第04讲 相似三角形（二）(教师版)A4-精品文档资料整理.docx

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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第04讲 相似三角形（二）知识图谱错题回顾顾题回顾相似三角形（二）知识精讲一相似三角形的综合1线段、周长、面积问题：利用相似多边形的相似比为线段比（周长比），面积比为相似比的平方的性质求解相似图形的面积比，周长比，线段比的问题2相似与平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，求解与已知三角形相似三角形的坐标问题一般转化为“边角边”或者“角角”来判定相似问题，此类问题一般答案不唯一3相似与圆：在圆中，相似三角形的出现一般都伴随着射影定理和切线与割线问题，这类题目的问题一般为求解长度问题，利用相似三角形的判定

2、模型与性质，结合勾股定理求解二相似的应用1利用相似解决一些实际测量问题 （1）测高（不能直接用皮尺或刻度尺测量）测量不能到达顶部物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决；（2）测距（不能直接测量的两点之间的距离）测量不能到达两点之间的距离，常构造相似三角形解决2解相似三角形实际问题的一般步骤（1）审题；（2）构建图形；（3）利用相似解决问题三点剖析一考点：1相似三角形的综合；2相似的应用二重难点：相似三角形的综合题模精讲题模一：相似三角形的综合例1.1.1如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB（1）求证：DC为O的切线；（

3、2）若O的半径为3，AD=4，求AC的长【答案】（1）DC为O的切线（2）2【解析】（1）证明：连接OCOA=OCOAC=OCAAC平分DABDAC=OACDAC=OCAOCADADCDOCCD直线CD与O相切于点C；（2）解：连接BC，则ACB=90DAC=OAC，ADC=ACB=90，ADCACB，AC2=ADAB，O的半径为3，AD=4，AB=6，AC=2例1.1.2已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EFBD，且与AD

4、，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动连接PF，设运动时间为t（s）（0t8）解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）y =-t2+t+48（3）【解析】（1）四边形ABCD是菱形，ABCD，ACBD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8在RtAOB中，AB=10EFBD，FQD=COD=90又FDQ=C

5、DO，DFQDCO=即=，DF=t四边形APFD是平行四边形，AP=DF即10-t=t，解这个方程，得t=当t=s时，四边形APFD是平行四边形（2）如图，过点C作CGAB于点G，S菱形ABCD=ABCG=ACBD，即10CG=1216，CG=S梯形APFD=（AP+DF）CG=（10-t+t）=t+48DFQDCO，=即=，QF=t同理，EQ=tEF=QF+EQ=tS EFD=EFQD=tt=t2y=（t+48）-t2=-t2+t+48（3）如图，过点P作PMEF于点M，PNBD于点N，若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，则-t2+t+48=96，即5t2-8t-48=0，解这个

6、方程，得t1=4，t2=-（舍去）过点P作PMEF于点M，PNBD于点N，当t=4时，PBNABO，=，即=PN=，BN=EM=EQ-MQ=3-=PM=BD-BN-DQ=16-4=在RtPME中，PE=（cm）例1.1.3在平面直角坐标系XOY中，一次函数y=x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a0点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位（1）写出A点的坐标和AB的长；（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的Q与直线l2、y轴都相切，求此时a

7、的值【解析】（1）一次函数y=x+3的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，y=0时，x=-4，A（-4，0），AO=4，图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，AB=5；（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，=t，又PAQ=OAB，APQAOB，APQ=AOB=90，点P在l1上，Q在运动过程中保持与l1相切，当Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与Q相切于F，由APQAOB，得：=，PQ=6；故AQ=10，则运动时间为：=2（秒）；连接QF，则QF=PQ，直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，FQl2，APQ=QFC=90，APFQ，PAQ=FQC，QFCAPQ，QF

8、CAPQAOB，得：=，=，=，QC=，a=OQ+QC=OC=，如图2，当Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与Q相切于E，由APQAOB得：=，PQ=，则AQ=4-=2.5，则运动时间为：=（秒）；故当点P、Q运动了2秒或秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的Q与直线l2、y轴都相切，连接QE，则QE=PQ，直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，Q在运动过程中保持与l1相切于点P，AOB=90，APQ=90，PAO=BAO，APQAOB，同理可得：QECAPQAOB得：=，=，=，QC=，a=QC-OQ=，综上所述，a的值是：和，题模二：相似的应用例1.2.1如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选

9、定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上若测得，则河的宽度AB等于（ ）ADBECABC30mD20m【答案】B【解析】该题考查的是相似三角形的应用，BAECDE，解得：，故答案是B例1.2.2如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边DF离地图的高度，则树高_mABCDEF【答案】5.5【解析】该题考察的是相似三角形的性质相似图形中，对应边成比例由题得DEFDCB，代入数据得树高是例1.2.3一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子

10、长来测量一路灯CD的高度如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长（结果精确到0.1m）【答案】6.1【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形根据AMEC，CDEC，BNEC，EA=MA得到MACDBN，从而得到ABNACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可设CD长为x米，AMEC，CDEC，BNEC，EA=MAMACDBNEC=CD=xAB

11、NACD，=即=解得：x=6.1256.1经检验，x=6.125是原方程的解，路灯高CD约为6.1米随堂练习随练1.1如图，已知AB是O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是O的切线，切点为D，过点A作AECE，垂足为E，则CD：DE的值是_AB1C2D3【答案】C【解析】如图，连接OD，AB是O的直径，BC=OB，OA=OB=BC，CE是O的切线，ODCE，AECE，ODAE，CODCAE，=，=2故选C随练1.2如图，在ABC中，以为直径作圆，交于点，连结，过点作圆的切线，交延长线于点，交于点（1）求证：；（2）当，时，求及的长【答案】（1）见解析（2）8；【解析】该题考查的是圆

12、综合（1），OD/AC（2）连结，为直径，与圆相切，ADCAFD，=，随练1.3在锐角ABC中，BAC=60，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD则以下结论中一定正确的个数有_EF=FD；AD：AB=AE：AC；DEF是等边三角形；BE+CD=BC；当ABC=45时，BE=DEA2个B3个C4个D5个【答案】C【解析】BD、CE为高，BEC、BDC是直角三角形F是BC的中点，EF=DF=BC故正确；ADB=AEC=90，A公共，ABDACE，得AD：AB=AE：AC故正确；A=60，ABC+ACB=120F是BC的中点，EF=BF，DF=CFABF=BEF，ACB=CDFBFE

13、+CFD=120，EFD=60又EF=FD，DEF是等边三角形故正确；若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CDA=60，ABC+ACB=120又BH=BE，HC=CD，BHE+CHD=120，EHD=60所以存在满足条件的点，假设成立，但一般情况不一定成立，故错误；当ABC=45时，在RtBCE中，BC=BE，在RtABD中，AB=2AD，由B、C、D、E四点共圆可知，ADEABC，=，即=，BE=DE，故正确；故此题选C随练1.4如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x2+3x图象的对称轴交于点B（1）写出点B的坐标_；（2）已知点P是二次函数y=-x2+3x图象

14、在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点若以CD为直角边的PCD与OCD相似，则点P的坐标为_【答案】（1）(，-3) （2）（2，2），（，），（，），（，） 【解析】（1）抛物线y=-x2+3x的对称轴为x=-=，当x=时，y=-2x=-3，即B点（，-3）；（2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，则OD=2a，OC=a，根据勾股定理可得：CD=a以CD为直角边的PCD与OCD相似，当CDP=90时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=a，设P的横坐标是x，则P点纵坐标是-x2

15、+3x，根据题意得：，解得：，则P的坐标是：（，），若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），当DCP=90时，若PC：DC=OC：OD=1：2，则P（，），若DC：PD=OC：OD=1：2，则P（，）故答案为：（2，2），（，），（，），（，）随练1.5在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a0），直线l过动点M（0，m）（0m2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA（1）写出A、C两点的坐标；（2）当0m1

16、时，若PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若HNK满足HN=2HK，则称HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；（3）当1m2时，是否存在实数m，使CDAQ=PQDE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由【答案】（1）A（-1，0），C（0，2）；（2）m=；（3）当1m2时，若a1，则存在实数m=，使CDAQ=PQDE；若0a1，则m不存在【解析】（1）在直线解析式y=2x+2中，当y=0时，x=-1；当x=0时，y=2，A（-1，0），C（0，2）；（2）当0m1时，依题意画出图形，如答图1所示PE=CE，直线l是线段PC的垂直平分线，MC=MP，又C（0，2）

17、，M（0，m），P（0，2m-2）；直线l与y=2x+2交于点D，令y=m，则x=，D（，m），设直线DP的解析式为y=kx+b，则有，解得：k=-2，b=2m-2，直线DP的解析式为：y=-2x+2m-2令y=0，得x=m-1，Q（m-1，0）已知PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，=2，即=2，整理得：（m-1）2=，解得：m=（1，不合题意，舍去）或m=，m=（3）当1m2时，假设存在实数m，使CDAQ=PQDE依题意画出图形，如答图2所示由（2）可知，OQ=m-1，OP=2m-2，由勾股定理得：PQ=（m-1）；A（-1，0），Q（m-1，0），B（a，0），AQ=

18、m，AB=a+1；OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=直线lx轴，CDECAB，=；又CDAQ=PQDE，=，=，即=，解得：m=1m2，当0a1时，m2，m不存在；当a1时，m=当1m2时，若a1，则存在实数m=，使CDAQ=PQDE；若0a1，则m不存在随练1.6某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（）A6米B7米C8.5米D9米【答案】D【解析】=即=，AC=61.5=9米故选D自我总结 课后作业作业1如图，在RtABC中，C=90，AC=

19、BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP为菱形，则t的值为_ AB2C2D3【答案】B【解析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是熟记平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例推出比例式=，再表示出所需要的线段长代入即可首先连接PP交BC于O，根据菱形的性质可得PPCQ，可证出POAC，根据平行线分线段成比例可得=，再表示出AP、AB、CO

20、的长，代入比例式可以算出t的值连接PP交BC于O，若四边形QPCP为菱形，PPQC，POQ=90，ACB=90，POAC，=，设点Q运动的时间为t秒，AP=t，QB=t，QC=6-t，CO=3-，AC=CB=6，ACB=90，AB=6，=，解得：t=2，故选：B作业2如图，在ABCD中，AB=6，AD=9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG=4，则CEF的周长为_A8B9.5C10D11.5【答案】A【解析】本题考查勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同

21、时也体现了对数学中的数形结合思想的考查在ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，BAD的平分线交BC于点E，可得ADF是等腰三角形，AD=DF=9；ABE是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在ABG中，BGAE，AB=6，BG=4，可得AG=2，又ADF是等腰三角形，BGAE，所以AE=2AG=4，所以ABE的周长等于16，又由ABCD可得CEFBEA，相似比为1：2，所以CEF的周长为8，因此选A在ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，BAD的平分线交BC于点E，ABDC，BAF=DAF，BAF=F，DAF=F，AD=FD，ADF是等腰三角形，同理ABE是等腰三角形，AD=

22、DF=9；AB=BE=6，CF=3；在ABG中，BGAE，AB=6，BG=4，可得：AG=2，又BGAE，AE=2AG=4，ABE的周长等于16，又ABCDCEFBEA，相似比为1：2，CEF的周长为8故选A作业3如图，在ABC中，C=90，BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DEAD交AB于E，以AE为直径作O（1）求证：点D在O上；（2）求证：BC是O的切线；（3）若AC=6，BC=8，求BDE的面积【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）证明：连接OD，ADE是直角三角形，OA=OE，OD=OA=OE，点D在O上；（2）证明：AD是BAC的角平分线，CAD=DAB，OD=O

23、A，OAD=ODA，CAD=ODA，ACOD，C=ODB=90，BC是O的切线；（3）在RtACB中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得：AB=10，设OD=OA=OE=x，则OB=10-x，ACOD，ACBODB，=，即=，解得：x=，OD=，BE=10-2x=10-=，=，即=，BD=5，过E作EHBD，EHOD，BEHBOD，=，即=，EH=，S BDE=BDEH=作业4在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E在OB上，且OAE=0BA（）如图，求点E的坐标；（）如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接AB、BE设AA=m，其中0m2，试用含m的式子表示AB2+

24、BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值时点E的坐标；当AB+BE取得最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）【答案】（）（）【解析】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握（）根据相似三角形OAEOBA的对应边成比例得到=，则易求OE=1，所以E（0，1）；（）如图，连接EE在RtABO中，勾股定理得到AB2=（2-m）2+42=m2-4m+20，在RtBEE中，利用勾股定理得到BE2=EE2+BE2=m2+9，则AB2+BE2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E的坐标是

25、（1，1）时，AB2+BE2取得最小值（）如图，点A（-2，0），点B（0，4），OA=2，OB=4OAE=0BA，EOA=AOB=90，OAEOBA，=，即=，解得OE=1，点E的坐标为（0，1）；（）如图，连接EE由题设知AA=m（0m2），则AO=2-m在RtABO中，由AB2=AO2+BO2，得AB2=（2-m）2+42=m2-4m+20AEO是AEO沿x轴向右平移得到的，EEAA，且EE=AABEE=90，EE=m又BE=OB-OE=3，在RtBEE中，BE2=EE2+BE2=m2+9，AB2+BE2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27当m=1时，AB2+BE2可以取得最小值，

26、此时，点E的坐标是（1，1）如图，过点A作ABx，并使AB=BE=3易证ABAEBE，BA=BE，AB+BE=AB+BA当点B、A、B在同一条直线上时，AB+BA最小，即此时AB+BE取得最小值易证ABAOBA，=，=，AO=2，AA=2=，EE=AA=，点E的坐标是（，1）作业5AD是ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC （x，y0）（1）如图1，当ABC为等边三角形且=30时证明：AMNDMA；（2）如图2，证明：+=2；（3）当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M，交射线AC于点N，设

27、AG=nAD，AM=xAB，AN=yAC（x，y0），猜想：+=是否成立？并说明理由【答案】（1）见解析（2）见解析（3）成立，证明见解析【解析】本题考查了相似三角形的综合题型此题涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，平行线截线段成比例等此题的难点在于辅助线的作法，解题时，需要认真的思考才能理清解题思路（1）利用“两角法”证得两个三角形相似；（2）如图1，过点C作CFAB交MN于点F，构建相似三角形：CFNAMN，利用该相似三角形的对应边成比例求得=通过证CFDBMD得到BM=CF，利用比例的性质和相关线段的代入得到=，即+=2；（3）猜想：+=成立需要分类讨论：如图乙，过D作MNMN交AB

28、于M，交AC的延长线于N由平行线截线段成比例得到=，易求x=，y=，利用（2）的结果可以求得+=；如图丙，当过点D作M1N1MN交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得+=（1）证明：如图1，在AMD中，AD是ABC的中线，ABC为等边三角形，ADBC，MAD=30，又=BDM=30，MDA=60AMD=90，在AMN中，AMN=90，MAN=60，AMN=DMA=90，MAN=MDA，AMNDMA；（2）证明：如图甲，过点C作CFAB交MN于点F，则CFNAMN=易证CFDBMD，BM=CF，=，=，即+=2；（3）猜想：+=成立理由如下：如图乙，过D作MNMN交AB于M，交AC的延长线于N，则=n=，即x=，y=由（2）知+=2+=如图丙，当过点D作M1N1MN交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得26