4【答案】D【解析】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的范围分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-

17、1，即（a-4）（a+1）=0，解得：a=4或a=-1，经检验a=4是增根，故分式方程的解为a=-1，已知不等式组解得：-1xb，不等式组只有4个整数解，3b4故选：D例2.2.2若关于的分式方程解为整数，请写出所有可能值【答案】或【解析】原方程可化为，即为的约数，即可求得或随堂练习随练2.1若方程有增根，则它的增根是（ ）ABCD或【答案】B【解析】先把原分式方程化为整式方程得，当增根为时，；当增根为时，不存在满足条件的，故原方程的增根只能是，故答案为B选项随练2.2若分式方程：2+=有增根，则k=_【答案】1 【解析】2+=，去分母得：2（x-2）+1-kx=-1，整理得：（2-k）x=2

18、，分式方程2+=有增根，x-2=0，2-x=0，解得：x=2，把x=2代入（2-k）x=2得：k=1故答案为：1随练2.3当取何值时，解关于的方程无增根？【答案】且【解析】假设原分式方程有增根，则增根可能是或，把原分式方程化为整式方程得，当增根为时，解得；当增根为时，解得，所以要是原方程无增根，则且随练2.4若关于的分式方程的解为整数，则所有值得和为（ ）ABCD【答案】D【解析】原方程化为，即为的约数，其和为随练2.5若关于的分式方程的解为非负整数，求整数的值【答案】【解析】原方程化为，即，或，经检验，时为负，不符合题意；时，自我总结 课后作业作业1解分式方程=的结果为（）A 1B -1C

19、-2D 无解【答案】D【解析】方程的两边同乘（x-1）（x+2），得：x+2=3解得：x=1检验：把x=1代入（x-1）（x+2）=0，即x=1不是原分式方程的解则原分式方程无解故选D作业2关于的方程的两个解是，则关于的方程的两个解是（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】因为，所以，因为的两个解分别是，所以方程的解满足或，解得或，故答案为D选项作业3分式方程=的解是x=【答案】4 3【解析】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根本题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母是（x-5）（x+6），方程两边乘以最简方程两边同乘以（x-

20、5）（x+6），得x（x+6）=（x-4）（x-5），x2+6x=x2-9x+20，整理得15x=20，解得x=经检验：x=是原方程的解作业4解方程：【答案】【解析】因为，通分可得，所以，经检验是原方程的实数解作业5解方程【答案】或【解析】原方程变形为，化简得，解得或作业6从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时高速列车的平均速度是每小时多少千米？【答案】270千米【解析】设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意得，=2，解得：x=9

21、0，经检验，x=90是所列方程的根，则3x=390=270答：高速列车平均速度为每小时270千米作业72009年秋季至今年5月，我市出现了严重的旱情，今年4月15日至21日，甲、乙两所中学均告断水，上级立刻组织送水活动，每次送往甲中学7600升、乙中学4000升已知人均送水量相同，甲中学师生人数是乙中学的2倍少20人（1）求这两所中学师生人数分别是多少人？（2）若送瓶装水，价格为1元/升；若用消防车送饮用泉水，不需购买，但需配送水塔，容量500升的水塔售价为520元/个其它费用忽略不记请你计算第一次给乙中学全部送瓶装水或全部用消防车送饮用泉水的费用各是多少？【答案】（1）甲中学有师生380人，

22、乙中学有师生200人（2）4160元【解析】（1）设乙中学有师生x人，则甲中学有师生（2x-20）人，依题意得=，解这个方程得x=200，经检验x=200是原方程的解，2x-20=380，答：甲中学有师生380人，乙中学有师生200人（2）送瓶装水的费用为：40001=4000（元），送饮用泉水的费用为：520=4160（元）作业8当为何值时，分式方程出现增根（ ）ABCD【答案】D【解析】先把原分式方程化为整式方程得到，把增根代入得到，故答案为D选项作业9解分式方程会产生增根，则_【答案】或【解析】先把原分式方程化为整式方程得，若原方程有增根，则增根只可能是或，当增根为时，解得；当增根为时，解得，所以或作业10若分式方程有增根，则的值为多少？【答案】【解析】先把原分式方程化成整式方程得，把增根代入其中得作业11若关于的分式方程的解为整数，则的值为（ ）ABCD或【答案】D【解析】原方程化为，即为的约数，或作业12正偶数使得方程成立，求整数的值【答案】【解析】原方程化为，因为为正偶数，为整数，所以只能取，解得14