76 多元函数的极值及其求法-精品文档.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五1第六节第六节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 第七章第七章 (Absolute maximum and minimum values)一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法三、小结与思考练习三、小结与思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五2xyz一、一、 多元函数的极值及最大值、最小值多元函数的极值及最大值、最小值 定义定义 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (

2、0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxy yxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五3说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如例如,函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存

3、在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 定理定理1 (必要条件必要条件)返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五4时, 具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当这个定理不加证明这个定理不加证明. 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC定理定理2 (充分条件

4、充分条件)返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五5, 0),(yxfx0),(yxfy返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五6提示提示:第一步 求驻点.第三步 判别.时, 具有极值 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.02 BAC02 BAC02 BAC第二步 求A,B,C.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五7提示提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三角形区域 的边界上的最大值和最小值.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五8 从上例可

5、以看出，计算函数f(x, y)在有界闭区域D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂. 在通常遇到的实际问题中，根据问题的实际背景往往可以断定函数的最大值与最小值一定在区域 D的内部取得，这时就可以不考虑函数在区域边界上的取值情况了.如果又求得函数在区域内只有一个驻点，那么则可直接断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值或最小值.说明说明:返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五9把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224

6、x积最大. )0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面例例3 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五10cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五11二、条件极值二、条件极值

7、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五12,0),(下在条件yx如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy

8、因0yxyxffyyxxff故有方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五13引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五14拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0

9、),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F推广推广返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五15要设计一个容量为0V则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz例例4返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五16得唯

10、一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为,340Vxyz思考思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等 .返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五17提示：提示：目标函数：目标函数：约束条件约束条件：构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日

11、星期五18内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五19设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F3. 函数的最值问题第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根

12、据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五20已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.思考练习思考练习)0, 0(14922yxyxCBAoyxED解答提示解答提示:设 C 点坐标为 (x , y), 21则 ACABS21031013yxkji)103, 0,0(21yx10321yx返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五21设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS点击图中任意点动画开始或暂停