线性代数公式大全最新修订突击必备.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载线 性 代 数 公 式 大 全 最 新 修 订1 、 行 列 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. n 行列式共有n 2 个元素，绽开后有n. 项，可分解为2n 行列式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 代数余子式的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 Aij 和 aij的大小无关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0。ij、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数

2、余子式为A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 代数余子式和余子式的关系：4. 设 n 行列式 D ：M ij1ij AAij1i jM ij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1 ，就 D1 12D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为D2 ，就D2 1D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精

3、品名师归纳总结将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3 ，就 D3D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 D 主副角线翻转后，所得行列式为5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积。D4 ，就 D4D 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、副对角行列式：副对角元素的乘积 1n n 12。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积。n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 和 ：副对

4、角元素的乘积 12。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、拉普拉斯绽开式：AOACA BCBOB、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积。、特点值。CAOA、BOBC 1m gn A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 对于 n 阶行列式A ，恒有：EAnkn 1k Sk 1n k ，其中Sk 为 k 阶主子式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 证明 A0 的方法：、 AA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、反证法。、构造齐次方程组

5、、利用秩，证明Ax r A0 ，证明其有非零解。 n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、证明0 是其特点值。1. A 是 n 阶可逆矩阵：2 、 矩 阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ar A0 （是非奇特矩阵）。n （是满秩矩阵）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的行（列）向量组线性无关。齐次方程组Ax0 有非零解。bRn ， Axb 总有唯独解。A 与 E 等价。A 可表示成如干个初等矩阵的乘积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - -

6、- - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 的特点值全不为0。 AT A 是正定矩阵。A 的行（列）向量组是Rn 的一组基。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 是 Rn 中某两组基的过渡矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 对于 n 阶矩阵 A ：AA *A* AA E无条件恒成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 *3. A*1 A 1 T AT1 A * T A

7、T * A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TTT AB BA* AB B A111 AB BA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头。行列式是数值，可求代数和。5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、 B 可逆：A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 AA2，就：OAs可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 AA1AA2 L1As 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 、 A 111A2。O1As可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

8、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11AOA、O。（主对角分块）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOB 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11OAOB、。（副对角分块）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BOA 1O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、ACA111ACB。（拉普拉斯）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOB 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、AO1AO。（拉普拉斯）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CBB1CA 1B 1可编辑资料 - - - 欢迎

9、下载精品名师归纳总结3 、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 一个 mn 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯独确定的：E rOF。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OO m n等价类：全部与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类。标准形为其外形最简洁的矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于同型矩阵A 、 B ，如2. 行最简形矩阵：r Ar B A : B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、只能通过初等行变换获得。、每行首个非0 元素必需为1。、每行

10、首个非0 元素所在列的其他元素必需为0。3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采纳初等行变换）r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A , E :E , X ，就 A 可逆，且XA 1 。c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、对矩阵 A, B 做初等行变化，当A 变为 E 时， B 就变成A 1B ，即：A, B E, A1B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r、求解线形方程组：对于n 个未知数 n 个方程 Axb ，假如 A, b:4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：E , x ，就 A

11、 可逆，且xA 1b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、初等矩阵是行变换仍是列变换，由其位置打算：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、2O，左乘矩阵A ，i 乘 A 的各行元素。右乘，i 乘 A 的各列元素。可编辑资料

12、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结n111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、对调两行或两列，符号E i , j ，且E i , j 1E i ,j ，例如：11。11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、倍乘某行或某列，符号E i k ，且E i k 1111E i 1 ，例如：kk111k11kk1k0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、倍加某行或某列，符号E ij k,且 E ij k 1E ij k ，如：11k110 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 矩阵秩的基本性质：

13、、 0r Am n minm ,n 。、 r A T r A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A :B ，就r Ar B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 P 、 Q 可逆，就r Ar PAr AQ r PAQ 。（可逆矩阵不影响矩阵的秩）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 maxr A, r Br A, B r Ar B 。（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r ABr

14、 Ar B。（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r AB min r A, r B 。（）、假如 A 是 mn 矩阵， B 是 ns 矩阵，且 AB0 ，就：（）、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0 解（转置运算后的结论）。、 r Ar Bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 、 B 均为 n 阶方阵，就6. 三种特别矩阵的方幂：r ABr Ar Bn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、秩为1 的矩阵：肯定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采纳结合律。1ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、型如01b的

15、矩阵：利用二项绽开式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结001n0 n1n 1 1mn mmn 1 1 n 1nnnmmn m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二项绽开式：abCn aCn abLCn abLCna bCn bCn ab。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：、 abn绽开后有 nm 01 项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn、 C mnn1L Lnm1n.C0C n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1g2g3gL gmm. nm.可编辑资料 - -

16、- 欢迎下载精品名师归纳总结、组合的性质：CmCn mCmCmC m 1nCr2nrC rnCr 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1nnnnn 1、利用特点值和相像对角化：7.相伴矩阵：、相伴矩阵的秩：r A* n1r A r Ann1 。0r A n1r 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载

17、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、相伴矩阵的特点值：AAXX , A*A A 1A* XAX 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*、 An 11*A A、 AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 关于 A 矩阵秩的描述：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r A、 r A、 r An ， A 中有 n 阶子式不为0， nn ， A 中有 n 阶子式全部为0。 n ， A 中有 n 阶子式不为0。1 阶子式全部为0。（两句话）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 线性

18、方程组：Axb ，其中 A 为 mn 矩阵，就：、 m 与方程的个数相同，即方程组Axb 有 m 个方程。、 n 与方程组得未知数个数相同，方程组Axb 为 n 元方程。10. 线性方程组Axb 的求解：、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）。、齐次解为对应齐次方程组的解。、特解：自由变量赋初值后求得。11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n 元线性方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 x1、a21 x1a12 x2La22 x 2La1n xn a2 n x nb1b2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L L L L L L L

19、 L L L L可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am 1 x1am 2 x 2Lanm x nbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11、a21a12La22La1nx1b1a2nx 2b2Axb （向量方程，A 为 mn 矩阵， m 个方程， n 个未知数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMOMMM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1、aaam 2LLaamnx1 x2x mbmM（全部按列分块，其中b1Mb2）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nx nbn

20、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 a1 x1a2 x2Lan xn（线性表出）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、有解的充要条件：r Ar A,n （ n 为未知数的个数或维数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 、 向 量 组 的 线 性 相 关 性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. m 个 n 维列向量所组成的向量组A ：1,2 ,L,m 构成 nm 矩阵 A 1 ,2 ,L ,T 1Tm 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tm 个 n 维行向量所组成的向量组B

21、 ：T ,T ,L,构成 mn 矩阵 B2。12mMTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应。2. 、向量组的线性相关、无关Ax0 有、无非零解。（齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb 是否有解。（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB 是否有解。（矩阵方程）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 矩阵Am n 与 Bl n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0 和 Bx0 同解。 P101 例 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.r AT A r A 。 P例 151015. n 维向量线性相关的几何意义：、线性相关0 。、,线性相关,坐标

22、成比例或共线（平行）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载、,线性相关,共面。6. 线性相关与无关的两套定理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,如12 ,L,s 线性相关，就1,2 ,L ,s ,s 1 必线性相关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

23、结如1 ,2 ,L,s 线性无关，就1,2 ,L,s 1 必线性无关。（向量的个数加加减减，二者为对偶）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 r 维向量组A 的每个向量上添上nr 个重量，构成n 维向量组 B ：如 A 线性无关，就B 也线性无关。反之如B 线性相关，就A 也线性相关。（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 向量组 A （个数为 r ）能由向量组B （个数为 s ）线性表示，且A 线性无关，就rs 二版P74 定理 7。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组 A 能由向

24、量组B 线性表示，就向量组 A 能由向量组B 线性表示AXB 有解。r Ar B 。（P86 定理 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r Ar A, B （ P85 定理 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组 A 能由向量组B 等价r Ar B r A, B （ P85 定理 2 推论）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 方阵 A 可逆存在有限个初等矩阵rP1, P2 ,L, Pl ，使AP1 P2 LPl 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、矩阵行等价：、矩阵列等价：A BPAB （左乘，P 可逆）AxcA BAQB

25、（右乘， Q 可逆）。0 与 Bx0 同解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、矩阵等价：A BPAQB （ P 、 Q 可逆）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 对于矩阵Am n 与Bl n ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 与 B 行等价，就A 与 B 的行秩相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 与 B 行等价，就Ax0 与 Bx0 同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、矩阵的初等变换不转变矩阵的秩。、矩阵 A 的行秩等于列秩。可编

26、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 如Am s Bs nCm n，就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，AT 为系数矩阵。（转置）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 齐次方程组Bx0 的解肯定是ABx0 的解， 考试中可以直接作为定理使用，而无需证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 ABx0、 Bx0只有零解有非零解Bx ABx0 只有零解。0 肯定存在非零解。可编辑资料

27、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 设向量组Bn r: b1 ,b2 ,L, br可由向量组An s : a1, a2 ,L,as 线性表示为：（P110 题 19 结论）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1 ,b2 ,L, br a1, a2 ,L, as K（ BAK ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 K 为 sr ，且 A 线性无关，就B 组线性无关r K r 。（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（必要性：Q rr B r AK r K , r K r,r K r 。充分性：反证法

28、）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：当 rs时， K 为方阵，可当作定理使用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 、对矩阵、对矩阵Am n ，存在Am n ，存在Qn m ，Pn m ，AQEmPAEnr Ar Am 、 Q 的列向量线性无关。（n 、 P 的行向量线性无关。P87 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14.1 ,2 ,L,s 线性相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结存在一组不全为0 的数x1k1 ,k 2 ,L, ks ，使得k1 1k22Lk ss0 成立。（定义）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

29、纳总结 1 ,2 ,Lx 2,s Mx s0 有非零解，即Ax0 有非零解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 1,2 ,L ,s s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1215. 设 mn 的矩阵 A 的秩为 r ，就 n 元齐次线性方程组Ax0 的解集 S 的秩为：r Snr 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16. 如* 为 Axb 的一个解，33 结论）1, 2 ,L ,n r 为 Ax0 的一个基础解系，就* ,

30、L ,n r 线性无关。（P111 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 正交矩阵AT AE 或 A 15 、 相 似 矩 阵 和 二 次 型AT （定义），性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a aij、

31、 A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即T1T0iji , jij1,2, Ln 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、如 A 为正交矩阵，就AA 也为正交阵，且A1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如 A 、 B 正交阵，就AB 也是正交阵。留意：求解正交阵，千万不要遗忘施密特正交化和单位化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 施密特正交化：a1 ,a2 ,L, ar 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1a1 。bab1 ,a2 gb221b1 ,b1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结L L Lbab1

32、,ar gbb2 , ar gbL br1, ar gb;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rr12b1 , b1 b2 ,b2 brr 11,br 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 对于一般方阵，不同特点值对应的特点向量线性无关。对于实对称阵，不同特点值对应的特点向量正交。4. 、 A 与 B 等价A 经过初等变换得到B 。PAQB ， P 、 Q 可逆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r Ar B， A 、 B 同型。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A 与 B 合同CT ACB ，其中可逆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 A 与 B 相像P 1 APB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 相像肯定合同、合同未必相像。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 C 为正交矩阵，就C T ACBA :B ，（合同、相像的约束条件不同，相像的更严格）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归